圆锥曲线常用的二级结论
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圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论
椭圆双曲线
标准方程
()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>
焦点()()
12
,0,,0
F c F c
-
()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>
焦点()()
12
,0,,0
F c F c
-
焦半径
1020
,
PF a ex PF a ex
=+=-
e为离心率，
x为点P的横坐标.
1020
,
PF ex a PF ex a
=+=-
e为离心率，
x为点P的横坐标.
焦半径范围a c PF a c
-≤≤+
P为椭圆上一点，F为焦点.
PF a c
≥-
P为双曲线上一点，F为焦点.
通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
2
2b
a
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
2
2b
a
如图，直线l过焦点
1
F与椭圆相交于,A B
两点.则
2
ABF
△的周长为4a.
（即
22
4
F A F B AB a
++=）
如图，直线l过焦点
1
F与双曲线相交于
,A B两点.则
22
4
F A F B AB a
+-=.
焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交
于,A B两点.
焦点弦长()2
2222
2
sin
ab
AB
a b b
α
=
-+
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相
交于,A B两点.
焦点弦长()2
2222
2
sin
ab
AB
a b b
α
=
+-
.
AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，
则
2
112a
AF BF b
+=.
直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两
点，则
2
112a
AF BF b
+=.
已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，
则b PO a
≤≤.
已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，
则PO a
≥.
焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
12
F PFθ
∠=，
12
PF Fα
∠=，
21
PF Fβ
∠=，则
（1）
12
2tan
2
PF F
S b
θ
=
△
；
（2）离心率
sin
sin sin
e
θ
αβ
=
+
.
如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，
已知
12
F PFθ
∠=，
12
PF Fα
∠=，
21
PF Fβ
∠=，则
（1）
12
2
2cot
2tan
2
PF F
b
S b
θ
θ
==
△
；
（2）离心率
sin
sin sin
e
θ
αβ
=
-
.
垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，
点M为AB的中点，O为原点，则
2
2
OM AB
b
k k
a
=-.
如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两
点，点M为AB的中点，O为原点，则
2
2
OM AB
b
k k
a
=.
（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B
两点，其他条件不变，结论依然成立）
周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端
点），P是椭圆上异于,A B的一点，
则
2
2
PA PB
b
k k
a
=-.
推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原
点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一
点，若直线,
PA PB的斜率存在且不为零，
2
2
PA PB
b
k k
a
=-
如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是
双曲线上异于,A B的一点，
则
2
2
PA PB
b
k k
a
=.
推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于
原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B
的一点，若直线,
PA PB的斜率存在且不为
零，
2
2
PA PB
b
k k
a
=.
直线l过焦点(),0
F c与椭圆相交于,A B
两点，点
2
,0
a
P
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
则APF BPF
∠=∠（即0
PA PB
k k
+=）.
直线l过焦点(),0
F c与双曲线相交于
,A B两点，点
2
,0
a
P
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
则APF BPF
∠=∠（即0
PA PB
k k
+=）.
切线方程已知点()
00
,
P x y是椭圆上一点，则椭圆在
点P处的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
+=.
已知点()
00
,
P x y是双曲线上一点，则双曲
线在点P处的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
-=.