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2019中考数学压轴题专项训练有答案

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2019年全国各地中考真题压轴题精选：四边形综合(带答案解析)

2019年全国各地中考真题压轴题精选：四边形综合(带答案解析)

四边形综合题一．选择题（共1小题）1．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．18√3m 2C ．24√3m 2D ．45√32m 2 二．填空题（共2小题）2．（2019•日照）规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为（a ，b ），那么向量OP→可以表示为：OP →=（a ，b ），如果OA →与OB →互相垂直，OA →=（x 1，y 1），OB →=（x 2，y 2），那么x 1x 2+y 1y 2＝0．若OM →与ON →互相垂直，OM →=（sin α，1），ON →=（2，−√3），则锐角∠α＝ ．3．（2019•上海）如图，在正六边形ABCDEF 中，设BA →=a →，BC →=b →，那么向量BF →用向量a →、b →表示为 ．三．解答题（共38小题）4．（2019•抚顺）如图，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，BC 上，且DE ＝CF ，点P在射线BC 上（点P 不与点F 重合）．将线段EP 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，过点E 作GD 的垂线QH ，垂足为点H ，交射线BC 于点Q ．（1）如图1，若点E 是CD 的中点，点P 在线段BF 上，线段BP ，QC ，EC 的数量关系为 ．（2）如图2，若点E 不是CD 的中点，点P 在线段BF 上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．5．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，①判断△AEG的形状，并说明理由．②求证：△DEF是等边三角形．（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．6．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB＝4√2，请直接写出点O经过的路径长．7．（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF 绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E 和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD=34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB=√13，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．8．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5√3，CD ＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．9．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．10．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）11．（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D 作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．12．（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13．（2019•吉林）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE ＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ=54cm时，直接写出x的值．14．（2019•长春）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．15．（2019•吉林）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．16．（2019•常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．17．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC 内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．19．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A 、D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：△PDE ≌△QCE ；（2）过点E 作EF ∥BC 交PB 于点F ，连结AF ，当PB ＝PQ 时，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②请判断四边形AFEP 是否为菱形，并说明理由．20．（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝6．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD ＝30°时，求点C 的坐标；（2）设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为212时，求OA 的长；（3）当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值．21．（2019•天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ．试证明：AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知AC ＝4，AB ＝5，求GE 的长．22．（2019•无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2√3．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．23．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．25．（2019•苏州）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2√5cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．26．（2019•资阳）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD 的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．27．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．28．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．29．（2019•绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．30．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a 的取值范围．31．（2019•泰州）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．32．（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC 边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．33．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）34．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．35．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．36．（2019•白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．37．（2019•济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．38．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．39．（2019•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．40．（2019•达州）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．41．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE 绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．四边形综合题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝6−12x，∴AD＝CE=√3BE＝6√3−√32x，AB＝AE+BE＝x+6−12x=12x+6，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（6√3−√32x）=−3√38x2+3√3x+18√3=−3√38（x﹣4）2+24√3，∴当x＝4时，S最大＝24√3．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24√3m2；故选：C．二．填空题（共2小题）2．【解答】解：依题意，得2sinα+1×（−√3）＝0，解得sinα=√3 2．∵α是锐角，∴α＝60°．故答案是：60°．3．【解答】解：连接CF．∵多边形ABCDEF 是正六边形，AB ∥CF ，CF ＝2BA ，∴CF →=2a →，∵BF →=BC →+CF →，∴BF →=2a →+b →，故答案为2a →+b →．三．解答题（共38小题）4．【解答】解：（1）BP +QC ＝EC ；理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，由旋转的性质得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，又∵∠EPQ +∠PEC ＝90°，∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠EPQ ＝∠GED ， 在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G，∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP +QC ＝BC ﹣PQ ＝CD ﹣ED ＝EC ，即BP +QC ＝EC ；故答案为：BP +QC ＝EC ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：由题意得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB ＝90°，BC ＝DC ，∴∠EPQ +∠PEC ＝90°，∵∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠GED ＝∠EPQ ，在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G，∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP +QC ＝BC ﹣PQ ＝CD ﹣ED ＝EC ，即BP +QC ＝EC ；（3）分两种情况：①当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 上，由（2）可知：BP ＝EC ﹣QC ，∵AB ＝3DE ＝6，∴DE ＝2，EC ＝4，∴BP ＝4﹣1＝3；②当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 的延长线上，如图3所示：同（2）可得：△PEQ ≌△EGD （AAS ），∴PQ ＝DE ＝2，∵QC ＝1，∴PC ＝PQ ﹣QC ＝1，∴BP ＝BC ﹣PC ＝6﹣1＝5；综上所述，线段BP 的长为3或5．5．【解答】（1）①解：△AEG 是等边三角形；理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AB ∥CD ，∠CAD =12∠BAD ＝60°，∴∠BAD +∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°，∵GH ∥DC ，∴∠AGE ＝∠ADC ＝60°，∴∠AGE ＝∠EAG ＝∠AEG ＝60°，∴△AEG 是等边三角形；②证明：∵△AEG 是等边三角形，∴AG ＝AE ，∵CF ＝AG ，∴AE ＝CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝120°，∴∠DCF ＝60°＝∠CAD ，在△AED 和△CFD 中，{AD =CD∠EAD =∠FCD AE =CF，∴△AED ≌△CFD （SAS ）∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADC ＝∠ADE +∠CDE ＝60°，∴∠CDF +∠CDE ＝60°，即∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形；（2）解：△DEF 是等边三角形；理由如下：同（1）①得：△AEG 是等边三角形，∴AG ＝AE ，∵CF ＝AG ，∴AE ＝CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝120°，∠CAD =12∠BAD ＝60°，∴∠FCD ＝60°＝∠CAD ，在△AED 和△CFD 中，{AD =CD∠EAD =∠FCD AE =CF，∴△AED ≌△CFD （SAS ），∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADC ＝∠ADE ﹣∠CDE ＝60°，∴∠CDF ﹣∠CDE ＝60°，即∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形．6．【解答】解：（1）OE ＝OD ，OE ⊥OD ；理由如下：由旋转的性质得：AF ＝AC ，∠AFE ＝∠ACB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝∠ACD ＝∠F AC ＝45°，∴∠ACF ＝∠AFC =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DCF ═∠EFC ＝22.5°，∵∠FEC ＝90°，O 为CF 的中点，∴OE =12CF ＝OC ＝OF ，同理：OD =12CF ，∴OE ＝OD ＝OC ＝OF ，∴∠EOC ＝2∠EFO ＝45°，∠DOF ＝2∠DCO ＝45°，∴∠DOE ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE ⊥OD ；（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：延长EO 到点M ，使OM ＝EO ，连接DM 、CM 、DE ，如图2所示：∵O 为CF 的中点，∴OC ＝OF ，在△COM 和△FOE 中，{OM =EO∠COM =∠FOE OC =OF，∴△COM ≌△FOE （SAS ），∴∠MCF ＝∠EFC ，CM ＝EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BAC ＝∠BCA ＝45°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α得△AEF ，∴AB ＝AE ＝EF ＝CD ，AC ＝AF ，∴CD ＝CM ，∠ACF ＝∠AFC ，∵∠ACF ＝∠ACD +∠FCD ，∠AFC ＝∠AFE +∠CFE ，∠ACD ＝∠AFE ＝45°， ∴∠FCD ＝∠CFE ＝∠MCF ，∵∠EAC +∠DAE ＝45°，∠F AD +∠DAE ＝45°，∴∠EAC ＝∠F AD ，在△ACF 中，∵∠ACF +∠AFC +∠CAF ＝180°，∴∠DAE +2∠F AD +∠DCM +90°＝180°，∵∠F AD +∠DAE ＝45°，∴∠F AD +∠DCM ＝45°，∴∠DAE ＝∠DCM ，在△ADE 和△CDM 中，{AE =CM∠DAE =∠DCM AD =CD，∴△ADE ≌△CDM （SAS ），∴DE ＝DM ，∵OE ＝OM ，∴OE ⊥OD ，在△COM 和△COD 中，{CM =CD∠MCF =∠FCD OC =OC，∴△COM≌△COD（SAS），∴OM＝OD，∴OE＝OD，∴OE＝OD，OE⊥OD；（3）连接AO，如图3所示：∵AC＝AF，CO＝OF，∴AO⊥CF，∴∠AOC＝90°，∴点O在以AC为直径的圆上运动，∵α＝360°，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，∵AC=√2AB=√2×4√2=8，∴点O经过的路径长为：πd＝8π．7．【解答】解：（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案为CE+CF＝BC．（2）如图2中，结论不成立．CE+CF=12BC．理由：连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ．∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠BCO＝∠OCF＝60°，∵∠EOF+∠ECF＝180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE＝∠OCE＝60°，∵∠EOF＝60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF＝FE，∠OFE＝60°，∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC＝FJ，∠EFC＝∠OFE＝60°，∴∠OFJ＝∠CFE，∴△OFJ≌△EFC（SAS），∴OJ＝CE，∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC=12BC，（3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x．在Rt△ABH中，BH=√13−3x2，∵OB＝4，∴√13−3x2+x＝4，解得x=32或12，∴OH=12或32，∴OA＝2OH＝1或3（舍弃），∵∠COD+∠ACD＝180°，∴A，C，O，D四点共圆，∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA，∴OC＝1−34=14．8．【解答】解：（1）如图一（1）中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵tan∠DAC=DCAD=553=√33，∴∠DAC＝30°．（2）①如图一（1）中，当AN＝NM时，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），∴BA＝BM，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5，∴AC＝2AB＝10，∵∠BAM＝60°，BA＝BM，∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5．如图一（2）中，当AN＝AM时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°，∵∠BMN＝90°，∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°，∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠CMB＝∠CBM，∴CM＝CB＝5√3，综上所述，满足条件的CM的值为5或5√3．②结论：∠MBN＝30°大小不变．理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，∴∠MBN＝∠MAN＝30°．如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°，∴A，N，B，M四点共圆，∴∠MBN+∠MAN＝180°，∵∠DAC+∠MAN＝180°，∴∠MBN＝∠DAC＝30°，综上所述，∠MBN＝30°．（3）如图二中，∵AM＝MC，∴BM＝AM＝CM，∴AC＝2AB，∴AB＝BM＝AM，∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝∠BMA＝60°，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，∴∠NAM＝∠NMA＝30°，∴NA＝NM，∵BA＝BM，∴BN垂直平分线段AM，∴FM=5 2，∴NM=FMcos30°=5√33，∵∠NFM＝90°，NH＝HM，∴FH=12MN=5√36．9．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG ∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．10．【解答】解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，。

2019年中考数学冲刺压轴题---由比例线段产生的函数关系问题(有解析)

2019年中考数学冲刺压轴题---由比例线段产生的函数关系问题(有解析)

2019年中考数学冲刺压轴题---由比例线段产生的函数关系问题（有解析）例1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =． 图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =． 在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =． 在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+． 在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =． 在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+． ①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根． ②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA == ③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==． 例2：如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1（1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA -==-，642163ON t t OB -==-， 所以OM ON OA OB≠．因此MN 与AB 不平行． （2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OM OB=． 所以462426t t -=-．解得t ＝2． 图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，3(12)MH t =-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例3：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图思路点拨1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E 在BC 上的图形画在备用图中．3．第（3）题当E 在BC 上时，重新设BP ＝m 可以使得运算简便一些．满分解答（1）在Rt △ABC 中，BC ＝30，AB ＝50，所以AC ＝40，3sin 5A ∠=，3tan 4A ∠=． 在Rt △ACP 中，3sin 40245CP AC A =⋅∠=⨯=． 在Rt △CMP 中，因为12sin 13CP CMP CM ∠==，所以131324261212CM CP ==⨯=． （2）在Rt △AEP 中，3tan 4EP AP A x =⋅∠=． 在Rt △E MP 中，因为12sin 13EP EMP EM ∠==，所以12tan 5EP EMP MP ∠==． 因此55351212416MP EP x x ==⨯=，13133131212416EM EP x x ==⨯=． 已知EM ＝EN ，PE ⊥AB ，所以MP ＝NP 516x =． 于是52150501616y BN AB AP NP x x x ==--=--=-． 定义域为0＜x ＜32．（3）①如图3，当E 在AC 上时，由AM EN ME NB =，得51316161321501616x x x x x -=-． 解得x ＝AP ＝22．②如图4，当E 在BC 上时，设BP ＝m ，那么AP ＝50－m ．在Rt △BEP 中，43EP m =． 在Rt △EMP 中，5545121239MP EP m m ==⨯=，131313412129EM EP m m ==⨯=．所以514505099AM AB BP MP m m m =--=--=-，54599BN BP NP m m m =-=-=． 这时由AM EN ME NB =，得1413509913499m m m m -=．解得m ＝BP ＝8．所以AP ＝50－m ＝42． 图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题没有条件“△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM ＝∠EBN ，此时PE 垂直平分AB ，AP ＝25．由面积产生的函数关系问题例1：如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=． 而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=． m 的取值范围是0＜m ＜9． 图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m AD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818． 此时E 是AB 的中点，92BE =． 如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sinB ==在Rt △BEH 中，9sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==． 考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例2：如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2 动感体验动点D 由A 向C 运动，观察(m ＋n )随x 变化的图象，可以体验到，D 到达G 之前，(m ＋n )的值越来越大；D 经过G 之后，(m ＋n )的值越来越小．观察圆与线段AC 的交点情况，可以体验到，当D 运动到G 时（如图3），或者点A 在圆的内部时（如图4），圆与线段AC 只有唯一的交点D ．图3 图4拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ． （2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565． 例3：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨 1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+． 所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△． 图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =． 图5 图6 图7 考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =． 图8 图9例4：如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1 思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐． 满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+． 图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t=时，S最大，最大值为856．②当532t＜≤时，2232812822()339S t t t=-+=--+．因为抛物线开口向下，所以当83t=时，S最大，最大值为1289．③当1633t＜≤时，16322S MQ PM t=⋅=-+．因为S随t的增大而减小，所以当3t=时，S最大，最大值为14．综上所述，当83t=时，S最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？此时161332t＜≤，216316MQ t t t=+-=-．因此16322S MQ PM t=⋅=-．图5例6：如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．满分解答（1）在Rt△ABC中，233 tanBCBACAB∠===，所以∠BAC＝30°．如图2，当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，在Rt △BCF 中，∠BFC ＝60°，BC =所以BF ＝2．因此PF ＝3－2＝1，运动时间t ＝1． 图2（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，S =+．②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，2S =++③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，S =-+④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，26)S t =-．图3 图4 图5（3）等腰△AOH 分三种情况：①AO ＝AH ，②OA ＝OH ，③HA ＝HO ．在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．△AEH 的形状保持不变，AH ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．图6 图7 图8①当AO ＝AH )3t -=，得3t =-（如图7）；3)3t -=，得3t =+8）．②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO AH ＝3AE ．解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．图9 图10 图11考点伸展图3，图4中，点E 向A 运动，EF ＝6；图5，图6中，点E 折返，EF ＝12－2t ．。

2019年中考数学真题分类 压轴题(10题)精选 四(含答案)

2019年中考数学真题分类 压轴题(10题)精选 四(含答案)

2019年中考数学真题分类压轴题(10题)精选四1.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)和B(l，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(﹣1，0)，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．3.如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q(2，1)时，求t的值；(3)在抛物线y=x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．4.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A(0，3)，C(﹣3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，点E的坐标为(0，﹣1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．(3)已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．8.如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．9.已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2，0)和C(0，)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且∠DEF=∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3)若点P在抛物线上，且=m，试确定满足条件的点P的个数．10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为(6，0)，(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．参考答案1.解：2.解：3.解：4.解：5.解：6.解：7.解：8.解：9.解：10.解：。

2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题(含答案解析)

2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题(含答案解析)

2019年湖南省各市中考数学真题精选汇编压轴题：1-16页2019年湖南省各市中考数学真题精选压轴题剖析：17-79页一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4 7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1 8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8 10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是．（只填序号）12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．14．（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．15．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．16．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．17．（2019•岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．18．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．19．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）20．（2019•郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．三．解答题（共19小题）21．（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．22．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．23．（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？24．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．25．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．27．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．28．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．29．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．30．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD ＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．31．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．32．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．33．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）34．（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．35．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．36．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC 交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．38．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．39．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m＝2，0，﹣1，得出整数解的个数，即可求解．【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜，解不等式4x﹣m＞0，得：x＞，∵不等式组有解，∴＜，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为＜x＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为﹣＜x＜，整数解为x＝0，1，2，3，有4个．故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4【分析】找出a i+b i的值，结合对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a i，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，即可得出S的最大值．【解答】解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选：C．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则所列方程组为，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∵m＞0，k＞0，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝105；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝315．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x＝1代入时，得到结论．【解答】解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，故答案为：315．【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，。

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案二次函数是中考数学的必考点，每年的中考数学试题中，二次函数都占了不少的比例，考题或以综合题的形式出现，或以选择题的形式出现，或以填空题的形式出现，不论以哪种形式出现，都旨在考查学生对二次函数的理解，以及应用二次函数解决实际问题的能力，下面我们一起来看中考网为大家带来的"2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案"，希望通过本题的练习，能加强考生对二次函数性质的理解。

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。

点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。

伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。

点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）。

（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。

分析：(1)先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离;(2)作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式;(3)当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t;(4)①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t;②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t. 解答：二次函数的性质是考生必须掌握的考点，在中学数学学习中占有重要的地位，本文为考生提供的2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案除了考查学生利用二次函数的相关知识处，同时还考查了学生对相似三角形的判定定理、线段比的知识，做题时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大。

2019中考数学二次函数压轴题(含答案)

2019中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．。

备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形(附解析)

备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形(附解析)

备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF ＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝（用含t的代数式表示）；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为4（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM （如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．3．如图1，已知三角形纸片△AB C和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC ≌△DEF．数学实验课上，张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作：【操作探究1】保持△ABC不动，将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置，通过度量发现BE：CE＝1：2，则S△CGE：S△CAB＝；【操作探究2】保持△ABC不动，将△DEF通过一次全等变换（平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程．（友情提醒：描述过程要完整）【操作探究3】将两个三角形按图3所示放置：点C与点F重合，AB∥DE．保持△ABC不动，将△DEF沿射线DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，设△DEF 平移的距离为m．①当m＝0时，连接AD、BE，判断四边形ABED的形状并说明理由；②在平移的过程中，四边形ABED能否成为正方形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC 上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP ＝，AE达到最大值，最大值是．5．问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．6．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F（1）如图1，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF（3）当∠COD＝60°、CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）：①求证：△BOG≌△POE；②猜想：＝；（2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由．8．在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）．（1）当α＝60°时，△CBD的形状是；（2）设AH＝m①连接HD，当△CHD的面积等于10时，求m的值；②当0°＜α＜90°旋转过程中，连接OH，当△OHC为等腰三角形时，请直接写出m的值．10．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）①当t为时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）；②当t为时，S△ACE＝2S△FCE．（直接写出结果）11．如图，四边形AOBC中，点C到直线OA，OB的距离相等为m，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OB长为n，且m＝++4，四边形AOBC的面积为6．（1）求线段OA的长；（2）P为AB延长线上一点，PQ∥OC，交CB延长线于Q，探究∠OAP、∠ABQ、∠Q的数量关系并说明理由；（3）作AD平行CB交CO延长线于D，BE平分∠CBH，BE反向延长线交CO延长线于F，若设∠ADO＝α，∠F＝β，试求α+2β的值．12．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．13．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后（0°＜α＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜360°）过程中，当BG为最小值时，求AF的值．14．综合与实践：问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①线段BE和BF的数量关系是；②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．15．如图O为坐标原点，四边形ABCD是菱形，A（﹣8，8），B点在第一象限，AB＝10，AB与y轴交于点F，对角线AC交y轴于点E（1）直接写出B、C点的坐标；（2）动点P从C点出发以每秒2个单位的速度沿折线段C﹣D﹣A运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示△EDP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使△APE沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A（a，0），B（b，0）在坐标轴上，C的纵坐标是2，且a，b满足式子：（1）求出点A、B、C的坐标．（2）连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．（3）若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD 和∠EOQ之间的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）如图1，△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝t；当D在AC上时，如图2，∵DE＝DF，∴EC＝CF＝EF＝5，∴t＝5．故答案为：t；（2）①如图3，过点P作PM⊥BC于M，∴∠BMP＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△PBM，∴，∴，∴PM＝8﹣t，又∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠EQC＝∠DEF＝45°，∴CE＝CQ＝t，∴y＝S△ACB﹣S△ECQ﹣S△PBE＝AC•BC﹣EC•CQ﹣BE•PM，＝×8×6﹣×t×t﹣（6﹣t）（8﹣t），＝﹣t（0＜t≤5），∵a＝﹣＜0，∴当x＝﹣＝﹣＝时，y最大值＝﹣×+×＝，②存在．i）当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作PH⊥BE于H，过点P作PW⊥AC于W，∴△ABC∽△APW，∴，即，∴PW＝t，AW＝t，∴QW＝8﹣t﹣t＝8﹣t，EH＝t﹣t＝t，由①可得：CE＝CQ＝t，PH＝8﹣t∴PQ2＝PW2+QW2＝（t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64，PE2＝PH2+EH2＝（8﹣t）2+（t）2＝t2﹣t+64，EQ2＝CE2+CQ2＝t2+t2＝2t2∵∠PQE＝90°，在Rt△PEQ中，PQ2+EQ2＝PE2，即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝；当∠PEQ＝90°，PE2+EQ2＝PQ2即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝20（舍去）∴此时不存在；当∠EPQ＝90°时PQ2+PE2＝EQ2，即：（t2﹣t+64）+（t2﹣t+64）＝2t2，t1＝（舍去）t2＝4，综合上述：当t＝或t＝4时，△PQE是直角三角形．2．解：（1）证明：如图1，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）如图2，根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，∵PF＝FC＝2，PB＝BC＝4，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣2）2+42，∴x＝5，∴AQ＝BQ﹣AB＝5﹣4＝1；（3）∵正方形边长为4，∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，∴AN＝AB＝4，∵∠AHM＝90°，∴GN∥HM，…（8分）∴△AGN∽△AHM∴＝（）2，∴＝（）2，∴S△AGN＝，∴S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝4﹣＝，∴四边形GHMN的面积是．3．解：（1）如图2，由题意知DE∥AB，∴△CGE∽△CAB，∴＝（）2，∵＝，∴＝，则＝（）2＝，故答案为：4：9；（2）将△DEF沿EF翻折或绕BC中点旋转180°；（3）①∵AB∥DE且AB＝BC＝DC＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠ABC＝180°，且∠DEC＝∠ABC，∠CEB＝∠CBE，∴∠DEC+∠CEB＝90°，即∠BED＝90°，∴四边形ABED是矩形；②能，如图，过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥BE，CM⊥AB，∴BG＝BC＝5，∴AG＝＝12，∵S△ABC＝AB•CM＝BC•AG，∴CM＝＝，则BH＝CM＝，BE＝2BH＝，∵四边形ABED是正方形，∴平移后BE＝AB，则m＝+13＝或m＝﹣13＝．4．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接A Q，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，∴，∴AE＝（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．5．解：（1）在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，∴∠BAC＝∠AC'D，∵∠CAC'＝∠BAC，∴∠CAC'＝∠AC'D，∴AC∥C'E，∵AC'∥CE，∴四边形ACEC'是平行四边形，∵AC＝AC'，∴▱ACEC'是菱形，故答案为：菱形；（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC'，∴∠BAC+∠DAC'＝90°，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC'＝90°，由旋转知，AC ＝AC '，∵点F 是CC '的中点，∴AG ⊥CC '，CF ＝C 'F ，∵AF ＝FG ，∴四边形ACGC '是平行四边形，∵AG ⊥CC '，∴▱ACGC '是菱形，∵∠CAC '＝90°，∴菱形ACGC '是正方形；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝8，∴AC '＝AC ＝8，AD ＝BC ＝4，sin ∠ACB ＝＝，∴∠ACB ＝30°，由（2）结合平移知，∠CHC '＝90°，在Rt △BCH 中，∠ACB ＝30°，∴BH ＝BC •sin30°＝2，∴C 'H ＝BC '﹣BH ＝8﹣2，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ＝2，∴CH ＝AC ﹣AH ＝8﹣2＝6，在Rt △CHC '中，tan ∠C ′CH ＝＝．6．解：（1）△BEF 是等腰直角三角形，理由是：如图1，∵∠COD ＝90°，∴AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝45°，∵EF ∥AC ，∴∠FEB ＝∠ACB ＝45°，∠F ＝∠BOC ＝90°，∴△BEF 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，∵PE＝PC，∴∠BEP＝∠PCB，∴∠EPB＝∠OCP，∵EF∥AC，∴∠COP＝∠BFE，∴△PEF≌△CPO（AAS），∴OC＝PF＝OB，∴OB﹣PB＝PF﹣PB，即OP＝BF；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∵∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD＝3，如图3，当∠PEF＝90°时，∵EF∥AC，∴∠POC＝∠OFE＝60°，∴∠BFE＝120°，∴OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠FEB ＝30°，∵∠FEP ＝90°，∴∠PEC ＝60°，∵PE ＝PC ，∴△PEC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，∴∠PCO ＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE ，∴△PFE ≌△COP （ASA ），∴PF ＝OC ＝3，Rt △PFE 中，EF ＝，PE ＝，∴S △PEF ＝＝＝；∴当△PEF 成为直角三角形时的面积是．7．（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°，∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°﹣∠BGO ，∠EPO ＝90°﹣∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，在△BOG 和△POE 中，∵，∴△BOG ≌△POE （ASA ）；②由①知，△BOG ≌△POE ，∴BG ＝PE ，∵∠BPE ＝∠ACB ，∠BPF +∠GPF ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠GPF ，∵BF⊥PE，∴BF＝BG，∴＝，故答案为：；（2）解：猜想．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB．∴NB＝NP．∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE，在△BMN和△PEN中，∵，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM＝PE．∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF＝MF．即BF＝BM．∴BF＝PE．即．8．（1）证明：在矩形ABCD中，∠DCE＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE＝90°，∵CE＝EF，DE＝DE，∴△CED≌△FED（HL），∴∠CED＝∠FED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE；（2）①分两种情况：当点E在线段BC上时，AF＝BF，如图 1 所示：∴∠ABF＝∠BAF，∵∠ABF+∠EBF＝90°，∠BAF+∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠BEF，∴EF＝BF，∴AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10﹣8＝2；当点E在BC延长线上时，AF＝BF，如图 2 所示：同理可证AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10+8＝18，综上，BE的长是2或8；②m﹣n＝0，理由如下：当BF∥DE时，延长BF交AD于G．如图3：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠BAG＝∠DCE＝90°，∵BF∥DE，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BE＝DG，∴S△DEF＝，AG＝CE，▱BEDGS △BEF +S △DFG ＝S ▱BEDG ，∵△ABG ≌△CDE ，∴S △ABG ＝S △CDE ，∵S △ABE ＝S ▱BEDG ，∴S △ABE ＝S △BEF +S △DFG ，∴S △ABF ＝S △DFG ，∴S △ABF +S △AFG ＝S △DFG +S △AFG ，即S △ABG ＝S △ADF ，∴S △CDE ＝S △ADF ，即m ﹣n ＝0．9．解：（1）∵矩形COAB 绕点C 顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED ， ∴∠BCD ＝60°，CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①∵四边形CFED 是矩形，∴∠DCH ＝90°，∵△CHD 的面积等于10，∴CD •CH ＝10，∵CD ＝4，∴，CH ＝5，Rt △BCH 中，由勾股定理得：BH ＝＝＝3， ∴AH ＝8﹣3＝5，即m ＝5；②当△OHC 为等腰三角形时，分三种情况：i ）当OH ＝CH 时，如图2，∵OA＝BC，∴Rt△AOH≌Rt△BCH（HL），∴AH＝BH＝4，即m＝4；ii）当OH＝OC＝8时，如图3，∵OA＝4，由勾股定理得：AH＝＝＝4，即m＝4；iii）当OC＝CH＝8时，如图4，此时F与H重合，则BH＝4，∴m＝8﹣4，综上，m的值是4或4或8﹣4．10．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为或8s．②∵AG∥BC，∴当AE＝2CF时， S△AEC＝S△EFC，∴t＝2（8﹣2t）或t＝2（2t﹣8），解得t＝或，故答案为：或．11．解：分别以OB、OA所在的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．（1）由题意，解得n＝2，∴m＝4，∴B（2，0），C（4，4）．如图1中，∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴×2×4+×OA×4＝6，∴OA＝1．（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB ﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图3中，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．12．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，则△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG＝45°，∵∠AFC＝45°，∴∠GFC＝90°，同理得：△BAF≌△CAG，∴CG＝BF＝13，Rt△CGF中，∵CF＝5，∴FG＝12，∵△FAG是等腰直角三角形，∴AF＝＝6．13．解：（1）结论：BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②如图③中，连接AF．如图②中，在△BDG中，∵BD＝1，DG＝2，∴2﹣1≤BG≤1+2，∴GB的最小值为1，此时如图③中，G，B，D共线，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．14．解：（1）①∵∠DBE绕点B顺针旋转90°，如图（1）由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴BE＝BF；故答案为：BE＝BF②DF+DE＝BD，理由如下：由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴DE＝GF，∴DF+DE＝DG，∵DG＝BD，即DE+DF＝BD；（2）①DF+DE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，由旋转120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠BDG＝∠G＝30°，∴BD＝BG，∴△EBD≌△FBG（ASA），∴DE＝FG，∴DE+DF＝DF+FG＝DG，过点B作BM⊥DG于点M，如图（2）∵BD＝BG，∴DG＝2DM，在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，∴BD＝2BM．设BM＝a，则BD＝2a，DM＝，∴DG＝2a，∴，∴DF+DE＝BD，②过点B作BM⊥DG，BN⊥DC，如图（3）∵DE＝DC＝2a，由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．15．解：（1）如图1中，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝BC＝10，CD∥AB，∵A（﹣8，8），∴AH＝OH＝8，DH＝＝6，∴OD＝2，OC＝8，∴B（2，8），C（8，0）．（2）如图2，连接DE，作EK⊥AD于K．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣8，8），C（8，0），∴，∴，∴直线AC地方解析式为y＝﹣x+4，∴E（0，4），∴EF＝OE＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAF＝∠EAK，∵AE＝AE，∠AFE＝∠AKE＝90°，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴EF＝EK＝4，当0≤t＜5时，S＝×4（10﹣t）＝﹣2t+20．当5＜t≤10时，S＝×4（t﹣10）＝2t﹣20．（3）①如图3中当点P在AD上，AP＝AE时，沿PE翻折，可得四边形PAEA′为菱形，在Rt△AEF中，AE＝＝＝4，∴AP＝AE＝4，∴t＝20﹣4②如图4中，当点P在AD上，PA＝PE时，沿AE翻折，可得四边形PAP′E是菱形，设PA＝PE＝EP′＝AP′＝x，在RtEFP′中，则有x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴PA＝5，∴t＝20﹣5＝15，综上所述，满足条件的t的值为20﹣4或15s．16．解：（1）∵又∵≥0，|b﹣4|≥0，∴a+b﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0）．B（4，0），∵四边形ABCD是矩形，点C的纵坐标为2，∴C（4，2）．（2）设M（，t），∵S△ABC＝×（4+2）×2＝6，△COM的面积＝△ABC的面积，∴•|t|•4＝6，解得t＝±3，∴M点坐标为（0，3）或（0，﹣3）；（3）结论：∠OPD＝2∠EOQ．∵OE平分∠AOP，∴∠AOE＝∠POE＝∠1+∠2，∵OF⊥OE，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∠4+∠AOE＝90°，∴∠3＝∠4，∵CD⊥y轴，∴CD∥AB，∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，∵∠1+∠2+∠3＝90°，∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝∠2+2∠3，∴∠1＝∠3，∴∠OPD＝2∠EOQ．。

2019年全国各地中考数学压轴题汇编：选择、填空(一)(山东专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编：选择、填空(一)(山东专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）选择、填空（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故选：C．2．（2019•淄博）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019•青岛）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．故选：C．4．（2019•枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．解：∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故选：B．5．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．故选：D．6．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8B．10C．12D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．7．（2019•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．2解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1，故选：A．8．（2019•济宁）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（）A．9B．12C．15D．18解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝2，OB＝6，∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，∴OH＝4，∴A′（6，4），∵BD＝A′D，∴D（3，5），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝15．故选：C．9．（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11；故选：A．10．（2019•德州）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（）A．y＝3x﹣1（x＜0）B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）C．y＝﹣（x＞0）D．y＝x2﹣4x+1（x＜0）解：A、∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2∴当x＜0时，＞0，故A选项不符合；B、∵对称轴为直线x＝1，∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故B选项不符合；C、当x＞0时，y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故C选项不符合；D、∵对称轴为直线x＝2，∴当x＜0时y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2此时＜0，故D选项符合；故选：D．11．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．12．（2019•德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴＝，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴＝，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，∴AN＝AB；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FEG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴＝＝，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C．二．填空题（共13小题）13．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠F AD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．14．（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝36度．解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．15．（2019•青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走16个小立方块．解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：故答案为：1616．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是：＝，故答案为：．17．（2019•枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝﹣．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．18．（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．19．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x1＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．20．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为6﹣cm．解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．21．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．22．（2019•枣庄）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为2018．解：+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2018，故答案为：2018．23．（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为（n，）．（n为正整数）解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，24．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为（﹣1）n+1（）．（用含n的式子表示）解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△F A3D3中，∠F A3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）；25．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．∴tanαn ＝＝．故答案为：．。

2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖南专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖南专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）几何综合参考答案与试题解析1．（2019•株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为22．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题）③两个大小不同的正方形相似．（真命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD＝∠B1C1D1，且＝，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，∵＝＝，∴＝，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，∴，＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2中，∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．∴＝，∵EF＝OE+OF，∴＝，∵EF∥AB∥CD，∴＝，＝＝，∴+＝+，∴＝，∵AD＝DE+AE，∴＝，∴2AE＝DE+AE，∴AE＝DE，∴＝1．3．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．4．（2019•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BC＝2BD＝12，∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4．5．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝6．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t 为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝2，∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．7．（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O 于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：如图1，∵P A切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠P AO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠P AO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠P AO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OP A＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵P A⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝8．（2019•常德）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O切线，∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．9．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．10．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．11．（2019•益阳）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；（2）求证：ND＝NE；（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形．（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∴∠DEN＝∠CDM，∴ND＝NE．（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设DN＝x，则MD＝2x，由此得，解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），∴，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝2．12．（2019•张家界）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．13．（2019•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，∴∠COB＝∠COD，在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠COB＝∠COD，∴∠BOD＝120°，∴的长：＝π．14．（2019•怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝70°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE15．（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD的值．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．16．（2019•湘西州）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，∴∠BDF＝∠CDB，∴△BCD∽△BDF，∴，∴BD2＝BC•BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC•BF．17．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE 沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED ＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2，。

2019中考数学压轴题专项训练题二(附答案)

2019中考数学压轴题专项训练题二(附答案)

2019中考数学压轴题专项训练题二1.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P 点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE 的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？2.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．（1）求抛物线所对应函数的表达式；（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时,解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时,S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在,请说明理由．5.如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G 三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．答案：1.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE==3．∴CE=2．∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．解得：OD=2.5．∴D点坐标为（0，2.5）．（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=2.5，AE=5，PM=0.5t×2.5=0.5t，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．S矩形PMNE =PM•PE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；∴S四边形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）2+，又∵0＜2.5＜5．∴当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值．（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t=AP=0.5AE=2.5．又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．此时M点坐标为（2.5，1.25）．（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）在Rt△AOD中，AD===．过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．2.（1）证明：如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．3.解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，（3）存在符合条件的点P，Q．∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；（4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为（0.5，3）4.解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=0.5OM•PN=0.5（4﹣x）•=﹣x2+1.x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+1.x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+1.5，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是1.5；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．5.。

2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题+含答案解析

2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题+含答案解析

2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．11．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．12．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．13．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．14．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE ⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．16．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）17．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P 落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．21．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC 于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？22．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD ＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE＝＝，PC＝3t，CE＝AC＝＝由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2即+≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CG•CF∴＝＝＝≤∴当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，∴sinαcosα＝∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα∵sin2α+cos2α＝1，∴sinαcosα≤，即≤∴的最大值＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c 的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（Ⅲ）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED 中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，求出S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；②当S＝时，如图③所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，∴O'F＝O'A＝（6﹣t）∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c 得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB ＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x 轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．。

2019中考数学压轴题及解析40例(8)

2019中考数学压轴题及解析40例(8)

2019 中考数学压轴题及分析 40 例（ 8）32. ： RT△ ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形搁置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 X 轴重合〔此中 OA 《OB 〕，直角极点 C 落在 Y 轴正半轴上〔如图 1〕、〔 1〕求线段 OA 、OB 的长和经过点 A 、 B 、 C 的抛物线的关系式、〔 2〕如图 2，点 D 的坐标为〔 2，0〕，点 P 〔 M ，N 〕是该抛物线上的一个动点〔此中 M 》 0， N 》 0〕，连结 DP 交 BC 于点 E 、①当△ BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标、②又连结 CD 、CP 〔如图 3〕，△ CDP 能否有最大面积？假定有，求出△ CDP 的最大面 积和此时点 P 的坐标；假定没有，请说明原因、OA OC解：〔 1〕由题意知 RT △△ AOC ∽ RT △ COB ，∴ OC ＝ OB 、∴ OC2＝OA ·OB ＝OA （AB －OA ），即 22＝OA （5－ OA ）、 ∴ OA2－5OA ＋ 4＝0，∵ OA 《 OB ，∴ OA ＝1， OB ＝ 4、 2 分∴ A （－ 1，0），B （4，0），C （0，2）、∴可设所求抛物线的关系式为 Y ＝ A （ X ＋ 1）（ X －4）、 3 分1将点 C （0，2）代入，得 2＝ A （ 0＋1）（0－4），∴A ＝－ 2、1∴经过点 A 、 B 、C 的抛物线的关系式为 Y ＝－ 2 （X ＋1）（X －4）、 4 分13 即 Y ＝－ 2 X2＋ 2 X ＋2、1484 2545， 5〔2〕① E1（3， 2 ），E2（ 5 ， 5 ），E3（5）、7 分对于点 E 的坐标求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕：设直线 BC 的分析式为 Y ＝KX ＋ B 、1 4k b 0 k2那么b2解得b 21∴直线 BC 的分析式为 Y ＝－ 2 X ＋ 2、1∵点 E 在直线 BC 上，∴ E （ X ，－ 2X ＋2）、1假定 ED ＝ EB ，过点 E 作 EH ⊥ X 轴于 H ，如图 2，那么 DH ＝ 2 DB ＝ 1、∴ OH ＝OD ＋DH ＝2＋1＝3、11∴点 E 的横坐标为 3，代入直线 BC 的分析式，得 Y ＝－ 2 ×3＋2＝ 2、1∴E1（3， 2 ）、1假定 DE ＝ DB ，那么（ X － 2） 2＋（－ 2 X ＋ 2） 2＝22、4整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝ 4〔舍去〕，X2＝ 5 、1 4 848∴ Y ＝－ 2× 5＋2＝5，∴E2（ 5，5）、1假定 BE ＝ BD ，那么（ X － 4） 2＋（－ 2X ＋ 2）2＝22、45整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝45 〔此时点 P 在第四象限，舍去〕 ， X2445＝5、14 244 254555， 5∴Y ＝－ 2 ×（ 5）＋2＝ 5 ，∴ E3（ 5）、②△ CDP 有最大面积、 8 分过点 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于点 M ，如图 3、设直线 PC 的分析式为 Y ＝PX ＋ Q ，将 C （0， 2），P （ M ， N ）代入，q 2 pn 2m得 mpq n 解得 q2n 22n4∴直线PC 的分析式为Y ＝m X ＋ 2，∴ M （ 2，m＋2）、1S △CDP ＝ S △CDM ＋ S △PDM ＝ 2 XP ·YM12n 4＝ 2 M （ m ＋ 2） ＝ M ＋N －21 3＝ M ＋（－ 2 M2＋ 2 M ＋ 2）－ 215＝－ 2M2＋2M15 25＝－ 2（M － 2）2＋ 8525∴当M ＝2时，△ CDP 有最大面积，最大面积为8 、9 分153 521此时 N ＝－ 2×（ 2）2＋ 2× 2＋2＝ 85 21∴此时点 P 的坐标为（ 2 ， 8 ）、 10 分33. 如图，抛物线 Y ＝X2＋4X ＋ 3 交 X 轴于 A 、 B 两点，交 Y 轴于点 C ， ?抛物线的对称轴交 X 轴于点 E ，点 B 的坐标为（－ 1， 0）、〔 1〕求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；〔 2〕在平面直角坐标系 XOY 中能否存在点 P ，与 A 、B 、C 三点组成一个平行四边形？假定存在，请写出点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D ，在抛物线上能否存在点 M ，使得直线 CM把四边形 DEOC 分红面积相等的两部分？假定存在，恳求出直线 CM 的分析式；假定不存在，请说明原因、4解：〔 1〕对称轴为直线 X ＝－ 2＝－ 2，即 X ＝－ 2； 2 分 令 Y ＝ 0，得 X2＋4X ＋3＝0，解得 X1＝－ 1，X2＝－ 3、∵点 B 的坐标为（－ 1， 0），∴点 A 的坐标为（－ 3， 0）、 4 分〔 2〕存在，点 P 的坐标为（－ 2，3），（ 2， 3）和（－ 4，－ 3）、 7 分〔 3〕存在、 8 分当 X ＝ 0 时， Y ＝X2＋ 4X ＋3＝ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，3）、AO ＝ 3，EO ＝2，AE ＝ 1， CO ＝ 3、 ∵ DE ∥CO ，AEDE1DE∴△ AED ∽△ AOC 、∴ AO ＝ CO ，即 3 ＝ 3 、 ∴ DE ＝1、 9 分∵ DE ∥CO ，且 DE ≠ CO ，∴四边形DEOC 为梯形、1S 梯形 DEOC ＝ 2 （1＋3）× 2＝4、设直线 CM 交 X 轴于点 F ，如图、假定直线 CM 把梯形 DEOC 分红面积相等的两部分，那么 S △ COF ＝ 211 4即 2 CO · FO ＝2、∴ 2 ×3FO ＝2，∴ FO ＝ 3 、4∴点 F 的坐标为（－ 3，0）、 10分∵直线 CM 经过点 C （0， 3），∴设直线 CM 的分析式为 Y ＝KX ＋3、4 4把 F（－3， 0）代入，得－ 3 K＋3＝0、11 分9∴K＝4、9∴直线 CM的分析式为 Y＝4 X＋ 3、12 分34. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0， 2），点 C（－ 1，0），以下列图；抛物线Y＝ AX2＋ AX－ 2 经过点 B、〔1〕求点 B 的坐标；〔2〕求抛物线的分析式；〔3〕在抛物线上能否还存在点 P〔点 B 除外〕，使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？假定存在，求全部点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕过点 B 作 BD⊥ X 轴于 D、∵∠ BCD＋∠ ACO＝ 90°，∠ ACO＋∠ CAO＝ 90°、∴∠ BCD＝∠ CAO、 1 分又∵∠ BDC＝∠ COA＝ 90°， BC＝ CA、∴ RT△BCD≌RT△CAO，2 分∴BD＝CO＝1， CD＝AO＝2、 3 分∴点 B 的坐标为（－ 3， 1）； 4 分1 〔 2〕把B（－ 3，1）代入Y＝AX2＋AX－2，得1＝ 9A－ 3A－ 2，解得A＝2 、 6分1 1∴抛物线的分析式为Y＝2X2＋2X－2；7分〔 3〕存在、 8 分①延伸 BC至点 P1，使 CP1＝ BC，那么获得以点ACP1、C为直角极点的等腰直角三角形△9 分过点 P1 作 P1M⊥X 轴、∵CP1＝BC，∠ P1CM＝∠ BCD，∠ P1MC＝∠ BDC＝90°、∴ RT△P1CM≌ RT△ BCD， 10 分∴ CM＝CD＝2， P1M＝ BD＝1，可求得点P1（1，－ 1）；11 分1 1把 X＝1 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝－ 1、∴点 P1（ 1，－ 1）在抛物线上、12 分②过点 A 作 AP2⊥AC，且使 AP2＝ AC，那么获得以点 A 为直角极点的等腰直角三角形△ ACP2、13分过点 P2 作 P2N⊥Y 轴，同理可证 RT△ P2NA≌RT△AOC、14 分P2N＝ AO＝ 2， AN＝ CO＝ 1、可求得点P2（2，1）、15 分1 1把 X＝2 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝1、∴点 P2（ 2， 1）在抛物线上、 16 分综上所述，在抛物线上还存在点 P1（ 1，－ 1）和 P2（ 2， 1），使△ ACP仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形、35. 如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的极点坐标为C（4，－3），且在X轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求二次函数的分析式；〔2〕点 P 在 Y 轴上，且使得△ PAC的周长最小，求：①点 P 的坐标；②△ PAC的周长和面积；〔 3〕在 X 轴上方的抛物线上，能否存在点 Q，使得以 Q、A、B 三点为极点的三角形与△ ABC相像？假如存在，求出点 Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设二次函数的分析式为Y＝ A（X－ 4） 2－3 （A≠0），且A（X1，0），B （X2，0）、∵Y＝ A（ X－4）2－3＝AX2－8AX＋16A－33∴ X1＋X2＝8， X1X2＝16－a 、3 3∴ AB2＝（ X1－X2）2＝（ X1＋X2） 2－ 4X1X2＝ 82－4（ 16－a）＝ 36，∴ A＝9 、3∴二次函数的分析式为 Y＝9（X－4）2－3 、 2 分〔2〕①如图 1，作点 A 对于 Y轴的对称点 A′，连结 A′C交 Y轴于点 P，连结 PA，那么点 P 为所求、3令 Y＝0，得9（X－4）2－3＝0，解得 X1＝ 1， X2＝7、∴A（ 1， 0）， B（7， 0）、∴ OA＝ 1，∴ OA′＝ 1、设抛物线的对称轴与X 轴交于点 D，那么 AD＝ 3， A′ D＝ 5， DC＝3 、OP A O OP 1 3∵△ A′OP∽△ ADC，∴DC＝AD，即3＝ 5 ，∴OP＝ 5 、3∴ P（ 0，－5）、 4 分②∵A′C＝ AD2 DC 2 ＝ 5 2 ( 3)2 ＝ 2 7 AC＝ AD 2 DC 2 ＝ 32 ( 3)2 ＝ 2 3∴△ PAC的周长＝ PA＋ PC＋AC＝A′C＋ AC＝27 ＋ 2 3 、 5 分1 1 3 4 3S△PAC＝ S△A′AC－ S△ A′ AP＝2A′ A（ DC－ OP）＝2×2×（3－5）＝ 5 、7分〔3〕存在、 8 分DC 3∵TAN∠BAC＝AD＝3，∴∠ BAC＝ 30°、同理，∠ ABC＝ 30°，∴∠ ACB＝ 120°， AC＝ BC、①假定以 AB为腰，∠ BAQ1为顶角，使△ ABQ1∽△ CBA，那么 AQ1＝ AB＝6，∠ BAQ1 ＝120°、如图 2，过点 Q1作 Q1H⊥X 轴于 H，那么3 1Q1H＝ AQ1·SIN60°＝ 6×2＝3 3， HA＝AQ1·COS60°＝ 6×2＝3、HO＝HA－ OA＝3－1＝2、∴点 Q1的坐标为（－ 2，3 3）、3 3把 X＝－2代入Y＝9 （X－ 4）2－ 3 ，得Y＝9（－2－4）2－ 3 ＝3 3 、∴点 Q1在抛物线上、9 分②假定以 BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为（ 10，3 3 ）、相同，点Q2也在抛物线上、10 分③假定以 AB为底， AQ， BQ为腰，点 Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去、11分综上所述，在 X 轴上方的抛物线上存在点Q1（－ 2，3 3）和 Q2（10，3 3），使得以 Q、 A、 B 三点为极点的三角形与△ ABC相像、12 分36.如图，抛物线 Y＝AX2＋BX＋C（A≠ 0）与 X 轴交于 A（－ 3， 0）、B 两点，与 Y轴订交于点 C（0，3）、当 X＝－ 4 和 X＝2 时，二次函数 Y＝ AX2＋ BX＋C（ A≠ 0）的函数值 Y 相等，连结 AC、 BC、〔 1〕务实数 A，B， C的值；〔 2〕假定点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、 BC边运动，此中一个点抵达终点时，另一点也随之停止运动、当运动时间为T 秒时，连结MN，将△ BMN沿 MN翻折， B 点恰巧落在 AC边上的 P 处，求 T 的值及点P 的坐标；〔 3〕在〔 2〕的条件下，抛物线的对称轴上能否存在点Q，使得以B， N， Q为极点的三角形与△ ABC相像？假定存在，恳求出点 Q的坐标；y假定不存在，请说明原因、9a 3b c 0 Cc 3 P N16a 4b c 4a 2b c解：〔 1〕由题意得3 2 3A M OB x解得 A＝－3， B＝－3，C＝3、3 分3 2 3 3 2 3〔 2〕由〔 1〕知 Y＝－ 3 X2－3X＋3，令 Y＝ 0，得－3X2－3X＋3 ＝0、解得 X1＝－ 3，X2＝1、∵A （－ 3，0），∴ B （1，0）、又∵ C （0，3），∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝3 ，∴ AB ＝4，BC ＝2、OAy∴ TAN ∠ACO ＝ OC ＝3，∴∠ ACO ＝ 60°，∴∠ CAO ＝ 30°、同理，可求得∠ CBO ＝60°，∠ BCO ＝ 30°，∴∠ ACB ＝90°、C∴△ ABC 是直角三角形、PN又∵ BM ＝ BN ＝ T ，∴△ BMN 是等边三角形、∴∠ BNM ＝ 60°，∴∠ PNM ＝ 60°，∴∠ PNC ＝60°、PNABAH M O Bx∴ RT △PNC ∽RT △ABC ，∴NC＝BC、图 1t4由题意知 PN ＝ BN ＝ T ， NC ＝BC －BN ＝ 2－T ，∴ 2 t ＝ 2 、4∴T ＝ 3、 4分41∴OM ＝BM －OB ＝ 3 －1＝ 3 、4 3 2 3如图 1，过点 P 作 PH ⊥ X 轴于 H ，那么 PH ＝ PM · SIN60°＝ 3 × 2 ＝ 3 、4 1 2MH ＝ PM · COS60°＝ 3 × 2 ＝ 3、1 2∴ OH ＝OM ＋MH ＝ 3 ＋ 3＝1、2 3∴点 P 的坐标为（－ 1， 3）、 6 分〔 3〕存在、由〔 2〕知△ ABC 是直角三角形，假定△ BNQ 与△ ABC 相像，那么△ BNQ 也是直角三角形、3 2 3∵二次函数 Y ＝－3X2－3X ＋3的图象的对称轴为X ＝－ 1、∴点 P 在对称轴上、∵ PN ∥X 轴，∴ PN ⊥对称轴、又∵ QN ≥ PN ， PN ＝ BN ，∴ QN ≥BN 、 ∴△ BNQ 不存在以点 Q 为直角极点的情况、①如图 2，过点 N 作 QN ⊥对称轴于 Q ，连结 BQ ，那么△ BNQ 是以点 N 为直角极点的 直角三角形，且 QN 》PN ，∠ MNQ ＝30°、43PN38 3∴∠ PNQ ＝ 30°，∴ QN ＝ cos30o ＝ 2 ＝ 9 、8 39 QN42 3∴ BN ＝3＝3、ACQN AC∵ BC ＝TAN60°＝ 3，∴BN ≠BC 、∴当△ BNQ 以点 N 为直角极点时，△ BNQ 与△ ABC 不相像、 7 分 ②如图 3，延伸 NM 交对称轴于点 Q ，连结 BQ ，那么∠ BMQ ＝ 120°、 ∵∠ AMP ＝ 60°，∠ AMQ ＝∠ BMN ＝ 60°，∴∠ PMQ ＝120°、 ∴∠ BMQ ＝∠ PMQ ，又∵ PM ＝ BM ， QM ＝ QM 、 ∴△ BMQ ≌△ PMQ ，∴∠ BQM ＝∠ PQM ＝ 30°、 ∵∠ BNM ＝ 60°，∴∠ QBN ＝ 90°、 ∵∠ CAO ＝ 30°，∠ ACB ＝90°、 ∴△ BNQ ∽△ ABC 、 8 分∴当△ BNQ 以点 B 为直角极点时，△ BNQ ∽△ ABC 、 设对称轴与 X 轴的交点为 D 、∵∠ DMQ ＝∠ DMP ＝ 60°， DM ＝DM ，∴ RT △ DMQ ≌ RT △ DMP 、 ∴ DQ ＝PD ，∴点 Q 与点 P 对于 X 轴对称、2 3∴点 Q 的坐标为（－ 1，－ 3 ）、9 分2 3综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点 Q （－ 1，－3），使得以 B ， N ，Q 为顶点的三角形与△ ABC 相像、 10 分37. 如图①，抛物线 Y ＝ AX2＋ BX ＋ 3〔 A ≠ 0〕与 X 轴交于点 A （1，0）和点 B （－ 3， 0），与 Y 轴交于点 C 、〔 1〕求抛物线的分析式；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 M ，问在对称轴上能否存在点P ，使△ CMP 为等腰三角形？假定存在，请直接写出全部切合条件的点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕如图②，假定点 E 为第二象限抛物线上一动点，连结 BE 、CE ，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标、a ＋b ＋ ＝ 0a 3－b ＋ ＝解：〔 1〕由题意得 9 330 、1 分a ＝ －1解得b ＝－2、2 分∴所求抛物线的分析式为 Y ＝－ X2－ 2X ＋ 3；3 分〔 2〕存在切合条件的点 P ，其坐标为 P （－ 1，10）或P （－ 1，－10 ）5或 P （－ 1，6）或 P （－ 1， 3 ）； 7 分〔 3〕解法一：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ M ，－ M2－ 2M ＋3）〔－ 3《A 《 0〕那么 EF ＝－ M2－2M ＋3， BF ＝ M ＋ 3， OF ＝－ M 、 8 分 ∴ S 四边形 BOCE ＝ S △BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （M ＋3）（－ M2－2M ＋3）＋ 2（－ M2－2M ＋6）（－ M ）、 9 分3 99 ＝－ 2 M2－ 2M ＋ 2 10分33 63＝－ 2 （M ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 M ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分33 15此时 Y ＝－（－ 2 ）2－2×（－ 2 ）＋ 3＝ 4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ，4）、 12 分解法二：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ X ， Y ）〔－ 3《 X 《 0〕 8 分 那么 S 四边形 BOCE ＝S △ BEF ＋ S 梯形 FOCE11＝ 2 BF · EF ＋ 2（ EF ＋ OC ）·OF1 1＝ 2 （3＋X ）· Y ＋ 2 （3＋ Y ）（－ X ）、 9 分 33＝ 2 （Y －X ）＝ 2 （－ X2－3X ＋ 3）、 10 分33 63＝－ 2 （X ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 X ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分3315此时 Y ＝－（－ 2）2－2×（－2）＋3＝43 15∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ， 4 ）、 12 分38. 如图，抛物线 Y ＝AX2＋BX ＋C 与 X 轴交于 A 、B 两点，与 Y 轴交于点 C 、此中点 A 在 X 轴的负半轴上，点 C 在 Y 轴的负半轴上，线段 OA 、OC 的长〔 OA 《OC 〕是方程 X2 －5X ＋4＝ 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线X ＝1、〔 1〕求 A 、B 、C 三点的坐标； 〔 2〕求此抛物线的分析式；〔 3〕假定点 D 是线段 AB 上的一个动点〔与点 A 、B 不重合〕，过点 D 作 DE ∥ BC 交AC 于点 E ，连结 CD ，设 BD 的长为 M ，△ CDE 的面积为 S ，求 S 与 M 的函数关系式，并写出自变量 M 的取值范围、 S 能否存在最大值？假定存在， 求出最大值并求此时 D 点坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕∵ OA、OC的长是方程X2－5X＋4＝ 0 的两个根， OA《OC、∴OA＝1， OC＝ 4、∵点 A 在 X 轴的负半轴，点C在 Y 轴的负半轴∴A〔－ 1，0〕，C〔0，－ 4〕、∵抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋ C的对称轴为X＝ 1∴由对称性可得 B 点坐标为〔 3， 0〕、∴A、 B、 C三点的坐标分别是： A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，－ 4〕、3 分〔2〕∵点 C〔 0，－ 4〕在抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋C图象上，∴ C＝－ 4、 4 分将 A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕代入 Y＝AX2＋BX－4 得a ＝4a －b－4 ＝03b ＝－8 ＋－＝9a 3b 4 0解得 3 6 分48∴此抛物线的分析式为Y＝3X2－3X－4、 7分〔3〕∵ BD＝M，∴ AD＝ 4－M、在 RT△ BOC中， BC2＝OB2＋ OC2＝ 32＋ 42＝ 25，∴BC＝5、∵ DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC、DEAD－DE4 m∴BC＝AB，即 5 ＝ 4 、20－ 5m∴DE＝4、OC 4过点 E 作 EF⊥ AB于点 F，那么 SIN∠ EDF＝ SIN∠CBA＝BC＝5、EF 4 4 4 20－ 5m∴ DE ＝5，∴EF＝ 5DE＝5 × 4 ＝4－M、9 分∴S＝ S△ CDE＝ S△ ADC－ S△ ADE1 1＝ 2 （4－M）×4－ 2 （4－M）（4－M）1＝－2M2＋2M1＝－ 2 （M－2）2＋2〔0《M《4〕、10分1∵－ 2《0∴当 M＝2 时， S有最大值 2、 11 分此时 OD＝OB－BD＝ 3－2＝1、∴此时 D 点坐标为〔 1， 0〕、12 分39.如图，抛物线 Y＝ A（ X＋3）（ X－1）与 X 轴订交于 A、B 两点〔点 A 在点 B 右边〕，过点 A 的直线交抛物线于另一点 C，点 C的坐标为（－ 2， 6）、〔 1〕求 A 的值及直线 AC的函数关系式；〔 2〕 P 是线段 AC上一动点，过点P 作 Y 轴的平行线，交抛物线于点M，交 X 轴于点 N、①求线段 PM长度的最大值；②在抛物线上能否存在这样的点 M，使得△ CMP与△ APN相像？假如存在，请直接写出全部知足条件的点 M的坐标〔不用写解答过程〕；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕由题意得 6＝ A（－ 2＋ 3）（－ 2－ 1），∴ A＝－ 2、 1 分∴抛物线的分析式为 Y＝－ 2（ X＋ 3）（ X－ 1），即 Y＝－ 2X2－ 4X＋ 6令－ 2（X＋3）（X－ 1）＝ 0，得 X1＝－ 3， X2＝ 1∵点 A 在点 B 右边，∴ A（1，0），B（－ 3，0）设直线 AC 的函数关系式为 Y ＝ KX ＋B ，把 A （ 1，0）、C （－ 2，6）代入，得k ＋ b ＝ 0k ＝ －2－k b＝＋ ＝6解得 b 22∴直线 AC 的函数关系式为 Y ＝－ 2X ＋ 2、 3 分〔 2〕①设 P 点的横坐标为 M （－ 2≤ M ≤1），那么 P （ M ，－ 2M ＋ 2）， M （M ，－ 2M2－ 4M ＋ 6）、 4 分∴ PM ＝－ 2M2－ 4M ＋ 6－（－ 2M ＋ 2） ＝－ 2M2－ 2M ＋ 419＝－ 2（M ＋ 2 ）2＋219∴当 M ＝－ 2时，线段 PM 长度的最大值为 2 、 6 分 ②存在 M1（0，6 ）、 7分155M2（－ 4 ，8）、 9 分点 M 的坐标的求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕ⅰ）如图 1，当 M 为直角极点时，连结 CM ，那么 CM ⊥ PM ，△ CMP ∽△ ANP∵点 C （－ 2， 6），∴点 M 的纵坐标为 6，代入 Y ＝－ 2X2－4X ＋ 6 得－ 2X2－ 4X ＋ 6＝ 6，∴ X ＝－ 2〔舍去〕或 X ＝ 0 ∴M1（0，6）〔此时点 M 在 Y 轴上，即抛物线与 Y 轴的交点，此时直线 MN 与 Y 轴 重合，点 N 与原点 O 重合〕 ⅱ）如图 2，当 C 为直角极点时，设M （M ，－ 2M2－ 4M ＋ 6）（－ 2≤ M ≤ 1）过 C 作 CH ⊥MN 于 H ，连结 CM ，设直线 AC 与 Y 轴订交于点 D 那么△ CMP ∽△ NAP又∵△ HMC ∽△ CMP ，△ NAP ∽△ OAD ，∴△ HMC ∽△ OADCHMH∴OD ＝ OA∵C（－ 2，6），∴ CH＝ M＋2，MH＝－ 2M2－ 4M＋6－ 6＝－ 2M2－4M 在 Y＝－ 2X＋ 2 中，令 X＝0，得 Y＝2∴D（ 0， 2），∴ OD＝ 2m 2 2m2 4m∴ 2 ＝ 11整理得 4M2＋ 9M＋2＝0，解得 M＝－ 2〔舍去〕或 M＝－41 1 1 55当 M＝－4时，－ 2M2－4M＋6＝（－4）2－4×（－4）＋ 6＝8155∴M2（－4，8）7 D（0，9 34，该图象在 X如图，二次函数的图象经过点），且极点 C 的横坐标为轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求该二次函数的分析式；〔2〕在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA＋PD最小，求出点 P 的坐标；〔 3〕在抛物线上能否存在点Q，使△ QAB与△ ABC相像？假如存在，求出点Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设该二次函数的分析式为Y＝ A（ X－ H）2＋ K73∵极点 C 的横坐标为 4，且过点D（0，9）73∴9＝16A＋K①又∵对称轴为直线X＝ 4，图象在 X 轴上截得的线段AB的长为 6 ∴A（ 1， 0），B（7，0）∴0＝ 9A＋ K②3由①②解得A＝9，K＝－33∴该二次函数的分析式为Y＝9（X－4）2－3〔 2〕∵点 A、 B 对于直线 X＝4 对称，∴ PA＝ PB ∴PA＋PD＝PB＋PD≥ DB∴当点 P 在线段 DB上时， PA＋ PD获得最小值∴ DB与对称轴的交点即为所求的点P，如图 1设直线 X＝4 与 X轴交于点 M∵PM∥OD，∴∠ BPM＝∠ BDO又∠ PBM＝∠ DBO，∴△ BPM∽△ BDOPMPMBM 7 3 33＝ 7 ，∴PM＝3 '∴DO＝BO，即93∴点 P 的坐标为（ 4，3）〔3〕由〔 1〕知点 C（4，－3），又∵ AM＝ 3，∴在 RT△ ACM中， TAN∠ ACM＝3，∴∠ACM＝60°∵AC＝BC，∴∠ ACB＝120°①如图 2，当点 Q在 X轴上方时，过 Q作 QN⊥ X 轴于 N 假如 AB＝ BQ，由△ ABC∽△ ABQ，得 BQ＝6，∠ ABQ＝120°∴∠ QBN＝ 60°∴QN＝3 3，BN＝3，ON＝10∴此时点 Q的坐标为（ 10，3 3）3∵9（10－4）2－3＝3 3，∴点Q在抛物线上假如 AB＝ AQ，由对称性知Q（－ 2，3 3），且也在抛物线上②当点 Q在 X 轴下方时，△ QAB就是△ ACB∴此时点 Q的坐标为（ 4，－3）综上所述，在抛物线上存在点Q，使△ QAB与△ ABC相像点 Q的坐标为（ 10，3 3）或（－ 2，3 3）或（ 4，－3）、41.，如图，抛物线 Y＝ AX2＋ 3AX＋C〔 A》 0〕与 Y 轴交于 C点，与 X轴交于 A、 B 两点， A 点在 B点左边，点 B 的坐标为〔 1，0〕，OC＝3OB、〔1〕求抛物线的分析式；〔2〕假定点 D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD面积的最大值；〔3〕假定点 E在 X 轴上，点 P 在抛物线上，能否存在以 A、C、E、P 为极点且以 AC 为一边的平行四边形？假定存在，求点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、3a 3解：〔 1〕∵对称轴 X＝－2a ＝－ 2 、 1 分又∵ OC＝ 3OB＝ 3， A》0∴C（ 0，－ 3）、 2 分方法一：把B（1， 0）、 C（0，－ 3）代入 Y＝AX2＋ 3AX＋ C得：3a＋3a＋ c＝ 0解得a＝4c ＝－ 3c ＝－ 33 9∴抛物线的分析式为 Y＝4X2＋4 X－3、 4 分方法二：令AX2＋3AX＋ C＝0，那么 XA＋XB＝－ 3∵ B（ 1， 0），∴ XA＋ 1＝－ 3，∴ XA＝－ 4∴A（－ 4，0）∴可设抛物线的分析式为Y＝A（ X＋ 4）（ X－1），把 C（ 0，－ 3）代入3得－ 3＝A（0＋ 4）（0－1），∴ A＝43∴抛物线的分析式为Y＝4（X＋4）（X－1）3 9即 Y＝4 X2＋4 X－3、 4 分〔 2〕方法一：如图1，过点 D作 DN⊥ X轴，垂足为N，交线段AC于点M∵S 四边形 ABCD＝ S△ABC＋ S△ACD1 1＝ 2 AB·OC＋ 2 DM·（AN＋ON）1 1＝ 2 （4＋1）×3＋ 2 DM·415＝2＋2DM、5分设直线 AC的分析式为Y＝KX＋ B，把 A（－ 4， 0）、 C（0，－ 3）代入3－4k＋ b＝0得解得 k＝－4b＝－ 3b＝－ 33∴直线 AC的分析式为 Y＝－4 X－ 3、 6 分3 9 3设 D（X，4X2＋4 X－3），那么 M（X，－4X－3）3 3 9 3∴ DM＝－4X－ 3－（4X2＋4 X－3）＝－4（X＋ 2）2＋3、 7 分当 X＝－ 2 时， DM有最大值 31527此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为： 2方法二：如图2，过点 D作 DQ⊥ Y轴于 Q，过点＋2×3＝2、8分C作 CC1∥X 轴交抛物线于C13 9 3 9设 D（ X，4X2＋4 X－ 3），那么 DQ＝－ X， OQ＝－4X2－4 X＋3从图象可判断当点 D在 CC1下方的抛物线上运动时，四边形 ABCD面积才有最大值那么 S 四边形 ABCD＝S△ BOC＋ S 梯形 AOQD－S△ CDQ11 1＝2 OB·OC＋ 2 （AO＋DQ）·OQ－ 2 DQ·CQ11 1＝ 2 ×1×3＋ 2 （4＋DQ）·OQ－ 2 DQ·（OQ－3）3 3＝ 2 ＋2OQ＋2 DQ、 5 分3 3 9 3＝ 2－2（4X2＋4X－3）－ 2X315＝－ 2 X2－6X＋ 2327＝－ 2 （X＋2）2＋ 2 、7分27 当 X＝－ 2 时，四边形ABCD面积有最大值 28 分〔 3〕如图 3①过点 C 作 CP1∥X 轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交X 轴于点E1，那么四边形 ACP1E1为平行四边形、9 分39∵C（ 0，－ 3），令4 X2＋4 X－ 3＝－ 3解得 X1＝ 0， X2＝3，∴ CP1＝ 3∴ P1（－ 3，－ 3）、11 分②平移直线 AC交 X 轴于点 E，交 X 轴上方的抛物线于点 P，当 AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形、12 分∵ C（ 0，－ 3），∴设 P（ X， 3）3 9 －3＋ 41 － 3 －41由4X2＋4 X－ 3＝3，解得 X＝ 2 或 X＝ 2 －3＋ 41 －3－ 41∴ P2（ 2 ， 3）， P3（ 2 ，3）、14 分综上所述，存在以A、C、E、P 为极点且以 AC为一边的平行四边形，点P 的坐标分别为：－3＋ 41 －3－ 41P1（－ 3，－ 3），P2（ 2 ， 3）， P3（ 2 ， 3）142.如图，在平面直角坐标系 XOY中，抛物线 Y＝－2 X2＋BX＋C 与 X 轴交于 A（1，0）、 B（5，0）两点、〔 1〕求抛物线的分析式和极点 C的坐标；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 D，将∠ DCB绕点 C按顺时针方向旋转，角的两边 CD和 CB与 X 轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（ 0°《α ≤90°）、①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？②设 BP＝ T， AQ＝S，求 S 与 T 之间的函数关系式、1－ 2 ＋b＋c＝0解：〔 1〕依据题意，得、、 1 分25－2＋ 5b＋c＝ 0b＝ 3解得 5 、、 2 分c＝－21 5∴抛物线的分析式为Y＝－2 X2＋ 3X－2 、 3 分1即 Y＝－2（ X－3）2＋2、∴极点 C 的坐标为〔 3， 2〕、、 4 分〔2〕①∵ CD＝ DB＝ AD＝ 2， CD⊥AB，∴∠ DCB＝∠ CBD＝ 45°、 5 分1ⅰ〕假定CQ＝ CP，那么∠PCD＝2 ∠PCQ＝°、∴当α＝ 22.5 °时，△ CPQ是等腰三角形、6 分ⅱ〕假定 CQ＝ PQ，那么∠ CPQ＝∠ PCQ＝45°，此时点 Q与 D 重合，点 P 与 A 重合、∴当α＝ 45°时，△ CPQ是等腰三角形、7 分ⅲ〕假定 PC＝ PQ，那么∠ PCQ＝∠ PQC＝45°，此时点∴α＝0°，不合题意、8 分∴当α＝ 22.5 °或 45°时，△ CPQ是等腰三角形、②连结 AC，∵ AD＝ CD＝ 2，CD⊥AB，Q与 B 重合，点9 分P 与D重合、∴∠ ACD＝∠ CAD＝ 45°， AC＝BC＝22＋22 ＝22 、10 分ⅰ〕当 0°《α≤45°时，∵∠ ACQ＝∠ ACP＋∠ PCQ＝∠ ACP＋45°、∠BPC＝∠ ACP＋∠ CAD＝∠ ACP＋ 45°、∴∠ ACQ＝∠ BPC、11 分又∵∠ CAQ＝∠ PBC＝ 45°，∴△ ACQ∽△ BPC、AQ AC∴BC＝BP、∴AQ·BP＝AC·BC＝2 2×2 2＝8、 12 分ⅱ〕当 45°《α《 90°时，同理可得AQ· BP＝AC· BC＝ 8、13 分8∴ S＝t、14 分2018 中考数学压轴题及答案40 例〔 8〕32.： RT△ ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形搁置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB与 X 轴重合〔此中 OA《OB〕，直角极点 C落在 Y 轴正半轴上〔如图1〕、〔1〕求线段 OA、OB的长和经过点 A、 B、 C的抛物线的关系式、〔2〕如图 2，点 D 的坐标为〔 2，0〕，点 P〔 M，N〕是该抛物线上的一个动点〔此中 M》 0， N》 0〕，连结 DP交 BC于点 E、①当△ BDE是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标、②又连结 CD、CP〔如图 3〕，△ CDP能否有最大面积？假定有，求出△CDP的最大面积和此时点P 的坐标；假定没有，请说明原因、OA OC解：〔 1〕由题意知RT△△ AOC∽ RT△ COB，∴OC＝OB、∴OC2＝OA·OB＝OA（AB－OA），即 22＝OA（5－ OA）、∴OA2－5OA＋ 4＝0，∵ OA《 OB，∴ OA＝1， OB＝ 4、 2 分∴A（－ 1，0），B（4，0），C（0，2）、∴可设所求抛物线的关系式为Y＝A（X＋1）（X－4）、 3 分1将点 C（0，2）代入，得 2＝ A（ 0＋1）（0－4），∴A＝－2、1∴经过点 A、 B、C 的抛物线的关系式为Y＝－2（X＋1）（X－4）、 4 分1 3即 Y＝－2X2＋2X＋2、14 842545， 5〔2〕① E1（3， 2 ），E2（ 5 ， 5 ），E3（ 5 ）、7 分 对于点 E 的坐标求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕 ：设直线 BC 的分析式为 Y ＝KX ＋ B 、1 4k b 0k2那么b2解得b 21∴直线 BC 的分析式为 Y ＝－ 2X ＋ 2、1∵点 E 在直线 BC 上，∴ E （ X ，－ 2 X ＋2）、1假定 ED ＝ EB ，过点 E 作 EH ⊥ X 轴于 H ，如图 2，那么 DH ＝ 2 DB ＝ 1、 ∴ OH ＝OD ＋DH ＝2＋1＝3、11∴点 E 的横坐标为3，代入直线 BC 的分析式，得 Y ＝－ 2 ×3＋2＝ 2 、1∴E1（3， 2 ）、1假定 DE ＝ DB ，那么（ X － 2） 2＋（－ 2 X ＋ 2） 2＝22、4整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝ 4〔舍去〕，X2＝ 5 、1 4 848∴ Y ＝－ 2× 5＋2＝5，∴E2（ 5，5）、1假定 BE ＝ BD ，那么（ X － 4） 2＋（－ 2X ＋ 2）2＝22、45整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝45 〔此时点 P 在第四象限，舍去〕 ， X2445＝5、14 244 254555， 5∴Y ＝－ 2 ×（ 5）＋2＝ 5 ，∴ E3（5）、②△ CDP 有最大面积、 8 分过点 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于点 M ，如图 3、设直线 PC 的分析式为 Y ＝PX ＋ Q ，将 C （0， 2），P （ M ， N ）代入，n 2q 2pm得 mp q n 解得 q 2n 2 2n 4∴直线 PC 的分析式为 Y ＝ m X ＋ 2，∴ M （ 2， m ＋2）、1S △CDP ＝ S △CDM ＋ S △PDM ＝ 2 XP ·YM12n 4＝ 2 M （ m ＋ 2） ＝ M ＋N －21 3＝ M ＋（－ 2 M2＋ 2 M ＋ 2）－ 215＝－ 2M2＋2M1525＝－ 2（M － 2）2＋ 8525∴当M ＝2时，△ CDP 有最大面积，最大面积为8 、9 分153521此时 N ＝－ 2×（ 2）2＋ 2× 2＋2＝ 85 21∴此时点 P 的坐标为（ 2 ， 8 ）、 10 分33. 如图，抛物线 Y ＝X2＋4X ＋ 3 交 X 轴于 A 、 B 两点，交 Y 轴于点 C ， ?抛物线的对称轴交 X 轴于点 E ，点 B 的坐标为（－ 1， 0）、〔 1〕求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；〔 2〕在平面直角坐标系 XOY 中能否存在点 P ，与 A 、B 、C 三点组成一个平行四边形？假定存在，请写出点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D ，在抛物线上能否存在点 M ，使得直线 CM把四边形 DEOC 分红面积相等的两部分？假定存在，恳求出直线 CM 的分析式；假定不存在，请说明原因、4解：〔 1〕对称轴为直线 X ＝－ 2 ＝－ 2，即 X ＝－ 2； 2 分 令 Y ＝ 0，得 X2＋4X ＋3＝0，解得 X1＝－ 1，X2＝－ 3、∵点 B 的坐标为（－ 1， 0），∴点 A 的坐标为（－ 3， 0）、 4 分〔 2〕存在，点 P 的坐标为（－ 2，3），（ 2， 3）和（－ 4，－ 3）、 7 分〔 3〕存在、 8 分当 X ＝ 0 时， Y ＝X2＋ 4X ＋3＝ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，3）、AO ＝ 3，EO ＝2，AE ＝ 1， CO ＝ 3、 ∵ DE ∥CO ，AEDE1DE∴△ AED ∽△ AOC 、∴ AO ＝ CO ，即 3 ＝ 3、 ∴ DE ＝1、 9 分∵ DE ∥CO ，且 DE ≠ CO ，∴四边形 DEOC 为梯形、1S 梯形 DEOC ＝ 2（1＋3）× 2＝4、设直线 CM 交 X 轴于点 F ，如图、假定直线CM把梯形DEOC分红面积相等的两部分，那么S△ COF＝ 21 1 4即 2 CO·FO＝2、∴ 2 ×3FO＝2，∴FO＝ 3 、4∴点 F 的坐标为（－ 3 ，0）、10分∵直线 CM经过点 C（0， 3），∴设直线CM的分析式为 Y＝KX＋3、4 4把F（－3， 0）代入，得－3K＋3＝0、11 分9∴K＝4、9∴直线 CM的分析式为Y＝4 X＋ 3、12 分34. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0， 2），点 C（－ 1，0），以下列图；抛物线Y＝ AX2＋ AX－ 2 经过点 B、〔1〕求点 B 的坐标；〔2〕求抛物线的分析式；〔3〕在抛物线上能否还存在点 P〔点 B 除外〕，使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？假定存在，求全部点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕过点 B 作 BD⊥ X 轴于 D、∵∠ BCD＋∠ ACO＝ 90°，∠ ACO＋∠ CAO＝ 90°、∴∠ BCD＝∠ CAO、 1 分又∵∠ BDC＝∠ COA＝ 90°， BC＝ CA、∴ RT△BCD≌RT△CAO，2 分∴BD＝CO＝1， CD＝AO＝2、 3 分∴点 B 的坐标为（－ 3， 1）； 4 分1 〔 2〕把B（－ 3，1）代入Y＝AX2＋AX－2，得1＝ 9A－ 3A－ 2，解得A＝2 、 6分1 1∴抛物线的分析式为Y＝2X2＋2X－2；7分〔 3〕存在、 8 分①延伸 BC至点 P1，使 CP1＝ BC，那么获得以点ACP1、C为直角极点的等腰直角三角形△9 分过点 P1 作 P1M⊥X 轴、∵CP1＝BC，∠ P1CM＝∠ BCD，∠ P1MC＝∠ BDC＝ 90°、∴ RT△P1CM≌ RT△ BCD， 10 分∴ CM＝CD＝2， P1M＝ BD＝1，可求得点P1（1，－ 1）；11 分1 1把 X＝1 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝－ 1、∴点 P1（ 1，－ 1）在抛物线上、12 分②过点 A 作 AP2⊥AC，且使 AP2＝ AC，那么获得以点 A 为直角极点的等腰直角三角形△ ACP2、13 分过点 P2 作 P2N⊥Y 轴，同理可证RT△ P2NA≌RT△AOC、14 分P2N＝ AO＝ 2， AN＝ CO＝ 1、可求得点P2（2，1）、15 分1 1把 X＝2 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝1、∴点 P2（ 2， 1）在抛物线上、 16 分综上所述，在抛物线上还存在点 P1（ 1，－ 1）和 P2（ 2， 1），使△ ACP仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形、35. 如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的极点坐标为C（4，－3），且在X轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求二次函数的分析式；〔2〕点 P 在 Y 轴上，且使得△ PAC的周长最小，求：①点 P 的坐标；②△ PAC的周长和面积；〔 3〕在 X 轴上方的抛物线上，能否存在点 Q，使得以 Q、A、B 三点为极点的三角形与△ ABC相像？假如存在，求出点 Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设二次函数的分析式为Y＝ A（X－ 4） 2－3 （A≠0），且A（X1，0），B（X2，0）、∵Y＝ A（ X－4）2－3＝AX2－8AX＋16A－33∴ X1＋X2＝8， X1X2＝16－a、3 3∴ AB2＝（ X1－X2）2＝（ X1＋X2） 2－ 4X1X2＝ 82－4（ 16－a）＝ 36，∴ A＝9 、3∴二次函数的分析式为 Y＝9（X－4）2－3 、 2 分〔2〕①如图 1，作点 A 对于 Y轴的对称点 A′，连结 A′C交 Y轴于点 P，连结 PA，那么点 P 为所求、3令 Y＝0，得9（X－4）2－3＝0，解得 X1＝ 1， X2＝7、∴A（ 1， 0）， B（7， 0）、∴ OA＝ 1，∴ OA′＝ 1、设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 D，那么 AD＝ 3， A′ D＝ 5， DC＝3、OP A O OP 1 3∵△ A′OP∽△ ADC，∴DC＝AD，即3＝ 5 ，∴OP＝ 5 、3∴ P（ 0，－5）、 4 分②∵A′C＝ AD2 DC 2 ＝ 5 2 ( 3)2 ＝ 2 7 AC＝ AD 2 DC 2 ＝ 32 ( 3)2 ＝ 2 3∴△ PAC的周长＝ PA＋ PC＋AC＝A′C＋ AC＝27 ＋ 2 3 、 5 分1 1 3 4 3S△PAC＝ S△A′AC－ S△ A′ AP＝2 A′ A（ DC－ OP）＝2×2×（3－5）＝ 5 、7分〔3〕存在、 8 分DC 3∵TAN∠BAC＝AD＝3，∴∠ BAC＝ 30°、同理，∠ ABC＝ 30°，∴∠ ACB＝ 120°， AC＝ BC、①假定以 AB为腰，∠ BAQ1为顶角，使△ ABQ1∽△ CBA，那么 AQ1＝ AB＝6，∠ BAQ1 ＝120°、如图 2，过点 Q1作 Q1H⊥X 轴于 H，那么3 1Q1H＝ AQ1·SIN60°＝ 6×2＝3 3， HA＝AQ1·COS60°＝6×2＝3、HO＝HA－ OA＝3－1＝2、∴点 Q1的坐标为（－2，3 3）、3 3把 X＝－2代入 Y＝9（X－4）2－3，得 Y＝9（－2－4）2－3＝3 3、∴点 Q1在抛物线上、9 分②假定以 BA为腰，∠ ABQ2为顶角，使△ ABQ2∽△ ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为（ 10，3 3）、相同，点Q2也在抛物线上、10 分③假定以 AB为底， AQ， BQ为腰，点 Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去、11分综上所述，在 X 轴上方的抛物线上存在点Q1（－ 2，3 3）和 Q2（10，3 3），使得以 Q、 A、 B 三点为极点的三角形与△ ABC相像、12 分36.如图，抛物线 Y＝AX2＋BX＋C（A≠ 0）与 X 轴交于 A（－ 3， 0）、B 两点，与 Y轴订交于点C（0，3）、当X＝－4和X＝2时，二次函数Y＝AX2＋BX＋C（A≠0）的函数值 Y 相等，连结 AC、 BC、〔 1〕务实数 A，B， C的值；〔 2〕假定点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC边运动，此中一个点抵达终点时，另一点也随之停止运动、当运动时间为T 秒时，连结MN，将△ BMN沿 MN翻折， B 点恰巧落在 AC边上的 P 处，求 T 的值及点 P 的坐标；〔 3〕在〔 2〕的条件下，抛物线的对称轴上能否存在点Q，使得以 B， N， Q为极点的三角形与△ ABC相像？假定存在，恳求出点 Q的坐标；y假定不存在，请说明原因、9a 3b c 0 Cc 3 P N16a 4b c 4a 2b c解：〔 1〕由题意得A M OB x3 2 3解得 A＝－3， B＝－3，C＝3、3 分3 2 3 3 2 3〔 2〕由〔 1〕知 Y＝－ 3 X2－3X＋3，令 Y＝ 0，得－3X2－ 3 X＋3 ＝0、解得 X1＝－ 3，X2＝1、∵A（－ 3，0），∴ B（1，0）、又∵ C（0，3），∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，∴AB＝4，BC＝2、OA y∴TAN∠ACO＝OC＝3，∴∠ ACO＝ 60°，∴∠ CAO＝ 30°、同理，可求得∠ CBO＝60°，∠ BCO＝ 30°，∴∠ ACB＝90°、 C∴△ ABC是直角三角形、P N又∵ BM＝ BN＝ T，∴△ BMN是等边三角形、∴∠ BNM＝ 60°，∴∠ PNM＝ 60°，∴∠ PNC＝60°、PNAB A H M O B x ∴ RT△PNC∽RT△ABC，∴NC＝BC、图 1t 4由题意知 PN＝ BN＝ T， NC＝BC－BN＝ 2－T，∴2 t ＝ 2 、4∴T＝3、 4分4 1∴OM＝BM－OB＝3－1＝3、4 3 2 3如图 1，过点 P 作 PH⊥ X 轴于 H，那么 PH＝ PM· SIN60°＝3× 2 ＝ 3 、41 2MH＝ PM· COS60°＝3×2＝3、1 2∴OH＝OM＋MH＝3＋3＝1、2 3∴点 P 的坐标为（－ 1，3）、 6 分〔 3〕存在、由〔 2〕知△ ABC是直角三角形，假定△ BNQ与△ ABC相像，那么△ BNQ也是直角三角形、3 2 3∵二次函数Y＝－3X2－3X＋3的图象的对称轴为X＝－1、∴点 P 在对称轴上、∵PN∥X 轴，∴ PN⊥对称轴、又∵ QN≥ PN， PN＝ BN，∴ QN≥BN、∴△ BNQ不存在以点 Q为直角极点的情况、①如图 2，过点 N作 QN⊥对称轴于 Q，连结 BQ，那么△ BNQ是以点 N为直角极点的直角三角形，且QN》PN，∠ MNQ＝30°、43PN 3 8 3∴∠ PNQ＝ 30°，∴ QN＝cos30o＝ 2 ＝9 、8 39QN4 2 3∴BN＝3＝3、AC QN AC∵ BC ＝TAN60°＝ 3 ，∴ BN ≠ BC 、∴当△ BNQ以点 N为直角极点时，△BNQ与△ ABC不相像、7 分②如图 3，延伸 NM交对称轴于点Q，连结 BQ，那么∠ BMQ＝ 120°、∵∠ AMP＝ 60°，∠ AMQ＝∠ BMN＝ 60°，∴∠ PMQ＝120°、∴∠ BMQ＝∠ PMQ，又∵ PM＝ BM， QM＝ QM、∴△ BMQ≌△ PMQ，∴∠ BQM＝∠ PQM＝ 30°、∵∠ BNM＝ 60°，∴∠ QBN＝ 90°、∵∠ CAO＝ 30°，∠ ACB＝90°、∴△ BNQ∽△ ABC、8 分∴当△ BNQ以点 B 为直角极点时，△BNQ∽△ ABC、设对称轴与X 轴的交点为 D、∵∠ DMQ＝∠ DMP＝ 60°， DM＝DM，∴ RT△ DMQ≌ RT△ DMP、∴ DQ＝PD，∴点 Q与点 P 对于 X 轴对称、2 3∴点 Q 的坐标为（－ 1，－ 3 ）、9 分2 3综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点 Q （－ 1，－3），使得以 B ， N ，Q 为顶点的三角形与△ ABC 相像、 10 分37. 如图①，抛物线 Y ＝ AX2＋ BX ＋ 3〔 A ≠ 0〕与 X 轴交于点 A （1，0）和点 B （－ 3，0），与 Y 轴交于点 C 、〔 1〕求抛物线的分析式；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 M ，问在对称轴上能否存在点P ，使△ CMP 为等腰三角形？假定存在，请直接写出全部切合条件的点P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕如图②，假定点 E 为第二象限抛物线上一动点，连结 BE 、CE ，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时E 点的坐标、a ＋b ＋ ＝ 0a 3－b ＋ ＝解：〔 1〕由题意得 9 330 、1 分a ＝ －1解得b ＝－2、2 分∴所求抛物线的分析式为 Y ＝－ X2－ 2X ＋ 3；3 分〔 2〕存在切合条件的点 P ，其坐标为 P （－ 1，10）或P （－ 1，－10 ）5或 P （－ 1，6）或 P （－ 1， 3 ）； 7 分〔 3〕解法一：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ M ，－ M2－ 2M ＋3）〔－ 3《A 《 0〕那么 EF ＝－ M2－2M ＋3， BF ＝ M ＋ 3， OF ＝－ M 、 8 分 ∴ S 四边形 BOCE ＝ S △BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （M ＋3）（－ M2－2M ＋3）＋ 2 （－ M2－2M ＋6）（－ M ）、 9 分3 9 9＝－ 2 M2－2M ＋210 分33 63＝－ 2 （M ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 M ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 8 、11分3315此时 Y ＝－（－ 2）2－2×（－ 2）＋ 3＝4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ，4）、 12 分解法二：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ X ， Y ）〔－ 3《 X 《 0〕 8 分 那么 S 四边形 BOCE ＝S △ BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （3＋X ）· Y ＋ 2 （3＋ Y ）（－ X ）、 9 分33＝ 2（Y －X ）＝2（－ X2－ 3X ＋ 3）、 10 分3363＝－ 2（X ＋ 2）2＋ 8363∴当 X ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分33 15此时 Y ＝－（－ 2 ）2－2×（－ 2）＋3＝ 4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ， 4 ）、 12 分38. 如图，抛物线 Y ＝AX2＋BX ＋C 与 X 轴交于 A 、B 两点，与 Y 轴交于点 C 、此中点 A 在 X 轴的负半轴上，点 C 在 Y 轴的负半轴上，线段 OA 、OC 的长〔 OA 《OC 〕是方程 X2 －5X ＋4＝ 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线X ＝1、〔 1〕求 A 、B 、C 三点的坐标； 〔 2〕求此抛物线的分析式；〔 3〕假定点 D 是线段 AB 上的一个动点〔与点 A 、B 不重合〕，过点 D 作 DE ∥ BC 交AC 于点 E ，连结 CD ，设 BD 的长为 M ，△ CDE 的面积为 S ，求 S 与 M 的函数关系式，并写出自变量 M 的取值范围、 S 能否存在最大值？假定存在， 求出最大值并求此时 D 点坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕∵ OA、OC的长是方程X2－5X＋4＝ 0 的两个根， OA《OC、∴OA＝1， OC＝ 4、∵点 A 在 X 轴的负半轴，点C在 Y 轴的负半轴∴A〔－ 1，0〕，C〔0，－ 4〕、∵抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋ C的对称轴为X＝ 1∴由对称性可得 B 点坐标为〔 3， 0〕、∴A、 B、 C三点的坐标分别是： A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，－ 4〕、3 分〔2〕∵点 C〔 0，－ 4〕在抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋C图象上，∴ C＝－ 4、 4 分将 A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕代入 Y＝AX2＋BX－4 得a ＝4a －b－4 ＝03b ＝－8 ＋－＝9a 3b 4 0解得 3 6 分48∴此抛物线的分析式为Y＝3X2－3X－4、 7分〔3〕∵ BD＝M，∴ AD＝ 4－M、在 RT△ BOC中， BC2＝OB2＋ OC2＝ 32＋ 42＝ 25，∴BC＝5、∵ DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC、DEAD－DE4 m∴BC＝AB，即 5 ＝ 4 、20－ 5m∴DE＝4、OC 4过点 E 作 EF⊥ AB于点 F，那么 SIN∠ EDF＝ SIN∠CBA＝BC＝5、EF 4 4 4 20－ 5m∴ DE ＝5，∴EF＝ 5DE＝5 × 4 ＝4－M、9 分∴S＝ S△ CDE＝ S△ ADC－ S△ ADE1 1＝ 2 （4－M）×4－ 2 （4－M）（4－M）1＝－2M2＋2M。

2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》及答案

2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》及答案

2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O 于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD ＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB ＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC 于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC ＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE 交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．5．解：（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴，即OC2＝OE•OP∵OC＝AB∴即AB2＝4OE•OP．6．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝7．解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；（2）作OD⊥AB于D，如图所示：则AD＝BD＝AB，由（1）得：△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝，∵∠BAC＝30°，∴AD＝OD＝，∴OD＝，即求点O到弦AB的距离为．8．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．9．（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得：AB＝4，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，∴，∴，∴．10．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝CD，∴∠ACD＝45°，∵O是AC的中点，∴∠ODC＝45°，∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠DCA＝45°，∴∠ODE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CE＝．11．（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．12．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴∠CDB＝∠DCH＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝13．解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∴OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，OB＝S阴影＝S△OCB﹣S扇形OBM＝CO•OB﹣π×OH2＝﹣π；③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∵PM＝NP，∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt△NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt△COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．14．（1）证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴AE的中点是圆心O，连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，∴r＝，在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，∵∠3＝∠2，∴tan∠3＝tan∠2＝．15．解：（1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．16．解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．17．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴∠OCF＝∠OEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．18．（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，∴BD2＝BM•BE，∴BM＝＝＝．19．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：过O作OH⊥CD于H，∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴AD＝，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，∵AO＝OC，∴OH＝AD＝，∴点O到CD的距离是．20．证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．。

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编几何综合（浙江专版）含答案

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编几何综合（浙江专版）含答案

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编（浙江专版）几何综合打印版答案在最后1.（2019・杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为Si，点E在。

C边上,点G在3。

的延长线上，设以线段4£>和£>£为邻边的矩形的面积为，，且£=$2.（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HQ,求证：HD=HG.2.（2019・杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O,ODLBC于点Q,连接Q4.(1)若ZBAC=60°,①求证：OD=—OA.2②当。

4=1时，求△A3C面积的最大值.(2)点E在线段QA上，OE=OD,连接DE,设ZABC=mZOED,ZACB=nZOED(m,"是正数），若ZABCCZACB,求证：m-n+2^0.3.(2019.宁波)如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边A£>,BC上，顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证：BG=DE；(2)若E为AD中点，FH=2,求菱形ABCD的周长.4.(2019-宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分线，E,F分别是B。

，AD上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使A3是邻余线，E,尸在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点连结并延长交AB于点0延长EF交AC于点N.若N为A C的中点，DE=2BE,Q3=3,求邻余线仙的长.5.(2019-宁波)如图1,经过等边△ABC的顶点A,C(圆心。

在△ABC内)，分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BFLEC交AE于点F.(1)求证：BD=BE.(2)当AF：EF=3：2,AC=6时，求AE的长.(3)设tanZDAE—y.EF①求y关于x的函数表达式；②如图2,连结OF,OB,若左AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值.副图26.(2019・温州)如图，在ZVIBC中，ZBAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E三点的OO交AB于另一点F,作直径AD,连结QE并延长交AB于点G,连结CD,CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形.(2)当BE=4,CD=^AB时,求。

2019年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 综合练习 (有答案)

2019年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 综合练习 (有答案)

2019年中考数学二轮复习二次函数压轴题综合练习1．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y 轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．2.如图，已知抛物线2(1)y a x=-+a≠0）经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．4. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。

2019年中考数学压轴题专项训练：反比例函数(附解析)

2019年中考数学压轴题专项训练：反比例函数(附解析)

2019年中考数学压轴题专项训练：反比例函数一．选择题1．已知反比例函数y＝﹣，下列结论错误的是（）A．y随x的增大而减小B．图象位于二、四象限内C．图象必过点（﹣2，4）D．当﹣1＜x＜0时，y＞82．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣4，﹣4），则k的值为（）A．16 B．﹣3 C．5 D．5或﹣33．如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点B的坐标为（1，2），∠OBC＝90°，则k的值为（）A．B．3 C．5 D．4．如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（）A ．5B ．4C ．10D ．205．我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为，那么这个矩形就称为黄金矩形．如图，已知A 、B 两点都在反比例函数y ＝（k ＞0）位于第一象限内的图象上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．②③D ．①②③6．如图，平行于x 轴的直线与函数y 1＝（a ＞0，x ＞0），y 2＝（b ＞0．x ＞0）的图象分别相交于A 、B 两点，且点A 在点B 的右侧，在X 轴上取一点C ，使得△ABC 的面积为3，则a ﹣b 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．3D ．﹣37．如图，正比例函数y 1＝﹣2x 的图象与反比例函数y 2＝的图象交于A 、B 两点，点C 在x 轴负半轴上，AC ＝AO ，△ACO 的面积为6．则k 的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．68．如图，在菱形OABC中，点A的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，OB•AC＝160．双曲线y＝（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，则过点E的双曲线表达式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，8）和B（4，2）两点，点P是线段AB 上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x轴，y轴的垂线PC，PD交反比例函数图象于点E，F，则四边形OEPF面积的最大值是（）A．3 B．4 C．D．610．如图，平行四边形AOBC中，∠AOB＝60°，AO＝8，AC＝15，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，与BC交于点D，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在△OAB中，AO＝AB，S＝36，反比例函数y＝（x＞0）的图象与OA交于点△AOBC，点D是函数y＝（x＞0）的图象一点，且CD∥x轴，若∠ADC＝90°，则k的值是．12．如图，点A是反比例函数y＝﹣的图象第二象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第三象限，AC与x轴交于点D，连结BD．当BD平分∠ABC时，点C的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．14．如图，直线y ＝2x ﹣1交y 轴于A ，交双曲线y ＝（k ＞0，x ＞0）于B ，将线段AB 绕B 点逆时针方向旋转90°，A 点的对应点为C ，若C 点落在双曲线y ＝（k ＞0，x ＞0）上，则k 的值为 ．15．如图，点B 1（1，）在直线l 2：y ＝x 上，过点B 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 1：y ＝x于点A 1，以A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，过C 1的反比例函数为y ＝；再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，过C 2的反比例函数为y ＝，…，按此规律进行下去，则第n 个反比例函数的k n ＝ ．（用含n 的代数式表示）16．如图，已知点A 在反比例函数上，作Rt △ABC ，使边BC 在x 轴上且∠ABC ＝90°，点D 在AC 上且CD ＝2AD ，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，△ABC 的面积为3，则k ＝ ．17．如图，菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，点B、C的坐标分别为（0，2）、（3，0），点A、D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC在x轴上，点B与点C关于原点对称，AB＝5，AO＝，边AC上的点P满足∠COP＝∠CAO，且双曲线y＝经过点P，则k值等于．19．如图，A、B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是4和8，则△OAB的面积是．20．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为．三．解答题21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（n，3），B（﹣3，﹣2）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S．△ABC22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k ≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，﹣4）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH的面积；（3）观察图象，直接写出ax+b＞的x取值范围．23．如图所示，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于M 、N 两点．（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）连结OM 、ON ，求△MON 的面积；（3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．24．如图，双曲线y 1＝与直线y 2＝的图象交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为（4，1），点P （a ，b ）是双曲线y 1＝上的任意一点，且0＜a ＜4．（1）分别求出y 1、y 2的函数表达式；（2）连接PA 、PB ，得到△PAB ，若4a ＝b ，求三角形ABP 的面积；（3）当点P 在双曲线y 1＝上运动时，设PB 交x 轴于点E ，延长PA 交x 轴于点F ，判断PE 与PF 的大小关系，并说明理由．25．制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600°C．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图），已知该材料初始温度是26℃（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400°C时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？26．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）和反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣4，2），B（n，﹣4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（n，12），点C的坐标为（﹣4，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．28．如图，已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于，若OA＝OD＝OB＝3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集．29．如图1，反比例函数图象经过等边△OAB 的一个顶点B ，点A 坐标为（2，0），过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ．（1）求点B 的坐标和k 的值； （2）若将△ABM 沿直线AB 翻折，得到△ABM '，判断该反比例函数图象是从点M '的上方经过，还是从点M '的下方经过，又或是恰好经过点M '，并说明理由；（3）如图2，在x 轴上取一点A 1，以AA 1为边长作等边△AA 1B 1，恰好使点B 1落在该反比例函数图象上，连接BB 1，求△ABB 1的面积．30．如图，已知反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与反比例函数y ＝（x ＜0）的图象，A （1，4），B （4，m ）是函数y ＝（x ＞0）图象上的两点，连接AB ，点C （﹣2，n ）是函数y ＝（x ＜0）图象上的一点，点C 关于y 轴的对称点在y ＝（x ＞0）图象上，连接AC ，BC ．（1）求m ，n 的值；（2）求BC 所在直线的表达式；（3）求△ABC 的面积．参考答案一．选择题1．解：反比例函数y ＝﹣中k ＝﹣8＜0，在每个象限内y 随着x 的增大而增大，故A 错误，符合题意，故选：A ．2．解：设C （x ，y ），如图，∵矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，∴△ABD 和△CDB 的面积相等，∴矩形AEOF 的面积等于矩形OMCN 的面积，∴xy ＝k 2﹣2k +1＝4×4，即（k ﹣1）2＝16，解得k 1＝﹣3，k 2＝5．故选：D ．3．解：将B （1，2）代入反比例函数y ＝（x ＞0）中得：m ＝2，∴y ＝，∵∠OBC ＝90°，∴k OB ×k BC ＝﹣1，∵k OB ＝2，∴k BC ＝﹣，∵B （1，2），∴直线BC ：y ＝﹣x +，联立，得：点C （4，），∴线段BC 的中点坐标为（，），∵▱ABOC ，∴线段OA 的中点坐标为（，），∴点A 的坐标为（5，），∵点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴k ＝5×＝； 故选：D ．4．解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y ＝和y ＝﹣在x 轴上方的图象上，∴S △AOB ＝S △COB +S △AOC ＝（3+7）＝5，故选：A ．5．解：∵OCAD 和CEBG 都是正方形．∴设BE ＝a ，AD ＝b ，∴B （a +b ，a ），A （b ，b ），∵A 、B 两点都在反比例函数y ＝，∴a （a +b ）＝b •b ，∴，①四边形ADFG 中宽与长的比为，将代入，得到＝， ∴四边形ADFG 不是黄金矩形；①不正确；四边形OCGF中宽与长的比为＝，∴四边形OCGF为黄金矩形，②正确；∵FG、OC的中点分别为P、Q，∴OQ＝b，四边形OQPF中宽与长的比为＝，∴四边形OQPF不是黄金矩形；③不正确；故选：B．6．解：设A（，m），B（，m），则：△ABC的面积＝•AB•y A＝•（﹣）•m＝3，则a﹣b＝6．故选：A．7．解：设A（m，﹣2m），∵AC＝AO，∴△ACO是等腰三角形，∴CO＝﹣2m，∴S＝×（﹣2m）×（﹣2m）＝6，△ACO∴m2＝3，∵k＝2m2，∴k＝﹣6，故选：C．8．解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H，∵A（10，0），∴OA＝10，∴S菱形ABCD＝OA•BF＝AC•OB＝×160＝80，即10BF＝80，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝10，BF＝8，由勾股定理可得AF＝6，∴OF＝OA+AF＝10+6＝16，∵四边形OABC为菱形，∴D为OB中点，∴DG＝BF＝×8＝4，OG＝OF＝×16＝8，∴D（8，4），∵双曲线过点D，∴4＝，解得k＝32，∴双曲线解析式为y＝，故选：D．9．解：设一次函数解析式为y＝kx+b，反比例函数解析式为y＝，∵A（1，8）和B（4，2）是两个函数图象的交点，∴y＝，∴，∴，∴y＝﹣2x+10，∵S△ODF ＝S△ECO＝4，设点P的坐标（x，﹣2x+10），∴四边形OEPF面积＝xy﹣8＝x（﹣2x+10）﹣8＝﹣2x2+10x﹣8＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，面积最大为；故选：C．10．解：作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵∠AOB＝60°，AO＝8，∴OE＝OA＝4，AE＝OA＝4，∴A（4，4），∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，∴k＝4×＝16，∴y＝，∵四边形AOBC是平行四边形，∴OA∥BC，∴∠DBF＝∠AOB＝60°，设D点的纵坐标为n，∴DF＝n，∴BF＝n，∵OB＝AC＝15，∴D（15+n，n），∵点D在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴（15+n）•n＝16，解得n1＝，n2＝﹣16（舍去），∴DF＝，∵∠DBF＝∠AOB＝60°，∠OEA＝∠BFD＝90°，∴△BFD∽△OEA，∴＝＝＝，故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，延长AD ，交x 轴于点F ，连接OD ，如图所示． ∵AO ＝AB ，CD ∥x 轴，∠ADC ＝90°，∴AF ⊥OB ，∴S △AOF ＝S △AOB ＝18．∵函数y ＝（x ＞0）图象与OA 交于点C ，点D 是函数y ＝（x ＞0）的图象上一点，∴S △OCE ＝k ，S △ODF ＝×4＝2，∴＝＝＝．∵CE ⊥x 轴，AF ⊥x 轴，CD ∥x 轴，∴△OCE ∽△OAF ，CE ＝DF ，∴＝（）2＝，∴S △O CE ＝k ＝×18＝，∴k ＝．故答案为：．12．解：连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，过点D 作DH ⊥AB 于H ，如图所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OA＝OC，OC⊥AB，∴∠AOE+∠COF＝90°．∵∠COF+∠OCF＝90°，∴∠AOE＝∠OCF．在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴AE＝OF，OE＝CF．∵BD平分∠ABC，∴CD＝DH，∵∠CFD＝∠AED＝90°，∠CDF＝∠ADE，∴△CDF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝45°，∴sin45°＝＝∴＝＝，∵OE＝CF，∴＝．∵k＝﹣，∴设点A的坐标为（a，﹣）（a＜0），∴＝，解得：a＝1或a＝﹣1，∴A（﹣1，），∴OE＝1，AE＝，∴CF＝OE＝1，OF＝AE＝，∴点C的坐标为（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣1）．13．解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，∴点B坐标为（，4），同理可求出点A的坐标为（，2），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为，∴BA＝，AC＝，BC＝3，∴BA2﹣AC2＝3k＞0，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则＝3，解得：k＝；②AC＝BC，则＝3，解得：k＝；故答案为：或．14．解：过点B作BE∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥BD于点D，如图：则易证△ABE ≌△BCD ，∴BE ＝CD ，AE ＝BD ，∵直线y ＝2x ﹣1交y 轴于A ，∴A （0，﹣1），设点B （x ，），则BE ＝CD ＝x ，AE ＝BD ＝+1，∴C （x ++1，﹣x ），∵C 点落在双曲线y ＝（k ＞0，x ＞0）上，∴k ＝（x ++1）（﹣x ）①，∵点B 在直线y ＝2x ﹣1上，∴＝2x ﹣1②，∴联立①②解得：k ＝6，故答案为：6．15．解：直线l 2：y ＝x 与x 轴夹角为30°，直线l 1：y ＝x 与x 轴夹角为60°， ∴l 1与l 2的夹角30°，∵A 1B 1上l 1，∴∠OB 1A 1＝60°，∵等边三角形A 1B 1C 1，∴B 1C 1⊥x 轴，∵B 1（1，），∴OB 1＝，∴B 1C 1＝，∴C 1（1，）， ∴k 1＝；∴OB 2＝+＝，∴A 2B 2＝OB 2sin30°＝，∴B 2的横坐标OB 2×cos30°＝，B 2的纵坐标OB 2×sin30°＝，∴C 2（，）， ∴k 2＝，以此得到OB n ＝×，∁n 的横坐标OB n ×cos30°＝，∁n 的纵坐标2OB n×sin30°＝×，∴k n ＝××＝×，故答案为×； 16．解：∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线，∴BD ＝DC ，∠DBC ＝∠ACB ，又∠DBC ＝∠EBO ，∴∠EBO ＝∠ACB ，又∠BOE ＝∠CBA ＝90°，∴△BOE ∽△CBA ，∴＝，即BC ×OE ＝BO ×AB ．又∵S △BEC ＝3，∴BC •EO ＝3，即BC ×OE ＝6＝BO ×AB ＝|k |．∵反比例函数图象在第二象限，k ＜0．∴k ＝﹣6．故答案为：﹣6．17．解：菱形ABCD 的对角线BD 与x 轴平行，点B 、C 的坐标分别为（0，2）、（3，0），∵菱形对角线互相垂直平分，∴A （3，4），将点A （3，4）代入中，∴k ＝12；故答案为12；18．解：∵点B 与点C 关于原点对称，∴BC ＝2OC ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，∵AB ＝5，∴25＝AC 2+4OC 2，在Rt △AOC 中，AO 2＝AC 2+OC 2，∵AO ＝， ∴13＝AC 2+OC 2，∴OC ＝2，AC ＝3，∵∠COP ＝∠CAO ，∴tan ∠COP ＝tan ∠CAO ，∴，∴PC ＝，∴P （2，），∴k ＝；故答案为；19．解：∵A ，B 是反比例函数y ＝在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是4和8，∴当x ＝4时，y ＝2，即A （4，2），当x ＝8时，y ＝1，即B （8，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC ＝S △BOD ＝×8＝4． ∵S 四边形AODB ＝S △AOB +S △BOD ＝S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC ＝（BD +AC ）•CD ＝（1+2）×4＝6，∴S △AOB ＝6．故答案为：6．20．解：作DF ∥AO ，CE ⊥AO ，∵∠AOC ＝60°，∴tan ∠AOC ＝，∴设OE ＝x ，CE ＝x ， ∴x •x ＝4，∴x ＝±2，∴OE ＝2，CE ＝2，由勾股定理得：OC ＝4，∴S 菱形OABC ＝OA •CE ＝4×2＝8，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DF ∥AO ，∴S △ADO ＝S △DFO ，同理S △BCD ＝S △CDF ，∵S 菱形ABCO ＝S △ADO +S △DFO +S △BCD +S △CDF ，∴S 菱形ABCO ＝2（S △DFO +S △CDF ）＝2S △CDO ＝8，∴S △CDO ＝4；故答案为4．三．解答题（共10小题）21．解：（1）将点B（﹣3，﹣2）代入y＝，∴m＝6，∴y＝，∴n＝2，∴A（2，3），将A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，，∴，∴y＝x+1；（2）y＝x+1与x轴交点坐标（﹣1，0），∴S＝×1×（3+2）＝；22．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点B（4，﹣4），∴k＝4×（﹣4）＝﹣16，∴反比例函数解析式为：y＝﹣．∵AH⊥x轴于点H，AC＝4，cos∠ACH＝，∴＝＝，解得：HC＝4，∵点O是线段CH的中点，∴HO＝CO＝2，将x＝﹣2代入y＝﹣，得y＝8，，∴A（﹣2，8）．设一次函数解析式为：y＝kx+b，将A（﹣2，8），B（4，﹣4）代入，得：，解得：，∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+4；（2）∵HC＝4，B（4，﹣4），∴△BCH的面积为：×4×4＝8；（3）观察图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，所以ax+b＞的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．故答案为x＜﹣2或0＜x＜4．23．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于M（3，2）、N（﹣1，a）两点∴m＝6，a＝﹣6，∴反比例函数y＝，N（﹣1，﹣6），把M（3，2），N（﹣1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得∴一次函数的解析式的解析式为y＝2x﹣4．（2）设直线MN交x轴于点A，当y＝0时，2x﹣4＝0，∴x＝2，∴A（2，0），∴S△MON＝S△MOA+S△NOA＝•OA•（y M﹣y N）＝×2×8＝8；（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时一次函数的值大于反比例函数的值．24．解：（1）把点A（4，1）代入双曲线y1＝得k1＝4，∴双曲线y1＝；代入直线y2＝得k2＝4，∴直线为y＝x；（2）∵点P（a，b）在y1＝的图象上，∴ab＝4，∵4a＝b，∴4a2＝4，则a＝±1，∵0＜a＜4，∴a＝1，∴P（1，4），又∵双曲线y1＝与直线y2＝的图象交于A、B两点，且A（4，1）∴B（﹣4，﹣1），过点P作PQ∥y轴交AB于点G，如图所示，把x＝1代入y＝x，得到y＝，∴G（1，），∴PG＝4﹣＝，∴S△ABP＝PG（x A﹣x B）＝××8＝15；（3）PE＝PF．理由如下：∵点P（a，b）在y＝的图象上，∴b＝，∵B（﹣4，﹣1），设直线PB的表达式为y＝mx+n，∴，∴∴直线PB的表达式为y＝x+﹣1，当y＝0时，x＝a﹣4，∴E点的坐标为（a﹣4，0），同理F点的坐标为（a+4，0），过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，∵P点坐标为（a，b），∴H点的坐标为（a，0），∴EH＝x H﹣x E＝a﹣（a﹣4）＝4，同理可得：FH＝4，∴MH＝HN，∴PM＝PN．25．解：（1）材料锻造时，设y＝（k≠0），由题意得600＝，解得k＝4800，当y＝800时，，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800）材料煅烧时，设y＝ax+26（a≠0），由题意得800＝6a+26，解得a＝129，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝129x+26（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y＝（6＜x≤150）；（2）把y＝400代入y＝，得x＝12，12﹣6＝6（分），答：锻造的操作时间6分钟．＝，26．【解答】解：（1）将点A（﹣4，2）代入y2∴m＝﹣8，∴y＝，将B（n，﹣4）代入y＝，∴n＝2，∴B（2，﹣4），＝kx+b，将A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y1得到，∴，∴y＝﹣x﹣2，（2）由图象直接可得：x＞2或﹣4＜x＜0；27．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D．由A（n，12），C（﹣4，0），可得OD＝n，AD＝12，CO＝4．∵tan∠ACO＝2，∴＝2，即＝2，∴n＝2，∴A（2，12）．将A（2，12）代入反比例函数y＝，得m＝2×12＝24．∴反比例函数的解析式为y＝．将A（2，12），C（﹣4，0）代入一次函数y＝kx+b，得，解得．∴一次函数的解析式为y＝2x+8．（2）y＝与y＝2x+8的交点为，2x+8＝，∴x2+4x﹣12＝0，∴x＝﹣6或x＝2，∴点B的坐标为（﹣6，﹣4）．（3）∵C（﹣4，0），＝×OC（y A﹣y B）＝×4×[12﹣（﹣4）]＝32．∴S△AOB28．解：（1）∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴，∴CD＝2OB＝8，∵OA＝OD＝OB＝3，∴A（3，0），B（0，4），C（﹣3，8），把A、B两点的坐标分别代入y＝ax+b可得，解得，∴一次函数解析式为，∵反比例函数y＝的图象经过点C，∴k＝﹣24，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，∵C（﹣3，8），∴0＜﹣x+4≤﹣的解集为﹣3≤x＜0；29．解：（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，∴点B的坐标为（1，）．∵反比例函数图象经过点B，∴k＝．（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，∴∠AM′C＝30°，∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．∴OC＝OA+AC＝，∴点M′的坐标为（，）．当x＝时，y＝＝，∵＜，∴该反比例函数图象是从点M '的下方经过．（3）过点B 1作B 1D ⊥x 轴，垂足为点D ，如图2所示．设AA 1＝a ，则AD ＝a ，B 1D ＝a ，OD ＝2+a ，∴点B 1的坐标为（2+a ，a ）．∵点B 1在该反比例函数y ＝的图象上，∴（2+a ）•a ＝，解得：a 1＝﹣2﹣2（舍去），a 2＝2﹣2，∴MD ＝AM +AD ＝，B 1D ＝a ＝﹣，AD ＝a ＝﹣1，∴＝﹣S △BMA ﹣，＝（BM +B 1D ）•MD ﹣BM •AM ﹣B 1D •AD ，＝（+﹣）×﹣××1﹣×（﹣）×（﹣1），＝﹣．30．解：（1）因为点A 、点B 在函数y ＝（x ＞0）图象上，∴k 1＝1×4＝4，∴m×4＝k1＝4，∴m＝1，∵点C（﹣2，n）关于y轴的对称点在y＝（x＞0）图象上．∴对称点为（2，n），∴2×n＝4，∴n＝2；（2）设直线BC所在的直线表达式为y＝kx+b把B（4，1），C（﹣2，2）代入，得，解得，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+；（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是E、F、B、G．∴四边形EFBG是矩形．则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3∴S△ABC＝S矩形EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG＝BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG＝18﹣﹣3﹣3＝．。

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2019中考压轴题专项训练训练目标1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。

题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。

答题规动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。

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23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。

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下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。

课程名称：中考数学难点突破之动点1、图形运动产生的面积问题2、存在性问题3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）一、图形运动产生的面积问题一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态：①由起点、终点确定t 的围；②对t 分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积． 二、精讲精练1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积． （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值围．1题图AC MNQPBC2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y =12x 与直线l 2：y =-x +6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ． （1）求M ，N 的坐标．（2）已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．求S 与自变量t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值围．AB C DNMOy3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。

重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。

请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =； （2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGHS S四边形的最大值。

（图3）（图2）（图1）BBB解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E，∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。

∴DE是中位线。

∴DE∥AC，且DE=AC。

∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。

∴。

∵AD=AO+OD，∴。

（2）答：点O是△ABC的重心。

证明如下：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心。

由（1）可知，，而，∴点Q与点O重合（是同一个点）。

∴点O是△ABC的重心。

（3）如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。

为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。

设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。

∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。

∴①。

如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。

∵OF∥BC，∴。

∴OF=CD=BC。

∵GE∥BC，∴。

∴。

∴，∴。

∵OF∥GE，∴。

∴，即。

∴，代入①式得：。

∴当x=时，有最大值，最大值为。

（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。

（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。

（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。

二、二次函数中的存在性问题一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③验证取舍.结合点的运动围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练1.如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标．2. 抛物线()21134y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．3. 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．（1）若抛物线c bx x y ++-=231经过A 、B 两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．三、二次函数与几何综合一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：整合信息时，下面两点可为我们提供便利：①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a >0）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的右侧，且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC 、CD ，∠ACD =90°． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B 、A 、F 、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．4.如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A 、B 两点．（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A 、B 两点的坐标； （2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立． （3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．5.如图1，抛物线y＝nx2－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限，且∠BAC＝90°．（1）填空：点B的坐标为（_ ），点C的坐标为（_ ）；（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．①求此时抛物线的解析式；②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．附：参考答案一、图形运动产生的面积问题图1 图21. （1）当t =32时，四边形MNQP 恰为矩形．此时，该矩形的面积为332平方厘米．（2） 当0＜t ≤1时，33+2S t =；当1＜t ≤2时，332S =； 当2＜t ＜3时，73-32S t =+2．（1）M （4，2） N （6，0）（2）当0≤t ≤1时，24t S =；当1＜t ≤4时，1-24t S =； 当4＜t ≤5时，231349--424S t t =+；当5＜t ≤6时，13-2S t =+；当6＜t ≤7时，()217-2S t =3.解：（1）证明：如图1，连结CO 并延长交AB 于点P ，连结PD 。

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