圆锥曲线常用的二级结论
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
以下是一些关于圆锥曲线的常用二级结论：
1. 椭圆：
焦点定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的半长轴长度。
离心率，椭圆的离心率是一个小于1的正数，定义为焦距与半
长轴之比。
焦半径定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于该点
到两个焦点连线的长度。
2. 双曲线：
焦点定理，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数
2a，其中a是双曲线的半长轴长度。
离心率，双曲线的离心率是一个大于1的正数，定义为焦距与半长轴之比。
渐近线，双曲线有两条渐近线，这两条线在无穷远处与双曲线趋近于平行。
3. 抛物线：
焦点定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
对称性，抛物线关于准线对称。
焦半径定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的二倍。
这些是圆锥曲线中的一些常用二级结论，它们可以帮助我们理解和分析圆锥曲线的性质和特点。
请注意，以上只是一些常见的结论，还有很多其他结论和性质可以进一步探索和研究。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，包括抛物线、椭圆和双曲线。
在研究和应用圆锥曲线时，有一些常用的二级结论可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、抛物线的焦点和准线性质抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其具有独特的性质。
在研究抛物线时，我们常常会用到其焦点和准线的概念。
1. 抛物线的焦点性质焦点是抛物线的重要几何特征之一。
对于给定的抛物线，焦点是位于其顶点上方（或下方）的一点，具有以下性质：- 所有从焦点出发、与抛物线相切的直线，都会经过抛物线的顶点。
- 抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这些性质使得焦点成为抛物线在几何和物理问题中的重要参考点，例如抛物线天线的设计、摄像机镜头等。
2. 抛物线的准线性质准线是与抛物线相对应的另一个重要几何特征。
准线是由抛物线的顶点所确定的一条直线，具有以下性质：- 准线与抛物线的对称轴垂直，并通过焦点。
- 抛物线上的所有点到准线的距离都相等。
因此，准线可以帮助我们确定抛物线的形状和位置，以及直观地理解抛物线的特性。
在实际应用中，准线常用于设计和建造拱桥、抛物线状轨道等。
二、椭圆的离心率和焦点性质椭圆是另一种常见的圆锥曲线，其具有一些独特的性质。
在研究和应用椭圆时，我们常常会用到离心率和焦点的概念。
1. 椭圆的离心率离心率是衡量椭圆形状的重要参数之一，通常用字母e表示。
离心率定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值，即e=c/a。
离心率的大小决定了椭圆形状的扁平程度，当离心率接近0时，椭圆接近于圆形；当离心率接近1时，椭圆趋向于长条形。
离心率可以帮助我们判断椭圆形状的特征，并在天文学、航天技术等领域中发挥重要作用。
2. 椭圆的焦点性质椭圆有两个焦点，每个焦点位于椭圆的长轴两侧，具有以下性质：- 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
- 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之差等于椭圆的焦距。
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
一般圆锥曲线（也称为双曲线）的定义为：在空间中，任一点到光源的距离（可以取
为两个焦点）的和等于它到曲线的距离。
因此，讨论一般圆锥曲线的两个焦点的性质则成
为讨论圆锥曲线二级结论的基础。
1. 一般圆锥曲线的两个焦点处都有曲线切线：
证明：设$F_1,F_2$分别为曲线$C$的两个焦点。
令$P$为曲线$C$上一点，$a$为$P$到$F_1F_2$的距离，则$P$到$F_1$的距离记为$b$，$P$到$F_2$的距离记为$c$。
又由距离公式，记$P$到曲线$C$的距离为$d$，有$b + c = a + d$
将直线$F_1F_2$上点$Q$作曲线上$P$的切线，由距离公式可得：$PQ = d$
由于$F_1,F_2$都是$C$的焦点，有$F_1P + F_2P = a$，令$PQ = b$
可得$F_1Q + F_2Q = a - b$
证明：设圆锥曲线$C$的两个焦点为$F_1,F_2$，当$F_1$和$F_2$越靠近时，曲线
$C$的形状越扁平。
当$F_1$和$F_2$在靠近时，$a$接近于0，则$F_1P + F_2P接近于0$，即$F_1P 接近
于- F_2P$，由弦距定义可知，$F_1P$ 和$F_2P$ 分别成正负对称，由此可知当$F_1$ 和$F_2$ 相越靠近时，直线$F_1F_2$ 和曲线$C$ 的斜率越加小，曲线$C$ 的形状越扁平。
综上所述，证明一般圆锥曲线的两焦点越近，曲线形状越扁平。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
本文档总结了高中数学中与圆锥曲线有关的二级结论。
包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆结论
1. 椭圆的定义：椭圆是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率介于0和1之间。
3. 椭圆的焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
4. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 椭圆的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴的差除以长轴。
双曲线结论
1. 双曲线的定义：双曲线是到两个定点距离之差等于常数的点
的轨迹。
2. 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
3. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
4. 双曲线的长轴和短轴：双曲线的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 双曲线的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴
的差除以长轴。
抛物线结论
1. 抛物线的定义：抛物线是到一个定点距离等于定直线距离的
点的轨迹。
2. 抛物线的焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是焦点和准线的交点。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于准线，通过顶点。
5. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。
以上是高中数学圆锥曲线二级结论的大全。
希望能对你的学习有所帮助！。
圆锥曲线的二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
首先我们来看椭圆。
椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。
取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。
根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。
又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。
因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。
所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
我们需要证明N恰好是焦点F。
首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。
其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。
根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。
而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。
所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。
通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。
接下来我们来看双曲线。
双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。
取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。
根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。
又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。
因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。
所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线是数学中的重要内容，也是平面解析几何的核心。
以下是圆锥曲线的一些常见二级结论：
1.离心率和焦点与直径的关系：对于椭圆和双曲线，离心率是一个描述曲线扁平程度的参数。
对于椭圆，离心率e的取值范围是0到1之间；而对于双曲线，离心率大于1。
离心率和焦点与直径之间存在紧密的关系。
2.切线与法线的性质：曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线。
切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数。
3.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和：过椭圆准线上任意一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
4.圆锥曲线的相关二级结论：例如过圆上任意一点作圆的两条切线，两条切线垂直；过椭圆上任意一点作斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值等。
此外，还有很多其他结论和应用，可以根据具体的数学分支和需求进行深入研究和学习。
这些结论有助于更好地理解和应用圆锥曲线的性质和定理，提高解题能力和数学素养。
1。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论如图，直线l 过焦点F1 与椭圆相交于A, B 两点.则△ABF2 的周长为4a .（即F2 A +F2 B +AB = 4a ）如图，直线l 过焦点F1 与双曲线相交于A, B 两点.则F2A +F2B -AB = 4a .倾斜角为的直线l 过焦点F 与椭圆相交于A, B 两点.2ab2焦点弦长AB =(a2-b2)sin2+b2.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线l 过焦点F 与双曲线相交于A, B 两点.2ab2焦点弦长AB =(a2+b2)sin2-b2.如图， P 是椭圆上异于长轴端点的一点， 已知∠F 1PF 2 =， ∠PF 1F 2 =，∠PF 2 F 1 =，则（1） S = b 2tan ； △PF 1F 22sin（2）离心率e =.sin + sin如图， P 是双曲线上异于实轴端点的一点，已知∠F 1PF 2 =， ∠PF 1F 2 =，∠PF 2 F 1 =，则2b 2（1） S △PF 1F 2 = b cot 2 =；tan 2sin（2）离心率e =.sin - sin如图，已知直线l 与椭圆相交于 A , B 两点 ，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则b 2k OM k AB = - a2 .如图，已知直线l 与双曲线相交于 A , B 两点，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则 b 2k OM k AB = a2 .（注：直线l 与双曲线的渐近线相交于A ,B 两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点A, B 椭圆长轴端点（短轴端点），P 是椭圆上异于A, B 的一点，b2则k PA k PB =-a2.推广：如图，已知点A, B 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A, B 的一点，若直线PA, PB 的斜率存在且不为零，b2kPAkPB=-a2如图，已知点A, B 双曲线实轴端点，P 是双曲线上异于A, B 的一点，b2则k PA k PB =a2.推广：如图，已知点A, B 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于A, B的一点，若直线PA, PB 的斜率存在且不为零，b2kPAkPB=a2.直线l 过焦点F (c, 0)与椭圆相交于A, B⎛a2 ⎫两点，点Pc, 0 ⎪，⎝⎭则∠APF =∠BPF （即k PA +k PB = 0 ）.直线l 过焦点F (c, 0)与双曲线相交于⎛a2 ⎫A, B 两点，点Pc, 0 ⎪，⎝⎭则∠APF =∠BPF （即k PA +k PB = 0 ）.切线方程已知点P (x0, y0)是椭圆上一点，则椭圆x x y y在点P 处的切线方程为0+0 = 1.a2 b2已知点P (x0, y0)是双曲线上一点，则双曲线在点P 处的切线方程为xx-yy= 1.a2 b2欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117双曲线的结论1. 过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：x 2y 2设斜率为 k 的直线l 过定点 P (0, t )(t ≠ 0)，双曲线方程为 a 2 - b 2线相切时的斜率为 k 0 .b = 1(a > 0, b > 0)，过点 P 与双曲（1） 当0 ≤ k b<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；a（2） 当 kb= 时，直线l 与双曲线只有一个交点；a（3） 当< k a< k 0 时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4） 当 k（5） 当 k= k 0> k 0 时，直线l 与双曲线只有一个交点；时，直线l 与双曲线没有交点.x 2 y 22. 如图， F(c , 0)是双曲线a 2 -b 2= 1(a > 0, b > 0)的焦点，过点 F 作 FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为 H ， O 为原点，则OH = a , FH = b .x 2y 2 3. 点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，则点 P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值a 2b 2a 2 +b 2.欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117x 2y 2 4. 点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，过点 P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐ab 近线相交于 M , N 两点， O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值.21⎪=p 2欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117抛物线的结论 如图，抛物线方程为 y = 2 px (p > 0)，准线 x = - p与 x 轴相交于点 P ，过焦点 F ⎛ p , 0 ⎫的直线l 与 22 ⎪ ⎝ ⎭抛物线相交于 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 )两点， O 为原点，直线l 的倾斜角为.⎧x x = p , ⎨4 ⎪⎩ y 1 y 2= - p 2 . pp 2．焦半径： AF = x 1 + 2， BF = x 2 + 2， AB = x 1 + x 2 + p .2 p3.焦点弦： AB .sin21 1 2p 24. AF , BF 的数量关系： += ， AF ⋅ BF = . AF BF p sin 225.三角形 AOB 的面积 S △ AOB = 2 s in.6.以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.7.直线 PA , PB 的斜率之和为零（ k PA + k PB = 0 ），即∠APF = ∠BPF .8.点 A , O , N 三点共线；点 B , O , M 三点共线.9.如图，点 A , B 是抛物线 y = 2 px (p > 0)， O 为原点，若∠AOB = 90o ，则直线 AB 过定点(2 p , 0).。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论包括：
1. 离心率与焦距之间的关系：离心率e是焦点到准线的距离与焦距的比值，对于椭圆和双曲线来说，离心率e小于1；对于抛物线来说，离心率e等于1。
2. 曲线方程：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1，抛物线的标准方程为y² = 4ax。
3. 曲线的对称性：椭圆关于x轴、y轴对称；双曲线关于x轴、y轴对称以及关于原点对称；抛物线关于y轴对称。
4. 焦距和半长轴、半短轴之间的关系：椭圆的焦距为2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² - b²；双曲线的焦距为
2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² + b²；抛物线的焦距为2a，其中a为焦点到准线的距离。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于焦点到准线的中垂线上，焦点和准线的距离相等。
6. 椭圆的准线和双曲线的渐近线：椭圆的准线是它的对称轴，双曲线的渐近线是两条对称轴，与椭圆和双曲线的切线垂直。
以上是一些圆锥曲线常用的二级结论，这些结论对于研究和解题有很大的帮助。
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。
首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。
对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。
假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。
这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。
再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。
若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。
接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。
有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。
还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。
接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。
焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其二级结论也是必须掌握的一部分。
下面是关于圆锥曲线二级结论的详细内容：1.椭圆的性质（1）椭圆的长轴是离心率e和主轴长度a的函数，即2a=2/(1-e^2)。
（2）椭圆的焦距为f，离心率为e，长轴长度为2a，则有f^2=a^2-b^2，b=a√(1-e^2)。
（3）椭圆的几何中心和重心重合，位于椭圆的中心点。
2.双曲线的性质（1）双曲线的长轴是离心率和虚轴半径的函数，即2a=2/|e^2-1|。
（2）双曲线的焦距为f，离心率为e，长轴长度为2a，则有f^2=a^2+b^2，b=a√(e^2-1)。
（3）双曲线的几何中心和重心重合，位于双曲线的中心点。
3.抛物线的性质（1）抛物线的焦点在自由定点上，几何中心和重心均在抛物线的对称轴上。
（2）抛物线的离心率e=1，即是一个特殊的圆锥曲线。
（3）抛物线的焦距为f，几何中心和重心位于抛物线的对称轴上，满足f=a/4。
4.直线与圆锥曲线的交点数设一条直线L的方程为ax+by+c=0，圆锥曲线F(x,y)=0。
则直线L与圆锥曲线F(x,y)=0的交点个数为：（1）若L不过圆锥曲线F(x,y)=0，则交点个数为0或2个；（2）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的中心点，则交点个数为2个；（3）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的顶点，则交点个数为1个；（4）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的焦点，则交点个数为1个或2个。
总之，圆锥曲线二级结论是高中数学中的重要内容，对于掌握圆锥曲线的基本概念和求解方法有着重要的作用。
在学习和掌握这些结论时，需要认真理解，多做练习，加强对数学概念的理解和运用能力。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论
椭圆双曲线
标准方程
()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>
焦点()()
12
,0,,0
F c F c
-
()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>
焦点()()
12
,0,,0
F c F c
-
焦半径
1020
,
PF a ex PF a ex
=+=-
e为离心率，
x为点P的横坐标.
1020
,
PF ex a PF ex a
=+=-
e为离心率，
x为点P的横坐标.
焦半径范围a c PF a c
-≤≤+
P为椭圆上一点，F为焦点.
PF a c
≥-
P为双曲线上一点，F为焦点.
通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
2
2b
a
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
2
2b
a
如图，直线l过焦点
1
F与椭圆相交于,A B
两点.则
2
ABF
△的周长为4a.
（即
22
4
F A F B AB a
++=）
如图，直线l过焦点
1
F与双曲线相交于
,A B两点.则
22
4
F A F B AB a
+-=.
焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交
于,A B两点.
焦点弦长()2
2222
2
sin
ab
AB
a b b
α
=
-+
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相
交于,A B两点.
焦点弦长()2
2222
2
sin
ab
AB
a b b
α
=
+-
.
AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，
则
2
112a
AF BF b
+=.
直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两
点，则
2
112a
AF BF b
+=.
已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，
则b PO a
≤≤.
已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，
则PO a
≥.
焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
12
F PFθ
∠=，
12
PF Fα
∠=，
21
PF Fβ
∠=，则
（1）
12
2tan
2
PF F
S b
θ
=
△
；
（2）离心率
sin
sin sin
e
θ
αβ
=
+
.
如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，
已知
12
F PFθ
∠=，
12
PF Fα
∠=，
21
PF Fβ
∠=，则
（1）
12
2
2cot
2tan
2
PF F
b
S b
θ
θ
==
△
；
（2）离心率
sin
sin sin
e
θ
αβ
=
-
.
垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，
点M为AB的中点，O为原点，则
2
2
OM AB
b
k k
a
=-.
如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两
点，点M为AB的中点，O为原点，则
2
2
OM AB
b
k k
a
=.
（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B
两点，其他条件不变，结论依然成立）
周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端
点），P是椭圆上异于,A B的一点，
则
2
2
PA PB
b
k k
a
=-.
推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原
点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一
点，若直线,
PA PB的斜率存在且不为零，
2
2
PA PB
b
k k
a
=-
如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是
双曲线上异于,A B的一点，
则
2
2
PA PB
b
k k
a
=.
推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于
原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B
的一点，若直线,
PA PB的斜率存在且不为
零，
2
2
PA PB
b
k k
a
=.
直线l过焦点(),0
F c与椭圆相交于,A B
两点，点
2
,0
a
P
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
则APF BPF
∠=∠（即0
PA PB
k k
+=）.
直线l过焦点(),0
F c与双曲线相交于
,A B两点，点
2
,0
a
P
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
则APF BPF
∠=∠（即0
PA PB
k k
+=）.
切线方程已知点()
00
,
P x y是椭圆上一点，则椭圆在
点P处的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
+=.
已知点()
00
,
P x y是双曲线上一点，则双曲
线在点P处的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
-=.
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过点P 与双曲线
相切时的斜率为0k . （1）当0b
k a
≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当b
k a
=时，直线l 与双曲线只有一个交点； （3）当
0b
k k a
<<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点.
2．如图，(),0F c 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐
近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==.
3．点P 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值
22
22
a b a b +.
4．点P 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐
近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2
ab
.
如图，抛物线方程为()20y px p =>，准线2p x =-
与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为原点，直线l 的倾斜角为α.
1．2
12212
,4.p x x y y p ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩
2．焦半径：12p AF x =+，22
p
BF x =+，12AB x x p =++. 3．焦点弦：2
2sin p AB α
=
. 4．,AF BF 的数量关系：112AF BF p +=，2
2sin p AF BF α
⋅=. 5．三角形AOB 的面积2
2sin AOB
p S α
=△. 6．以焦点弦AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切. 7．直线,PA PB 的斜率之和为零（0PA PB k k +=），即APF BPF ∠=∠. 8．点,,A O N 三点共线；点,,B O M 三点共线.
9．如图，点,A B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=，则直线AB 过定点()2,0p .。