揭阳一中届高三上学期摸底考试文数
广东省揭阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷
广东省揭阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·天津模拟) 集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·永州模拟) 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中，正确的命题有（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量服从正态分布N（0，1），若,则；④回归直线一定过样本点的中心A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）若非零向量，满足，且，则向量的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·福建) 下列命题中，真命题是（）A . ∃x0∈R，≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . a+b=0的充要条件是 =﹣1D . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件6. （2分） (2018高一下·安徽期末) （）A .B .C .D . 17. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . －3B .C . 2D .8. （2分） (2019高二下·平罗月考) 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为A . 2B . 3C . 4D . 610. （2分）要使有意义，则应有（）A .B . m≥﹣1C .D .11. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线交于其中，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·中山月考) 若函数的两个零点是，，则（）A .B .C .D . 无法确定和的大小二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设抛物线x2=4y，则其焦点坐标为________，准线方程为________．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 椭圆上的任意一点(短轴端点除外)与短轴上、下两个端点的连线交轴于点和，则的最小值是________．16. （1分） (2016高一下·蕲春期中) 已知，则cosα=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2015高三上·青岛期末) 设数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．18. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19. （15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．BM⊥PD于M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；（3）求点O到平面ABM的距离．20. （10分） (2017高二下·大名期中) 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．21. （10分）(2016·江苏) 已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2,b= .①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．22. （10分）(2018·内江模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知直线上一点的极坐标为，其中 . 射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.23. （10分） (2017高一上·桂林月考) 已知函数 .（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；（2）写出该函数的值域、单调区间(不用说明理由)．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
揭阳一中高三数学第三次模拟试题文新人教a版
高三文科数学三模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==>=>，则U A C B 等于（ ）A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2. 设复数i z +=11(其中i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．设[]0,5p 在上随机地取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为（ ）A.15B.25C.35D.454．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是（ ） A.1 B.2 C.3 D.45．下列函数中与函数-=y ||3x 奇偶性相同且在（—∞，0）上单调性也相同的是（ ）A ．x y 1-= B ．||log 2x y = C ．13-=x y D ． 21x y -=6．已知41,ln 41,1,1x y x 且>>，lny 成等比数列，则xy （ ）A ．有最小值eB ．有最小值eC ．有最值大eD ．有最大值e7．若曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则a b +=（ ） A.1- B.0C.1D.28．已知双曲线22221y x a b -=的一个焦点与抛物线24x y =的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为 （ ）A ．225514y x -= B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．225514x y -=9.已知函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是（ ）10. 若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）A ．甲同学：均值为2，中位数为2B ．乙同学：均值为2，方差小于1C ．丙同学：中位数为2，众数为2D ．丁同学：众数为2，方差大于1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. (一）必做题（11〜13题）11．设单位向量1212121,,22e e e e e e ⋅=-+=满足则 . 12．已知24sin 225α=-, )0,2(πα-∈，则=-ααcos sin 。
广东省揭阳市高考一模数学文科试卷
当 时，方程表示双曲线.-------------------------------------------6分
（2）由（1）知，当 时，轨迹T的方程为： .
连结OE，易知轨迹T上有两个点A ，B 满足 ,
A.甲先到达B地 B.乙先到达B地
C.甲乙同时到达B地 D.无法确定谁先到达B地
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11.命题“ ”的否定为.
12．椭圆 上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为.
13．随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）获得身高数据的茎叶图如下图甲，在样本的20人中，记身高在 ， 的人数依次为 、 、 、 ．图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是班；图乙输出的 ．（用数字作答）
得 即 ------------------------------------2分
当 时，方程表示两条与x轴平行的直线；(答方程表示两条直线不扣分)----------------------------3分
当 时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；(答方程表示圆不扣分)-----------------------4分
由 得
∴ 的单调减区间 .-------------------------12分
17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分
(2)∵ 平面 ， 平面
∴平面 平面ABCD
∵ ∴BC 平面 ----------5分
广东省揭阳市高三第一次模拟考试(数学文)(,含答案)
oy oy oyoxy侧视图正视图DCB A 揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考数 学 (文科)一. 选择题： 1. 已知集合{0,2,4,6,8,10}U =，{2,4,6}A =，则U C A =A ．{2,4,6} B ．{0,8,10} C ．{6,8,10} D ．{8,10}2. 函数()2lg(1)f x x x --的定义域是A ．(, 2]-∞ B.(2,)+∞ C.(1,2] D.(1,)+∞3. 已知复数(tan 3)1i z i θ-=,则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设向量(1,2),(2,),//,|3|a b y a b a b ==-+若则等于A ．5B ．6C 17D ．265. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为. A. 32y x =± B. 3y x = C. 3y x = D. 3y x =± 6. 已知函数(),0(),0.f x x yg x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =的图象过点(2,1)，则()y g x =对应的图象大致是A. B. C. D.7. 已知α为锐角，且4cos(),65πα+=则cos α的值为.A.43310- B.43310+ C.43310 D. 433108. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图 （又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图 所示，则其俯视图为.9. 已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，则为得到函数()y f x =的图象可以把函数sin y x ω=的图象上所有的点.A ．向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; B ． 向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; C ．向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍; D ．向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.0.080.050.045155105055004954900.020.030.010.07产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486S=S/10i =i+1S=S+(a i －a)2输入a i 开始否结束输出S i ≥10？i ＝1S ＝0是DE ACB10. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若23MN ≤k 的取值范围是 A ．[3,3] B ．3] C ．33(,[,)3-∞+∞D ．33[]二. 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y x α=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 .12. 已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则满足(())(())f g x g f x =的x 值为 ．13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第i天监测得到的数据记为i a ）在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图， 则这10个数据的平均数a = ，输出的S 值是_ ，（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E,连结AE ，已知ED=3,BD=6 , 则线段AE 的长＝ .15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = ．16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ； （2）设数列{}n n b a +是首项为－２，公差为２的等差数列，求数列{}n b 的通 项公式及其前n 项和n T .17. (本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．x 1 2 3 4 ()f x 1 3 1 3 x 1 2 3 4 ()g x3232i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i a61596057606360625761第13题图第14题图HGDE FABC表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图）（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少； （3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”． 甲流水线 乙流水线合计 合格品 a = b = 不合格品 c =d =合 计n =附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18.（本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,42CDDB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．19. (本小题满分1４分)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水 平面内沿南偏西60°的方向以每分钟100米的速度步行了 １分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；（2）求塔的高AB.20.（本小题满分14分）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点G (1,0)和'(1,0)G -，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆Ｐ，试探究是否存在一个以点'(1,0)G -为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数321()(21)3(2)13f x x a x a a x =-++++，a R ∈．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点（3,(3)f ）处的切线方程； （2）当1a =-时，求函数()y f x =在[0,4]上的最大值和最小值；（3）当函数'()y f x =在0,4（）上有唯一的零点时，求实数a 的取值范围．2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828D EAC B揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明一．选择题：BCCAD BDCAC解析： 3.(tan 3)1(tan 3)i z i θθ--==+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C.4. 4(1,2)a b y a b ⇒=-⇒=//3+||5a b ⇒=3+，选A.5. 依题意得双曲线的半焦距4c =，由22ce a a==⇒=，∴2223b c a =-=，∵双曲线的焦点在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为3y x =.选D.6. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对称，可得2()log ()g x x =- （0x <）,选B.7. coscos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43310.选D.8. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C. 9. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A.10.当|MN |=231，可求出3k =，再结合图形可得答案C.或设圆心到直线3y kx =+的距离为d ，则21d k =+，由22||()42MN d =- 且23MN ≤2331k k ≥⇒≥或3k ≤二. 填空题：11.1,1,22；12. 2, 4、； 13. 60、3.4、；14. 3315. 4、－１. 解析：12. 将1,2,3,4x =依次代入方程(())(())f g x g f x =检验，易得2,4x =14. ∵,E E EAD EBA ∠=∠∠=∠∴EDA ∆∽EAB ∆AE EDBE AE⇒=2AE ED BE ⇒=⋅39=⨯33AE ⇒=15. 将1l 、2l 的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k +--=，2:210l x y +-=，由1l //2l 得24211k k+=≠⇒4k =,由12l l ⊥得220k +=1k ⇒=-三．解答题：16. 解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n n n a --=⋅=，12(1)124(1)1212nn nS -==--.（2）依题意得：22(1)24nn b a n n +=-+-=-∴224242n n n b n a n -=--=--设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P 则(224)(3)2nn n P n n -+-==- ∴221(3)4(1)3422n n n n nT P S n n n n -=-=---=--+ 17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：HGDE FABC（２）由表１知甲样本中合格品数为814830++=，由图１知乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故甲样本合格品的频率为300.7540=乙样本合格品的频率为360.940=，据此可估计从甲流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75 从乙流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.（３）22⨯列联表如下：------10分∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706>∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．---------12分18．（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC ==∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点 又∵G 是FD 的中点∴//HG CD ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ∴GH ∥平面CDE证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点∴在⊿EAB 中，//GH AB又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ∴GH ∥平面CDE（2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵6BC =, ∴6FA = 又∵2,42CD DB == ，222CD DB BC +=∴BD ⊥CD ∴ ABCD S CD BD =⋅＝82 ∴ F ABCD V -=13ABCD S FA ⋅＝18261623⨯⨯=19.解：（１）依题意知在△DBC中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-=CD ＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠ ∴sin 100sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝6210050(62)450(31)222-⨯-==-（ｍ） 在Rt △ABE 中，tan ABBEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE CD ⊥当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中cos EC BC BCE =⋅∠350(31)25(33)2=-⋅=-(ｍ), 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，甲流水线乙流水线合计 合格品 a =30 b =36 66 不合格品 c =10d =414合 计4040n =80则25(33)100100EC t==334-=（分钟） （２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt △BEC 中,sin BE BC BCD =⋅∠ ∴tan 60sin tan 60AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝150(31)325(33)2⋅=（m ） 即所求塔高为25(33)m.20.解：（1）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2m y x =+直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-- 设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =-- 由3mn = 整理得22143x y +=∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上 ∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±） (2)由（1）知，点G (1,0)和'(1,0)G -为椭圆22143x y +=的两焦点， 由椭圆的定义得|'|||4PG PG +=,即|'|4||PG PG =-∴以'G 为圆心，以4为半径的圆与P 内切，即存在定圆'G ，该定圆与P 恒内切，其方程为：22(1)16x y ++=21．解：（1）当0a =时， 321()13f x x x =-+，∴(3)1f =， ∵2'()2f x x x =- 曲线在点(3,1)处的切线的斜率'(3)3k f == ∴所求的切线方程为13(3)y x -=-，即38y x =-（2）当1a =-时，函数321()313f x x x x =+-+∵2'()23f x x x =+-，令'()0f x =得121,3x x ==-2[0,4]x ∉，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，即函数()y f x =在(0,1)上单调递减， 当(1,4)x ∈时，'()0f x >，即函数()y f x =在(1,4)上单调递增∴函数()y f x =在[0,4]上有最小值，2()(1)3f x f ==-最小值，又1(0)1,(4)263f f ==∴当1a =-时，函数()y f x =在[0,4]上的最大值和最小值分别为1226,33-.-----8分(3) ∵2'()2(21)3(2)f x x a x a a =-+++(3)(2)x a x a =---∴123,2x a x a ==+①当12x x =时，32a a =+，解得1a =，这时123x x ==，函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点，故1a =为所求； ②当12x x >时，即32a a >+1a ⇒>，这时12x x >3>，又函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点，∴2134,324,424.3 4.3x a a x a <<<+<⎧⎧⇒⇒≤<⎨⎨≥≥⎩⎩，③当12x x <时，即1a <，这时12x x <3<又函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点，∴120,30,200 3.02 3.x a a x a ≤≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨<<<+<⎩⎩综上得当函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点时，20a -<≤或423a ≤<或1a =.。
广东省揭阳市2020届高三摸底测试 数学(文)试题(含答案)
揭阳市2020年高三数学（文科）摸底测试说明：本自测题共16题，分为两个部分，第一部分（1-12题），第二部分（13-16题），均为单项选择题。
其中，第1小题5分，其余15小题每题3分，满分50分，测试时间40分钟。
第一部分（1-12题）1．已知集合A 为自然数集N ，集合},3|{2Z x x x B ∈<=，则( )A. }1{=B A IB. }1,0{=B A IC. B B A =YD. A B A =Y2．设i 是虚数单位，若复数10()3m m R i+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则tan(2)πα-=（ ） A.24- B.22- C. 24 D.22 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足495,20S S ==，则7a 等于( )A ．－3B ．－5C ．3D ．55．若,m n 表示互不重合的直线，,αβ表示不重合的平面，则//m α的一个充分条件是( )A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．//,//m n n αD ．,,//n m m n αβα⋂=⊄6．要得到()cos 21g x x =+)(R x ∈的图象，只需把2)cos (sin )(x x x f +=)(R x ∈的图象（）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D.向右平移2π个单位 7．已知正数a 、b 满足632=+b a ，则ab 的最大值为( )A. 91B. 41C. 31D. 21 8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．5 cmD ．4 cm9．已知数列}{n a 满足3log log 22+=n a n ，则20642a a a a ++++Λ值为( )A. )42(311-⨯B. )42(312-⨯C. 54411- D. 4411- 10．设函数23()ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数f (x )的极大值点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．ln 2－2 B ．ln 2－1 C ．ln 3－2 D ．ln 3－111．我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”。
揭阳一中等高三数学上学期开学摸底联考试题 文
2013--2014学年度高三摸底考联考文科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=zA ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A.6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A.D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为第4题 图 第6题 图630.A 7.B7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。
2021届广东省揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试文科数学试卷
2021年广东省揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={4,5,6,8},B ={3,5,7,8}，则A ∪B 中元素的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数()()873z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“0a b >>”是 “22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线x 2a 2−y 24a 2=1 (a >0)的离心率为（ ）A ．√5B ．√52C ．2D ．√35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 6．已知函数y =log a x (a >0,a ≠1)的图象经过点(2,12)，则其反函数的解析式为（ ）A ．y =4xB ．y =log 4xC ．y =2xD ．y =(12)x 7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为（ ）A ．8B ．12C ．20D ．308．不等式组{5x +3y ≤15，y ≤x+1，x −5y ≤3.表示的平面区域的面积为（ ）A ．14B ．5C ．3D ．79．设l,m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若m ,l m α,则l αB ．若,,,l m αβαβ⊥则l m ⊥C ．若,,m l m α⊥⊥则l αD ．若,//,,//,m m l l αββα⊂⊂则//αβ10．对任意的a 、b ∈R ，定义：min{a,b}={a,(a <b)b.(a ≥b) ；max{a,b}={a,(a ≥b)b.(a <b).则下列各式中恒成立的个数为（ ）①min{a,b}+max{a,b}=a +b②min{a,b}−max{a,b}=a −b③(min{a,b})⋅(max{a,b})=a ⋅b④(min{a,b})÷(max{a,b})=a ÷bA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．不等式23100x x --<解集是__________．12．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =3，∠B =2∠A ，cosA =√63， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ． 14．在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆ρ＝4截得的弦长为________．15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1AE =，3AB =，CF =BC 边的长为 ．FE AC B三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0,x ∈R)的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若f(α)=23，α∈(0,π8)，求cos2α的值. 17．（本小题满分12分）下图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？18．（本小题满分14分）如图，已知ΔBCD 中，∠BCD =90∘,BC =CD =1，AB =√6，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF ∩平面BCD =l ，求证CD//l ；（3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．19．（本小题满分14分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =na n −3n(n −1)（n ∈N ∗），且a 2=12．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：1S 1+1S 2+⋯+1S n <13． 20．（本小题满分14分）已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点P 是直线y =x 与抛物线C 在第一象限的交点，且|PF|=5.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l:y =kx +m 与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sin ln(1)1nknk=<++∑．参考答案1．B【解析】试题分析：Α∪Β={3,4,5,6,7,8}，所以A ∪B 中元素的个数为6，故选B ．考点：集合的交集运算．2．B【解析】试题分析： ()()287324212124z i i i i i =---=+=-+，所以z 在复平面内对应的点的坐标是()21,24-，所以z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B ． 考点：1、复数的乘法运算；2、复平面．3．A【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为0a b >>能推出22a b >，而22a b >不能推出0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.4．A【解析】试题分析：双曲线x 2a 2−y 24a 2=1 (a >0)的离心率为e =c a=√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√1+4a 2a 2=√5，故选A ．考点：双曲线的离心率．5．C【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以2sin cos 0αα-+=，因为cos 0α≠，所以2tan 10α-+=，解得1tan 2α=，故选C ．考点：1、向量垂直的坐标运算；2、同角三角函数的基本关系．6．A【解析】试题分析：因为函数y =log a x (a >0,a ≠1)的图象经过点(2,12)，所以log a 2=12，解得a =4，所以y =log 4x ，所以其反函数的解析式为y =4x ，故选A ．考点：1、反函数；2、对数式．7．B【解析】试题分析：应从40-50岁的职工中抽取的人数为40×30%=12，故选B ．考点：分层抽样．8．D【解析】试题分析：作出可行域如图所示：所以不等式组{5x +3y ≤15y ≤x+1x −5y ≤3表示的平面区域的面积为12×4×52+12×4×1=7，故选D ． 考点：线性规划．9．C【分析】由线面位置关系可判断A ；由面面平行的性质以及线面垂直的性质可判断B ；由线面垂直的性质可判断C ；由线面平行可判断D【详解】A 不正确，因为没有说明m l αα⊄⊂，；C 不正确，因为有可能l α⊂；D 不正确，有可能n αβ⋂=；D 中，由αβ，l α⊥，可得l β⊥，又m β，所以l m ⊥，因此B 正确.故选B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，熟记定理和性质即可，属于常考题型. 10．B【解析】试题分析：①若a ≥b 时，min{a,b}+max{a,b}=b +a ，若a <b 时，min{a,b}+max{a,b}=a +b ，所以①成立；②若a ≥b 时，min{a,b}−max{a,b}=b −a ，若a <b 时，min{a,b}−max{a,b}=a −b ，所以②不成立；③若a ≥b 时，(min{a,b})⋅(max{a,b})=b ⋅a ，若a <b 时，(min{a,b})⋅(max{a,b})=a ⋅b ，所以③成立；④若a ≥b 时，(min{a,b})÷(max{a,b})=b ÷a ，若a <b 时，(min{a,b})÷(max{a,b})=a ÷b ，所以④不成立．故选B ． 考点：1、推理与证明；2、分段函数．11．{}|-25x x <<【解析】分析：利用一元二次不等式的解法，即可求解相应的一元二次不等式.详解：由题意，不等式23100x x --<，可化为(5)(2)0x x -+<，所以不等式的解集为{|25}x x -<<.点睛：本题主要考查了实系数的一元二次不等式的解法，其中熟记一元二次不等式的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．2√6【解析】试题分析：由正弦定理得：a sinΑ=b sinΒ，所以b =asinΒsinΑ=asin2ΑsinΑ=2asinΑcosΑsinΑ=2acosΑ =2×3×√63=2√6．考点：1、正弦定理；2、二倍角的正弦公式．13．3【解析】试题分析：2'()3f x x =，所以曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得：123k k a a +=，即123k k a a +=，故数列{}n a 是以11a =为首项，公比为23q =的等比数列，又310(f f f a +++101012102132312313a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以31010(31()3f a ++=-. 考点：1、导数的几何意义；2、等比数列的定义；3、等比数列的前n 项和公式． 14．【解析】将直线及圆分别化成直角坐标方程：，．利用点到直线距离求出圆心到直线的距离为2．∴长等于15【解析】试题分析：在Rt ∆BEA 中，BE ==因为CF ∠BEA =∠A ，C F ∠BAE =∠A ，所以∆BEA∽CF ∆A ，所以FC C BE AB =A ，即FC AC 6AB⋅===BE ，所以在Rt C ∆BE 中，BC ===考点：1、相似三角形的判定定理；2、勾股定理． 16．（1）2；（2）2√6+16． 【解析】试题分析：（1）利用Τ=2πω，即可求出ω的值；（2）先将已知条件进行化简，再利用同角三角函数的基本关系求出cos(2α+π6)的值，进而cos2α变形为cos[(2α+π6)−π6]，展开，代入数值．试题解析：（1）解：由2πω=π得ω=22分（2）解：由f(α)=2sin(2α+π6)=23得sin(2α+π6)=133分∵α∈(0,π8)∴2α+π6∈(π6,5π12)4分∴cos(2α+π6)=√1−sin2(2α+π6)=2√236分∴cos2α=cos[(2α+π6)−π6]8分=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ610分=2√23⋅√32+13⋅12=2√6+1612分考点：1、三角函数的最小正周期；2、同角三角函数的基本关系；3、两角差的余弦公式．17．（1）频率分布表和频率分布直方图见解析；（2）能认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．【解析】试题分析：（1）由图可得各组的频数，利用频率=频数样本容量可得各组的频率，进而可得各组的频率组距；（2）由频率分布表知该市本月前30天中空气质量优良的天数，利用古典概型公式求出此人到达当天空气质量优良的概率，即可知此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．试题解析：（1）4分8分（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，9分故此人到达当天空气质量优良的概率：P=1930≈0.63>0.611分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% 12分考点：1、频率分布表；2、频率分布直方图；3、古典概型．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）√68．【解析】试题分析：（1）由ΑΒ⊥CD，BC⊥CD，可证CD⊥平面ΑΒC，进而可证ΕF⊥平面ΑΒC，即可证平面BEF⊥平面ABC；（2）由CD // EF，可证CD//平面BEF，进而可证CD//l；（3）由CD // EF，可得SΔAEFSΔACD =14，进而可得V B−AEFV B−ACD=14，再利用锥体的体积公式即可得四棱锥Β−CDFΕ的体积．试题解析：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD ∴AB⊥CD1分又BC⊥CD，AB∩BC=B∴CD⊥平面ABC2分又E、F分别是AC、AD的中点∴EF//CD3分∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF∴平面BEF⊥平面ABC 4分（2）∵CD // EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF∴CD//平面BEF6分又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l ∴CD//l8分（3）解法1：由（1）知EF//CD∴ΔAEF∼ΔACD9分∴SΔAEFSΔACD=14∴V B−AEFV B−ACD =1411分∴V=34V B−ACD=34V A−BCD=14SΔBCD⋅AB=14×12×1×1×√6=√6814分[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB 9分∵AB⊥平面BCD∴FG ⊥平面BCD 10分由（1）知EF⊥平面ABC∴V=V F−EBC+V F−BCD=13SΔEBC⋅EF+13SΔBCD⋅FG12分=13×√64×12+13×12×1×1×√62=√6814分]考点：1、面面垂直；2、线线平行；3、锥体的体积．19．（1）6；（2）a n=6n；（3）证明见分析．【解析】试题分析：（1）令n=2即可求出a1的值；（2）先利用a n=S n−S n−1（n≥2）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出数列{a n}的通项公式；（3）由（2）可得S n，进而可得1S n，利用裂项法即可证不等式．试题解析：（1）解：由S2=a1+a2=2a2−3×2(2−1)和a2=12可得a1=62分（2）解法1：当n≥2时，由a n=S n−S n−1得a n=na n−3n(n−1)−(n−1)a n−1−3(n−1)(n−2)4分⇒ (n −1)a n −(n −1)a n−1=6(n −1)6分∴数列{a n }是首项a 1=6，公差为6的等差数列 ∴a n =a 1+6(n −1)=6n 8分[解法2：当n ≥2时，由S n =na n −3n(n −1)=n(S n −S n−1)−3n(n −1)4分 可得(n −1)S n −nS n−1=3n(n −1) ∴S n n−Sn−1n−1=36分∴数列{S n n}为首项S11=6,公差为3的等差数列∴S n n=6+3(n −1)=3n +3，即S n =3n 2+3n∴a n =6n 8分]（3）证明：由（2）知S n =n(a 1+a n )2=3n(n +1)10分∵1S n =13n(n+1)=13(1n −1n+1)12分∴1S 1+1S 2+⋯+1S n<13[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] =13(1−1n+1)<13命题得证 14分考点：1、等差数列的通项公式；2、数列的求和；3、不等式的证明.20．（1）x 2=4y ；（2）在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1). 【解析】试题分析：（1）由已知设点Ρ的坐标，由抛物线的定义得m +p2=5，再联立m =2p ，解得p 的值，即可得抛物线C 的方程；（2）设点N(0,n)，M(x 0,x 024)，由已知得直线l 与抛物线C 相切，利用导数可得直线l 的方程，令y =−1可得Q 点的坐标，利用ΝΜ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ΝQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得n 的值. 试题解析：（1）解法1： ∵点P 是直线y =x 与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点P(m,m)(m >0)1分∵抛物线C 的准线为y =−p2，由|PF|=5结合抛物线的定义得m +p2=5① 2分 又点P 在抛物线C 上，∴m 2=2pm (m >0) ⇒ m =2p ② 3分 由①②联立解得p =2，∴所求抛物线C 的方程式为x 2=4y 5分 [解法2：∵点P 是直线y =x 与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点P(m,m)(m >0)1分∵抛物线C 的焦点为F(0,p2)，由|PF|=5得√m 2+(m −p2)2=5即m 2+(m −p2)2=25① 2分又点P 在抛物线C 上，∴m 2=2pm (m >0) ⇒ m =2p ② 3分 由①②联立解得p =2，∴所求抛物线C 的方程式为x 2=4y -5分]（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设N(0,n)6分又设点M(x 0,x 024)，由直线l:y =kx +m 与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由y =14x 2得y′=12x ，∴k =y′|x=x 0=12x 07分 ∴直线l 的方程为y −x 024=x 02(x −x 0)8分令y =−1得x =x 022−2x 0，∴Q 点的坐标为(x02−2x 0,−1)， 9分∴NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 024−n),NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−2x 0,−1−n)10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 022−2−(1+n)(x 024−n)=(1−n)x 024+n 2+n −2=0(∗)12分要使方程(∗)对x 0恒成立，必须有解得n =113分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)14分解法2：设点M(x 0,y 0)，由l:y =kx +m 与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由y =14x 2得y′=12x ，∴k =y′|x=x 0=12x 06分∴直线l 的方程为y −y 0=x 02(x −x 0)7分令y =−1得x =2(y 0−1)x 0，∴Q 点的坐标为(2(y 0−1)x 0,−1)8分∴以MQ 为直径的圆方程为：(y −y 0)(y +1)+(x −x 0)[x −2(y 0−1)x 0]=0③ 10分分别令x 0=2和x 0=−2，由点M 在抛物线C 上得y 0=1将x 0,y 0的值分别代入③得：(y −1)(y +1)+(x −2)x =0④ (y −1)(y +1)+(x +2)x =0⑤④⑤联立解得{x =0,y =1. 或{x =0,y =−1.12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,−1) 将(0,1)的坐标代入③式得，左边=2(1−y 0)+(−x 0)[−2(y 0−1)x 0] =2(1−y 0)+2(y 0−1)=0=右边将(0,−1)的坐标代入③式得，左边=(−x 0)[−2(y 0−1)x 0]=2(y 0−1)不恒等于0 13分∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)14分 考点：1、抛物线的方程；2、抛物线的定义；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义.21．（1）1；（2）(],1-∞；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）先对函数()F x 求导，再判断函数()F x 在()0,+∞上的单调性即可得函数()F x 在()0,+∞上的极值；（2）由已知得：1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立，进而可得1cos(1)a x x ≤-在(0,1)上恒成立，设1()cos(1)H x x x =-，对函数()x H 求导，再判断函数()x H 在()0,1上的单调性，进而可得函数()x H 在()0,1上的取值范围，即可得a 的取值范围；（3）由（2）可得1sin(1)lnx x -<，令1kx k =+得11sin(1)sin ln11k k k k k +-=<++，代入，化简，即可证11sin ln(1)1nk n k =<++∑. 试题解析：（1）解：∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=1分 令'()0F x =得1x =当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值 ∴()F x 极小1ln11=-= 4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立 5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- 7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减 8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >= ∴1a ≤ 9分解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤（*）恒成立 5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->当0a ≤时，（*）式显然成立 6分 当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增 7分 ∴()(1)1h x h <= ∴11a≥01a ⇒<≤ 8分 综上得(,1]a ∈-∞ 9分（3）证明：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<② 10分∵对k N *∀∈有(0,1)1kk ∈+，在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++ 12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+ 即11sin ln(1)1nk n k =<++∑ 14分考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式的恒成立；4、不等式的证明.。
2025届广东省揭阳市第一中学数学高三第一学期期末统考模拟试题含解析
2025届广东省揭阳市第一中学数学高三第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．32．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)3．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．64．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=5．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．7．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±8．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭9．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立12．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB eC 2eD ．21e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
揭阳一模广东省揭阳市届高三第一次高考模拟考试数学文试题 纯Word版含答案
（一）必做题（11－13 题）
11．
为
若点 (a, 27) 在函数
．
y
12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如
3x
的图象上，则
图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 0.0050
度为 60 km/h~120 km/h，则该时段内过往的这 100 辆机 0.0025
动车中属非正常行驶的有
辆，图中的 x 值为
13．对于每一个正整数 n ，设曲线 y xn1 在点（1,1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为
xn ，令 an lg xn ，则 a1 a2 a99 =
（二）选做题（14－15 题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线
绝密★启用前
揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试
数学(文科) 2014.3.22
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，
3．设平面 、 ，直线 a 、 b ， a ,b ，则“ a / / ,b / / ” 是“ / / ”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
4．下列函数是偶函数，且在[0,1] 上单调递增的是
A. y sin(x ) 2
C. y x2
5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的 x 值与输出的 y 值
广东揭阳市高三第一次模拟考试数学文试题含答案
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBCDBA CADBDA解析：12解法一：设(,)M x y ，由||2||AM BM ≤得22222()()33x y +-≥，即点M 恒在圆22222()()33x y +-=的外部（含圆周）上，故当线段AD 与圆相切时，t 取最小值，∵:12x yAD t +=2|2|23t t t -=⇒=答案A. 解法二：由||2||AM BM ≤可得sin ||2,sin ||ABM AM BAD BM ∠=≤∠sin 2sin 24ABM BAD t ∴∠≤∠=+恒成立，故12≤，解得3t ≥解法三：设,(,12),AM AD BM AM AB t λλλ=∴=-=-由||2||AM BM ≤恒成立可得2222||4||,(4)4[A MB M t t λλλ≤∴+≤+-化简得22(312)1640t λλ+-+≥221616(312)0t ∴∆=-+≤，解得3t ≥二、填空题：13.6；14.934x ≤<；15.48；16.2. 解析：16.∵A 、B 、C 成等差数列，∴2A C B +=，又A B C π++=，∴3B π=，由1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =，∵2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，及222a c ac +≥，∴24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17．解：（1）当1n =时，111232S a =-，即111232a a =-，112a =；------------------1分当2n ≥时，由1232n n S a =-，得111232n n S a --=-，两式相减， 得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，-------------------------------------------------4分 数列{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，1132n n a -=⋅；---------------------6分（2）证明：∵312log 221n n b a n =+=-，-----------------------------------------8分 ∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111111111123352121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭-------------------10分11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．----------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）-----------------------------2分∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。
广东省揭阳一中、潮州金山中学高三联合摸底考试数学(文)试题.pdf
Unit 2 They have seen the Pyramids 教学内容：Unit 2 They have seen the Pyramids. 课型：Reading and writing 教学目标： 1、正确使用下列词语和词组：move, send, Germany, France, tower, ancient, king, queen, Arabic, way, mix, miss, count, count down 2、能读懂描述经历的文章，理解语篇主题和细节。
3、能够简单的运用现在完成时叙述自己或他人的一次特别的旅行经历。
教学重难点： 理解短文细节，并能运用所学的知识描写自己的经历。
教学准备： 预习要求： 1、根据音标自学本课新单词； 2、查找相关资料，找出你认为本课较重要的语言点和短语。
教学过程： 教学步骤教师活动学生活动设计意图 Step One (5’) 1.Lead in Look and say : Look at some pictures about famous places in China and talk : ①Which interesting places in China have you visited ? ②Have you ever seen the Great Wall ? ③Have you ever visited another country ? 2． Ask the students to make dialogues with partners according to activity 4. Where you went When you went there Why it was special 1.Lead in Look and say : Look at some pictures about famous places in China and talk : ①Which interesting places in China have you visited ? ②Have you ever seen the Great Wall ? ③Have you ever visited another country ? Make dialogues with their partners according to activity 4. Where you went When you went there Why it was special 通过看图片回答问题，引导学生回顾上节课的内容通过，.也能从说句子中考验学生对Unit1知识的掌握程度，还训练了学生的反应。
广东省揭阳市数学高三文数第一次高考模拟统一考试试卷
广东省揭阳市数学高三文数第一次高考模拟统一考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则（）A . 9iB . 9+3iC . -9iD . 9-3i3. （2分）在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10=32,则的值为（）A . 4B . 2C . -2D . -44. （2分）在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）如果执行框图，输入N=12，则输出的数等于（）A . 156B . 182C . 132D . 786. （2分）(2019·四川模拟) 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为A .D .7. （2分）(2016·四川理) 设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）函数的图象大致是A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）C .D .10. （2分）(2020·柳州模拟) 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）．A .B .C .D .11. （2分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A . 4B . 2C . 2D .12. （2分） (2017高二下·湖州期末) 设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·临淄期末) 已知 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2），且k + 与2 ﹣垂直，则k的值为________．14. （1分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数，当时， ________；若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为________．15. （1分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．16. （1分） (2016高二上·浦东期中) 数列{an}中，an+1= ，a1=2，则数列{an}的前2015项的积等于________．三、解答题 (共7题；共40分)17. （5分） (2018高二下·邯郸期末) 在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.18. （5分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．19. （5分） (2020高二上·黄陵期末) 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛，他们所有比赛得分的情况如下：甲：；乙： .（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数．（2）分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差，你认为哪位运动员的成绩更稳定？20. （5分）(2019·永州模拟) 已知动点到两定点，距离之和为4（），且动点的轨迹曲线过点 .（1）求的值；（2）若直线与曲线有不同的两个交点，且（为坐标原点），求的值.21. （5分）(2020·陕西模拟) 已知函数， .（1）证明：当时，；（2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围.22. （10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点、，若，求的值．23. （5分） (2015高二下·会宁期中) 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）若对任意实数x∈[5，9]，f（x）≤ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。
揭阳一中等高三文综上学期开学摸底联考试题
2013-2014学年度高三摸底考联考文科综合试题本试卷共12页，41 题，满分300分。
考试时间为150分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、单项选择题（本大题35小题，每小题4分，共140分。
每小题只有一个选 项符合题意。
）1．凌日现象指的是内行星、卫星等运行到太阳与地球之间，在地球上的观察者会发现有一个黑点从太阳通过的一种天文现象。
据报道2013年2月25日至3月17日期间，我国通信卫星会出现凌日现象。
如图1所示，当通信卫星凌日时，有可能出现以下哪种现象A ．手机信号加强，通话音量加大B ．手机自动关机C ．有线电视频道频繁出现画面固定不动甚至黑屏的现象D ．卫星电视频道出现图像不清或节目中断的现象第30届奥运会于英国伦敦夏令时（比标准时间快一小时）2012年7月27日20：12开幕，图2是开幕当日四个城市的昼夜长短分布示意图，图中阴影部分表示黑夜，读下图完成2-3题。
2．甲、乙、丙、丁四地，从南向北排列正确的是A ．甲乙丙丁B ．丙丁乙甲C ．乙甲丁丙D ．甲乙丁丙3．当伦敦夏令时（比标准时间快一小时）7月27日20：12开幕时，对应的北京时间为A ．7月27日3:12B ．7月28日3:12C ．7月28日4:12D ．7月27日4:12读某区域地形图（图3），回答4-5题。
图1图24．若水库大坝再加高100米，该地区①②③④四村庄有可能被淹的是A ．①B ．②C ．③D ．④5．关于图中的一些叙述，正确的是A ．支流甲河画错了B ．村庄②在①村的东南方向C ．乙河水流向西北D ．村庄③比④气温理论上要低0.6℃图4是“某国家沿海地区及夏季某日气象资料统计图”。
20世纪前半叶，该国东北部制造业兴旺发达，但是20世纪中后期，该地区工厂大量倒闭，遗弃的工厂设备锈迹斑斑，被人们形象地称为“锈带”。
《精编》广东省揭阳第一中学高三数学第一次阶段考试题 文 新人教A版.doc
揭阳一中—学年度高三平时测试一数 学〔文科〕第I 卷 〔选择题〕〔50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．}2,1{=A ，}21|{<≤∈=x R x B ，那么B A 为( ) A.}2,1{ B.}1{ C.}21|{≤≤x x D.}1|{≥x x2．不等式0322>--x x 的解集是〔 〕 A.1|{<x x 或}3->x B.1|{-<x x 或}3>x C.}11|{<<-x xD.}13|{<<-x x3．以下命题中的真命题是 ( )A.x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B.(0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C.(,0),23x x x ∃∈-∞< D.(0,),sin cos x x x π∀∈>4．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )5．某种商品的零售价年比 年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使年的物 价仅比 年上涨10％，那么年比年的物价下降〔 〕 A.15％ B.12％ C.10％ D.5％ 6．函数f 〔x 〕=2-+x e x的零点所在的一个区间是〔 〕A.〔-2,-1〕B.〔-1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕 7．记函数()f x 的反函数为1()fx -,假设x x f a log )(=且2)9(=f ，那么)2log (91--f 的值是〔 〕A.2B.2C.22D.2log 3 8．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A.),4[]1,(+∞--∞ B.),4()1,(+∞--∞ C.(,4][1,)-∞-+∞D.),4[)1,(+∞--∞10．假设实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，那么称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件第II 卷〔非选择题〕〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分． 11．幂函数3222)1(--•--=m m xm m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值为12．假设2,4==b a ，那么4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅=13．函数||sin 1()()||1x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=______14．以下几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，那么0a <；②函数y =③函数()f x 的值域是[2,2]-，那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，那么m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．〔此题总分值12分〕p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2≤ 0 (m ＞0)，假设⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16．〔此题总分值12分〕函数)10,0(132)(22≤≤>-+-=x a a ax x x f ，求)(x f 的最大 值和最小值．17．〔此题总分值14分〕商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：〔1〕买一个茶壶赠送一个茶杯；〔2〕按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个〔不少于4个〕，假设以购置茶杯数为x 个，付款数为y 〔元〕，试分别建立两种优惠方法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．18．〔此题总分值14分〕函数()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1). (1) 求()f x 的定义域；(2) 判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3) 当1a >时，求使()0f x >成立的x 的取值范围．19．〔此题总分值14分〕函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=－f(x)〔1〕求证：f(x)是周期函数；〔2〕假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; 〔3〕在(2)的条件下．求使f(x)=－21在［0，2 011］上的所有x 的个数．20．〔此题总分值14分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =．(1) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线〞．设22a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由．文科数学答案一. 选择题 BBBDB CCAAC二. 填空题 11. 2 12. 2 13. 2 14. ①⑤三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15、解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3，…………………2分 q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．…………………4分那么 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．……6分由 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ． …………………8分 从而 310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ．…………………11分(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．………12分16．(1)解：12)(132)(2222-+-=-+-=a a x a ax x x f ……………2分 由0>a 知，当1≥a 时，由于)(x f 在[0，1]上是减函数，故)(x f 的最大值为,13)0(2-=a f 最小值为;23)1(2a a f -= ……………6分当210<<a 时， )(x f 的最大值为a a f 23)1(2-=，最小值为;12)(2-=a a f …………9分 当112a <<时， )(x f 的最大值为,13)0(2-=a f ，最小值为.12)(2-=a a f …………12分17．解：由优惠方法〔1〕可得函数关系式为：y 1=20×4+5(x －4)= 5x +60(x ≥4); …………3分由优惠方法〔2〕得：y 2=(5x +20×4)×92%=4．6x +73．6(x ≥4), …………………6分 对以上两种优惠方法比拟得：y 1－y 2=0．4x －13．6(x ≥4),令y 1－y 2=0,得x =34． ……………9分可知当购置34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分当4≤x ≤34时，y 1<y 2,优惠方法〔1〕省钱；…………………12分 当x ≥34时，y 1>y 2,优惠方法〔2〕省钱． …………………14分 18、解：〔1〕因为()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1)∴⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ………… 3分故所求函数)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ………… 4分〔2〕由〔1〕知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ，关于原点对称………… 5分 又()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-………… 7分 故)(x f 为奇函数. ………… 8分〔3〕因为当1a >时，()f x 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数，………… 10分 所以1()011x f x x+>⇔>-，解得10<<x ………… 13分 所以，使得()0f x >成立的x 的取值范围是}10|{<<x x . ………… 14分19解：〔1〕证明:∵f〔x+2〕=－f 〔x 〕，∴f〔x+4〕=－f 〔x+2〕=－［－f 〔x 〕］=f 〔x 〕，…… 2分∴f〔x 〕是周期函数，且4为一个周期． …………… 4分〔2〕解 当0≤x≤1时，f(x)=21x,设-1≤x≤0,那么0≤-x≤1,∴f〔-x 〕=21〔-x 〕=-21x ． ∵f(x)是奇函数，∴f〔-x 〕=-f 〔x 〕,∴-f 〔x 〕=-21x ，即f(x)=21x ． ……………6分故f(x)= 21x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x ＜3,那么-1＜x-2＜1,∴f(x -2)= 21(x-2), 又∵f〔x-2〕=-f 〔2-x 〕=-f 〔〔-x 〕+2〕=-［-f 〔-x 〕］=-f 〔x 〕，∴-f 〔x 〕=21〔x-2〕，∴f〔x 〕=-21〔x-2〕〔1＜x ＜3〕．∴f〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x …………… 10分由f(x)=- 21,解得x=-1．∵f〔x 〕是以4为周期的周期函数． ∴f(x)=- 21的所有解为x=4n-1 (n∈Z )． ……………12分令0≤4n -1≤2 011,那么41≤n≤503,又∵n∈Z ，∴1≤n≤503 〔n∈Z 〕,∴在［0，2 011］上共有503个x 使f(x)=- 21． ……………14分20.解：〔1〕22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞ …………2分 〔2〕不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， …………4分 令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，那么另一个零点一定在区间[3,2)--， …………6分故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． …………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，…………4分[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， …………6分 所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分 〔3〕设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，那么2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，那么()f x 与()g x 的图象在x =)2e． ………10分设()f x 与()g x 存在 “分界线〞，方程为(2ey k x -=，即2ey kx =+-由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，那么2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k = ………12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，那么()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，那么()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线〞方程为：2ey =-． …………14分。
广东省揭阳第一中学2012届高三上学期摸底考试题(数学文)
2011—2012学年度高三两校联合摸底考试数 学（文科）本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．第I 卷 （选择题）（50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |0862<+-x x ｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3}C ．｛x |1＜x ＜3}D ．｛x |2＜x ＜3} 2．复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 3．“a =1±”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分条件也不必要条件 4．定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2 5．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A .4i <B .5i <C . 5i ≥D . 6i <6．如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几 何体的体积为（ ）A.π3B.π3C.π33D.π397．已知向量b a ,的夹角为︒60，且,1||,2||==b a则向量a 与b a 2+的夹角为（ ）A. ︒150B. ︒120C. ︒60D. ︒308．设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的 面积为4,则抛物线方程为 ( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =9.已知命题p:[]022,:,0,2,122=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 命题.若命题p 且q 是真命题,则实数 a 的取值范围为 ( )A. 12=-≤a a 或B.a ≤-2或1≤a ≤2C.a ≥1D.-2≤a ≤110．已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+010*******x y x y x ，则使POQ ∠cos 取最小值时的POQ ∠的大小为（ ） A. 2πB.π C. π2 D.4π第II 卷（非选择题）（100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若94=a ，153=S ，则数列{}n a 的通项为 12．若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则13a b+ 的最小值为13．某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。
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揭阳一中届高三上学期摸底考试文数揭阳一中2011—2012学年高三上学期摸底考试数 学（文科）本试卷共21页，三大题，满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题）（50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}3{<=x x M ，)086|(2<+-=x x x N ，则M ∩N=( ) A.φ B.}30|{<<x x C.}31|{<<x x D.}32|{<<x x 2．复数i i --13等于( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i 3．“1±=a ”是函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分条件也不必要条件 4．定义在R 上的函数f(x)满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),4(log )(2x x f x f x x x f ，则f(3)的值为( )A.-1B. -2C.1D. 25．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中应填入的条件是( )A.i<4B.i<5C.i≥5D.i<66．如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几何体的体积为( )A．π3 B.3πC．π33 D．π397．已知向量b,的夹角为600，且1||,2||==，则向量a与2+的夹角为( )A.1500B.1200C.600D.3008．设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．A ．x y42±= B.x y 82±= C.y 2=4x D.y 2=8x 9．已知命题]2,1[:∈∀x p ，x 2-a ≥0，命题R x q ∈∃:，x 2+2ax+2-a=0.若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤-2或a=1 B.a ≤-2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．-2≤a ≤110.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则使cos ∠POQ 取最小值时的∠POQ 的大小为( )A ．2πB ．πC ．2π D ．4π第II 卷（非选择题）（100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题(11-13题)11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=9，S 3=15，则数列{a n }的通项为________12.若直线2ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则b a 31+的最小值为________13.某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格；由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是____件。
（二）选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C 为切点，且OC=3，AB=4，延长AO 到D 点，则△ABD 的面积是___________.15.（坐标系与参数方程选做题）设P （x,y ）是曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2:y x C （θ为参数）上任意一点，则x y 的取值范围是___________.三．解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足B B B 2cos 3)12cos 2(sin 22-=-. (1)求B 的大小；(2)如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC的最大值．17.（本题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．18．（本题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD=2，24=DB ，求四棱锥F-ABCD 的体积.19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为35，短轴一个端点到右焦点的距离为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：x 2+y 2=b2的两条切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本题满分14分）已知函数)21(,1223)(≠--=x x x x F . (1)求++)20102()20101(F F )20102009(F + 的值： (2)已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=F(a n )，求证数列}11{-na 是等差数列：(3)已知n n n b212-=，求数列{a n b n }的前n 项和S n ．21．（本题满分14分） 已知f(x)=xlnx ，a x x x g +-=221)(. (1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t ，t+2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x ∈(0，+∞)，都有e ex g x x x 21)('ln -+>成立参考答案一.选择题 DCCBD DDBAD二.填空题 11.2n+1 12.324+ 13.800 14．54815．]33,33[-16．(1)解：=-)12cos 2(sin 22B B =⇒-B B B cos sin 22cos 3⇒-B 2cos 332tan -=B ……4分 ∵0<2B<π，322π=∴B ，3π=∴B ……6分(2)由332tan π=⇒-=B B ∵b=2，由余弦定理，得：4=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) …9分∵△ABC 的面积B ac SABC sin 21=∆343≤=ac ∴△ABC 的面积最大值为3 …12分17.解：(1)百米成绩在[16，17)内的频率为0.32×1=0.32. 0.32×1000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数为320人。
……2分(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x 依题意：得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，∴x=0.02 ……4分设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则n802.08=⨯ ∴n=50 ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为，a ，b ，c百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m ，n ，p ，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b}，{a,c}，{a ，m}，{a ，n}，{a,p},{a ，q}，{b ，c}，{b ，m}，{b,n}，{b,p},{b,q},{c,m}，{c,n}，{c,p},{c,q}，{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}, 共21个……9分其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a ，b}，{a,n}，{a,p}，{a ，q}，{n,m},{b,n}，{b,p}，{b,q}，{c,m}，{c,n}，{c,p}，{c,q}，共12个， ……10分 所以742112==P ……12分18. (1)证法:∵EF//AD, AD//BC ∴EF//BC 且EF=AD=BC∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点 ………2分又∵G 是FD 的中点∴HG//CD ………4分⊂/HG 平面CDE ，⊂CD 平面CDE∴GH//平面CDE ………7分 证法2：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 ………1分∴在△EAB 中，GH//AB …………………3分 又∵AB//CD，∴GH//CD ，…………………………4分⊂/HG 平面CDE ，⊂CD 平面CDE∴GH//平面CDE ………7分 (2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD ． ………9分∵BC=6, ∴FA=6 又∵CD=2,24=DB ,CD 2+DB 2=BC 2∴BD ⊥CD………11分28A =⋅=∴BD CD S BCD口FA S V ABCDABCD F ⋅=∴-口3121662831=⨯⨯= …………………14分19．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+===222335cba a a c ………3分∴b=2， …………………4分∴所求椭圆方程为14922=+ y x ……………5分(2)如图，设P 点坐标为(x 0，y 0)， (6)分若∠APB=900，则有||||AP OA = ………7分即22||||||OA OP OA -= ………8分有42202-+=y x两边平方得82020=+yx ……①………9分又因为P(x 0，y 0)在椭圆上，所以3694202=+y x ……②……10分 ①，②联立解得53620=x，5420=y……11分所以满足条件的有以下四组解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=55255600y x ………13分所以，椭圆C 上存在四个点)552,556(，)552,556(-，)552,556(-，)552,556(--，分别由这四个点向圆O 所引的两条切线均互相垂直． ………………14分 20．解：(1)因为=-+)1()(x F x F 31)1(22)1(31223=----+--x x x x …………2分所以设)20102()20101(F FS +=)20102009(F ++ ………(1) )20102008()20102009(F F S +=)20101(F ++ (2)(1)+(2)得：+=)20101({2F S +)}20102009(F +)20102({F + )}20102008(F +)20102009({F )}20101(F=3×2009=6027， 所以26027=S ……5分 （2）由a n+1=F （a n ）两边同减去1，得1122311---=-+n n n a a a 121--=n n a a ……7分所以112111--=-+nnn a a a 11)1(2-+-=nn a a 112-+=na 所以211111=---+nn a a ，}11{-na 是以2为公差以1111=-a 为首项的等差数列，…10分(3)因为2)1(211⨯-+=-n a n112=⇒-=na n 122121-=-+n n n 因为nnn b212-=，所以12-=n nn n ba …………12分12102232221-++++=n n nS (3) n n n S 223222121321++++= (4)由(3)-(4)得32102121212121+++=n S n n n 2211-++- nn n 22121--=-所以1224-+-=n n n S……14分21.解(1)23)1(21)(2+-=x x g ，x ∈[0,3] ………1分当x=1时，g min (x)=g(1)=23；当x=3时，27)3()(max==g x g故g(x)值域为]27,23[ ………………3分 (2) f'(x)=lnx+l,当)1,0(ex ∈f'(x)<0，f(x)单调递减，当),1(+∞∈ex ，f'(x)>0，f(x)单调递增. …………5分①et t 120<+<<，t无解； ……… 6分②210+<<<t e t ．即et 10<<时，e ef x f 1)1()(min -== ………………7分③21+<≤t t e,即e t 1≥时，f(x)在[t,t+2]上单调递增，f(x)min =f(t)=tlnt ；……8分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=e t t t e t ex f 1,ln 10,1)(min (9)分(3)g'(x)+1=x ，所以问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->x ee x x x x ，由(2)可知f(x)=xlnx(x ∈(0，+∞))的最小值是e 1-，当且仅当e x 1=时取到； …………11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e ex x m x ，则xe xx m -=1)('，易得em x m 1)1()(max-==，当且仅当x=1时取到，从而对一切x ∈(0，+∞)，都有e ex g x x x 21)(ln -+>成立. ………14分。