高三数学第一轮复习：抛物线

2 1 动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q ，且 PQ FQ 2 QF .
（1） 试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程；
解： 如图，以线段 FM 的中点为原点 O ，
y
以线段 FM 所在的直线为 y 轴, 建立直角坐标系 xOy , 则 F (0,1) ．
设动点 P 的坐标为 x, y ，
p F ,0 2
y 0, x R
p F 0, 2 p y 2
y
y 0, x R
p 2
y
轴
（方程中一次项是对称轴）
2、抛物线的焦半径：
2 y 2 px( p 0) ，F 为其焦点， P( x0 , y0 ) 是抛物线上任 若抛物线方程为 p x 意一点，则线段 PF 叫抛物线的一条焦半径，且 PF 0 2 ；
解： 依题意知，动点
P 到定点 F (1,0) 的距离等于 P 到直线
x -1 的距离，
所以，曲线 C 是以原点为顶点、 F (1,0) 为焦点的抛物线
∴
2 y C 曲线 方程是 4 x 。
（2）若直线 l 经过点 F (1, 0) ，求 OA OB 的值；
解： 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 OA OB
设l : x
ty b
x ty b 联立 2 ， y 4x
2 y 4ty 4b 0 消去x，得：
则y1 y2 4t , y1 y2 4b.
OA OB x1 x2 y1 y2 (ty1 b)(ty2 b) y1 y2
x1 x2 y1 y2
当 l 斜率不存在时，其方程为 x
x 1 1 ，由 2 A(1, 2) 、 B(1, 2) 解得 y 4 x
y k ( x 1) 2 联立 y 4x ， 当 l 斜率存在时，设直线 l : y k ( x 1) ，
故点M的轨迹是以C点位焦点的抛物线。
2 x 动圆圆心 M 的轨迹方程 -12 y 。
【课堂小结】：
1.抛物线的定义，标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法； 2.抛物线定义的应用。
例 2.（1）已知抛物线经过点 M (2,1) ，求抛物线的标准方程；
解： M ( 2,1) 在第二象限，
3、抛物线的焦点弦：
2 y 2 px( p 0) ，过焦点 F 弦 AB 叫抛物线的一条焦点 若抛物线方程为
弦，当 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 时， 4、抛物线的通径： 通径长 AB
AB x1 x2 p ；
2 y 2 px( p 0) 的 垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫抛物线的通径， 抛物线
则动点 Q( x,1) , PF ( x,1 Байду номын сангаас)
o
x
PQ (0,1 y)
2 1 1 2 PQ FQ QF 2( y 1) ( x 4) x 2 4 y 2 2 2 x 可得轨迹 C 的方程为： 4 y ．
（2）过点 F 的直线交轨迹 C 于
A、B
两点，交直线 l 于点 N ，
已知 NA 1 AF ， NB 2 BF ，求证： 1 2 为定值．
解： 由题意可知直线 l 的斜率存在，
过 A、 B 两点分别作准线 l 的垂线， 垂足分别为 A1、B1 ，
A
y
B

NA 1 AF , NB 2 BF 1 2 0
2p
。
【小题检测】：
2 y 2 x 1.抛物线 的准线方程是（
D
）
1 x A、 2；
2 x 8 y 是
1 y B、 2；
；
2
1 x C、 8；
1 y D、 8
2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 y 2 ，则抛物线的标准方程
3.抛物线
y x
的通径长是
1
；
【抛物线定义的应用】：
A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) ， 解： 设焦点弦的两个端点为
则 AB x1 x 2 p 5 ， x1
x2 3
当焦点弦 AB 斜率不存在时， 通径 AB 2 p 4 5 ，不合；
当焦点弦AB斜率存在时， 设直线 AB 方程：
2 2 y k ( x 1) y k x 消 ，得： 2 联立 y 4 x ，
不妨令1 0, 2 0, 如图.
1 1 AA1 sin ANA AF
NA
N
F
O
A1
x
l B1
NA
2
1 BF BB1 sin ANA
NB
NB
1 2 0 （定值）
y k ( x 1) ，
2(k 2 2) x k 2 0
2 2 4 2 k 0 , 且 4 （ k 2 ） 4 k 16 k 16 0 ， 此时
2( k 2 2 ) x x2 3 ，解得 k 2 ， 2 由 1 k
所以，焦点弦所在的直线方程是 2 x
2 例 1 点 A(4,2) 是抛物线 y 8x 内一点，抛物线上的点 M 到 A 点的距
离与它到焦点的距离之和最小，求点 M 的坐标及最小距离。
解：
M

y
M
过点 A 作准线 l 的垂线，交抛物线于点 M， 则点 M 即为所求点。
由题意可设： M
A
l
N
F
O
x
x0 ,2
1 1 M ( ,2) 2 2
第48讲
抛物线
【知识点梳理 】：
定义 平面上到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 相等 的点的轨迹叫 抛物线，其中定点 F 叫抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准 线，点 F 在直线 l 外。 y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) x 2 2 py( p 0)
2 2 x 2 py ( p 0 ) 或 y 2 px( p 0) 。 可设抛物线标准方程为： 1 点M坐标代入，得： p 2或p 4 1 2 2 抛物线标准方程是： x 4 y或y x 2 （ 2） 求顶点在原点， 焦点在直线 x 3 y 15 0 上的抛物线的标准方程；
解：
令y 0, 得x 15;
令x 0, 得y 5
2
所以，当焦点是 F (15,0) 时，抛物线标准方程是： y 60 x
- 5) 时，抛物线标准方程是： x 2 20 y 当焦点是 F (0，
2 y 4 x 的焦点弦长为 5，求焦点弦所在的直线方程； 例 3. 若抛物线
2 2 8 x0 x0 代入抛物线方程，得：
最小距离 AN 6
【知识迁移】：
2 设 P 是曲线 y 4 x 上的一个动点
（1） 求点 P 到点 A(1,1) 的距离为点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小 值； （2） 若点 B(3,2) ，点 F 是抛物线的焦点，求 PB PF 的最小值。
2 2 2 2 k x (2 k 4) x k 0, 消 y 得: 2 2 4 2 k 0 , 且 4 （ k 2 ） 4 k 16 k 16 0 ， 此时
OA OB =1 4= 3
2k 2 4 则有 x1 x2 1 ， x1 +x2 k 2
2 2 y 2 C : x ( y 3 ) 1 外切，求 M 例 2 动圆 与定直线 相切，且与定圆
动圆圆心 M 的轨迹方程。
解： 记动圆 M 半径为 R，d 是点 M 到定直线
y 2 的距离。
MC R 1 dR
所以，点 M 到圆心 C(0,-3)的距离=点 M 到直线 y 3 的距离。
y 2 0。
例 4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 . 已 知 曲 线 C 上 任 意 一 点
P( x , y ) （其中 x 0 ）到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1，直
线 l 与曲线 C 相交于不同的 A, B 两点. （1）求曲线 C 的轨迹方程；
t 2 y1 y2 bt ( y1 y2 ) b 2 y1 y2
4bt 2 4bt 2 b 2 4b b 2 4b
由：b 2
4b 4, b 2 4b 4 0 b 2
∴直线 l 过定点（2，0） 。
例 5．如图，平面上定点 F 到定直线 l 的距离 FM 2 ， P 为该平面上的
方程 图形
l
y
O F x
y
F O
p F ,0 2
l x
y
O
F x l
y
O
p F 0, 2
l
F
x
性 焦点 p p x x 质 准线 2 2 x 0, y R 范围 x 0, y R （ 0,0 ） 顶点 x轴 对称 （方程中一次项是对称轴） 轴
y1 y1 k 2 ( x1 1)( x2 1) k 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1
x1 x2 y1 y2 3 综上所述， OA OB 3 .
-4
（3）若 OA OB 4 ，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点。
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 OA OB x1 x2 y1 y2 设 解：