《变化率与导数》PPT课件
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北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
2013-8-20
1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
2013-8-20
1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
2013-8-20
1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
2013-8-20
1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
2014年人教A版选修1-1课件 3.1 变化率与导数
x
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (1) h h( 65 ) h(0) 49 65 65 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 02 + 6.5 0 + 10) 49 49 0. h 0 0. 实际是 65 65 t 0 . t 65 这样吗? 49 49 49 65 ]这时段的平均速度为 0. 计算得 t 在 [0, 49
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (3) h h( 65 ) h( 65 ) 49 98 65 65 65 65 2 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 ( ) + 6.5 + 10) 49 49 98 98 13 65 13 65 . h 4 98 4 98 13 . t 65 4 65 65 65 t . 98 49 98 98 这时段的平均速度为负, 速度是向下的.
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件
f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修220831288
1.函数的平均(píngjūn)变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均(píngjūn)变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).
记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
( )-(1 )
(2)结论:商 2 -
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
瞬时变化率
【例2】 已知s(t)= gt1 2,其中g=10 m/s2.
2
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)求平均速度 =
Δ
;
Δ
(4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt 趋于 0
第十三页，共23页。
Δ
时, 趋于
Δ
v(常数).
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t1
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
1
1
2
Δs=s(3.1)-s(3)=2·g·(3.1) -2·g·32=3.05(m),Δs
Δ
3.05
1 = =
=30.5(m/s).
Δ
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1 导数的概念课件6
第十五个全国中小学安全教育日活动总结第十五个全国中小学安全教育日活动总结2021年4月23日是第十五个全国中小学安全教育日。
本次活动的主题是“安全教育，让生命更美好”。
在全国各地，学校、家庭和社会机构共同开展了一系列的活动，让每一个学生都了解到安全教育的重要性，提升他们的安全意识和自我保护能力。
一、学校安全教育活动学校是学生学习、生活的重要场所。
为了让学生掌握安全知识、提高安全意识，各地的中小学校纷纷开展了丰富多彩的安全教育活动。
比如，在某小学，学生们学习了交通安全知识，学校邀请了交警来进行交通安全讲座，并组织了学生们观看交通安全宣传片。
另外，学校利用各种媒体宣传安全知识，例如在广播、橱窗等地方张贴了安全宣传画，并开展了安全抽查活动。
此外，学校还组织了安全逃生演练，让学生们熟悉逃生路线和方法，提高安全自救能力。
二、家庭安全教育活动家庭是孩子的第一批老师，也是孩子学习安全教育的重要场所。
各地的家庭纷纷参与到安全教育活动中来。
一个家庭的安全，不仅仅是指孩子的安全，还有家庭成员的安全。
在这次活动中，很多家庭开展了亲子游戏活动，通过游戏方式让孩子掌握安全知识，学习如何避免危险和保护自己。
同时，一些家庭还针对重点安全领域进行了详细的家庭安全讲解，比如防火、防盗、防电、防溺水等，让孩子牢记安全知识，自律自愿地遵守相关规定。
三、社区安全教育活动社区是为居民提供服务的重要场所，也是开展安全教育活动的重要场所。
在这次活动中，很多社区开设了安全知识讲座，邀请公安部门、消防部门等单位的专业人员为社区居民讲解安全知识，提高他们的安全意识和自我保护能力。
此外，社区还开展了安全检查活动，鼓励居民自查自纠，强化安全管理意识。
综上，第十五个全国中小学安全教育日活动是一次取得了圆满成功的活动。
通过各方面的宣传和组织，使得广大中小学生深入了解到了安全教育的重要性，提高了他们的安全意识和自我保护能力。
希望未来，能继续加强安全教育的力度，让孩子们在健康安全的环境中成长，为未来的社会和家庭贡献自己的力量。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义课件2高二选修22数学课件
B．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
C．f′(x0)＝lim [f(x0＋Δx)－f(x0)] Δx→0
【答案D】．Df′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
12/8/2021
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教材整理 2 导数的几何意义 阅读教材 P61“练习”以下至 P62“例 4”以上部分，完成下列问题． 1．如图 3-2-1 所示，设函数 y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可 以看出：当 Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线； 当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A，割 线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l.直线 l 和曲线 y＝f(x) 在点 A 处“相切”，称________为曲线 y＝f(x)在点 A 处 的切线．
＝ lim
Δx→0
x0＋Δx3－x0＋Δx2＋1－x30－x20＋1 Δx
＝3x20－2x0.
由题意知，3x20－2x0＝1，解得 x0＝－13或 x0＝1.
12/8/2021
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于是切点的坐标为－13，2237或(1,1)． 当切点为－13，2237时，2237＝－13＋a，a＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为－13，2237.
12/8/2021
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求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线 的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切 点在曲线上，可得切点的纵坐标.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-2
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1 x ′ (x)=____。 （8）若f(x)=lnx,则f
2013-4-2
e
(a>0,且a≠1);
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
2013-4-2
（3）若f(x)=sinx,则f
cosx ′(x)=_____;
-sinx ′(x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f xlna(a>0) a x,则f ′(x)=____; （5）若f(x)=a
2013-4-2
x x,则f′ (x)=____; （6）若f(x)=e
1 ′ (x)=_____ a x ln （7）若f(x)=logax,则f
'
记 一
1 公式7 (1oga ) 记 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.
x '
2013-4-2
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
2013-4-2
练习
(1)
4 5x
;
(2)
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.
3.1变化率与导数
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
2 2
2
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1,
Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x
1 0
5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Δ
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ
Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ
Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )