2019中考数学压轴题专项训练题二(附答案)

2019中考数学压轴题专项训练题二

1.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x

轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P 点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE 的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？

2.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.

求证：AD?BC=AP?BP．

（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的

正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．

（1）求抛物线所对应函数的表达式；

（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；

（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A

出发，以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时,解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时,S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在,请说明理由．

5.如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G 三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

答案：

1.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE==3．∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．解得：OD=2.5．∴D点坐标为（0，2.5）．

（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=2.5，AE=5，

PM=0.5t×2.5=0.5t，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．

S

矩形PMNE =PM?PE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；∴S

四边形PMNE

=﹣0.5（t﹣2.5）2+，

又∵0＜2.5＜5．∴当t=2.5时，S

矩形PMNE

有最大值．

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t=AP=0.5AE=2.5．

又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．

此时M点坐标为（2.5，1.25）．

（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD===．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．

∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．

综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，

相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．

2.（1）证明：如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD?BC=AP?BP；

（2）结论AD?BC=AP?BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，

∴AD?BC=AP?BP；

（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，

∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，

∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的经验得AD?BC=AP?BP，

又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．

3.解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，

∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，

∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，

∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）

∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入

得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.

∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），

设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5

∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，

（3）存在符合条件的点P，Q．

∵S

矩形ABCD

=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，

∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，

∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m

1=0，m

2

=1，

∴点P坐标为P

1（0，2），P

2

（1，2）

∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．

∴当点P坐标为P

1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q

1

（2，2），Q

2

（﹣2，2）；

当点P坐标为P

2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q

3

（3，2），Q

4

（﹣1，2）；

（4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，

∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5

∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为（0.5，3）

4.解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，

如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，

解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=0.5OM?PN=0.5（4﹣x）?

=﹣x2+1.x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+1.x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+1.5，

∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是1.5；

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；

综上所述：x的值是2秒或秒．

5.