巧学物理最小值原理法

巧学物理：最小值原理法

在物理规律中存在着许多最小值问题，如物体受三个力作用而平衡，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小；在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的；除重力外其他力对物体做功为零，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小，这样的规律被称为最小值原理。

【调研1】如图所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使

悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，

当拉力F有最小值时，F与水平方向的夹角β应是( )

A．0 B.π/2 C．α D．2α

〖巧解〗由题图可知当F与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β=α.答案为C。

【调研2】如图所示，一质量为m、带电量为q的小球用细线系住，线的一端固定在O点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成60o，则电场强度的最小值为( )

A.mg/2q

B.3mg/2q

C.2mg/q

D. mg/q

〖巧解〗此题为电场和重力场的物体平衡问题。在三力平衡中若已知一个力大小方向不变，一个力方向不变，求另外一个力时有最小值。对球受力分析可知当电场力与绳拉力方向垂直时，电场强度最小，qE=mg sin60o,得E=3

2

mg

q

，选B。

【调研3】如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )

A．当30

β︒

＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sin

mgα

B．当60

β︒

＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为cos

mgα

C．当60

β︒

＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sin

mgα

D．当90

β︒

＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sin

mgα

O

m

60o

〖巧解〗以球为研究对象，球受三个力作用：重力（恒力）、斜面的支持力

N1

F（方向不变）、挡板的支持力F N2（大小方向都在变化），当F N2与

N1

F垂直时，即β=90o

时，F N2最小，最小值

N2min sin

F mg

＝由牛顿第三定律知，挡板AO所受压力最小，D 项正确．

【调研4】如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B

两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )

A．mg B. 3

3

mg C. 12mg D. 14mg

〖巧解〗如图所示，对C点进行受力分析，由平衡条件可

知，绳CD对C点的拉力F CD=mg tan30o；对点进行受力分

析，绳CD对D点的拉力F2=F CD=mg tan30o，F1方向一定，则

当F3垂直于绳时，F3最小，由几何关系可知，F3=F2sin60o=

1

2

mg，答案为C。

【调研5】如图所示，在场强为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电的小球A悬挂在绝缘细线上，当小球静止时，细线与竖直方向成30o角，已知此时电场方向恰好使小球受到的电场力最小，则小球所带的电荷量为（）

A.mg

E

B.3mg

E

C.2mg

E

D.

2

mg

E

〖巧解〗由电场方向恰好使小球受到的电场力最小可知，电场强度E的方向与细线垂直，小球的受力情况如图所示，由平衡条件可得

1

2

mg=qE，解得q=

2

mg

E

,选项D正确.

【调研6】将两个质量均为m的小球a、b用绝缘细线相连,竖直

悬挂于O点，其中球a带正电、电荷量为q，球b不带电,现加一

电场强度方向平行竖直平面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于

平衡状态,且绷紧的绝缘悬线Oa与竖直方向的夹角为θ=30o，如图

所示,则所加匀强电场的电场强度大小可能为（）

D

BD

A.4mg q

B.mg

q C.2mg q D.34mg

q

〖巧解〗本题考查带电体的平衡及图解法求极值等知识,意在考查考生的理解能力和用数学处理物理问题的能力。

取小球a 、b 为整体,则受重力2mg 、悬线拉力T 和电场力F 作用处于平衡，当电场力与总重力垂直时，电场力最小，F 的最小值为2mg sin30o =mg ，由F =qE 知A 、C 、D 错，B 对。

巧学巧练

【巧练1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B 球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A 、B 两球静止．由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动．已知OA 球的质量为m A ，B 球的质量为m B ，杆长为L .则：

(1)A 球机械能最小时，水平面对B 球的支持力为多大？

(2)若m A =m B ，当A 球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？

【巧练2】如图所示，在水平面上固定一个半圆形细管，在直径两端A 、B 分别放置一个正点电荷Q 1、Q 2，且Q 2=8Q 1.现将另一正点电荷q 从管内靠近A 处由静止释放，设该点电荷沿细管运动过程中最小电势能的位置为P ，并设PA 与AB 夹角为θ，则以下关系正确的是 （ ）

A 、tan θ=4

B 、tan θ=8

C 、tan θ=2

D 、tan θ=22

【巧练3】如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线连悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角的大小θ=30o ，则F 的大小 （ ）

在

B A O A B Q P

θ

Q 2 a

b F

θ O