第六章数据结构 图

边用顶点的无序偶对（vi, vj）来表示，称顶点vi和顶 点vj互为邻接点，边（vi, vj）依附于顶点vi与顶点vj； 弧用顶点的有序偶对<vi, vj>来表示，有序偶对的第一 个结点vi被称为始点（或弧尾），在图中就是不带箭 头的一端；有序偶对的第二个结点vj被称为终点（或 弧头），在图中就是带箭头的一端。
V2
V4
(V1, V4),(V2, V4)} 顶点(V1, V3)与 (V3, V1)表示同一条边
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(3)顶点、边、弧、弧头、弧尾：图中，数据元素vi称为顶 点(vertex )；P(vi, vj)表示在顶点vi和顶点vj之间有一条 直接连线。如果是在无向图中，则称这条连线为边； 如果是在有向图中，一般称这条连线为弧。
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G=( V, E )
V1 V2 V3 V4
顶点集合V={V1 ， V2 ， V3 ， V4 }
弧的集合G={<V1 ，V3>, <V3 ，V4>,
<V2 ，V4>, <V4，V1>}
V1
V3
顶点集合V={V1 ， V2 ， V3 ， V4 } 边的集合E={(V1, V3), (V1, V2),
顶点的出度=矩阵中对应该顶点的行中非零元 素的个数。 顶点的入度=矩阵中对应该顶点的列中非零元 素的个数。
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对有权值的网络图：
V1 V3 V1 V2 V3 V4
入度
1 0 1 2
出度
1 1 1 1
V1
V2 V2 V4 V3 V4
0
0 0 1
0
0 0 0
1
0 0 0
0
1 1 0
V1 V2 V3 V4
V={ 1 , 2 , 3 }
E={ <1,2> , <2,3> , <3,2> , <1,3> } 4
2 有向图
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2．图的相关术语
（1）无向图：在一个图中，如果任意两个顶点之 间的连线(称为边)是没有方向的，则称该图为无 向图。如图6.1(b)所示是一个无向图。 v1 v2 v3 边的集合为： v4 v5 E={（v1,v2）,(v1,v4), (v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v3, v5)}
10
V3
V1 ∞ V2 5
5
6
10
∞ ∞ 12
V3
V4
6
∞ ∞
∞
21
10 12
∞ ∞
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在C 语言中，实现邻接矩阵表示法的类型定义如下 所示：
#define MaxVertexNum 100 //最大顶点数设为100 #define VEXTYPE int //顶点类型设为int #define ADJTYPE int //边的权值设为整型 #define MAXLEN 40 typedef struct { otherdata……； //图中边的信息， VEXTYPE vexs[MAXLEN]； //图中顶点的信息 ADJTYPE arcs[MAXLEN][MAXLEN]；//邻接矩阵 int vexnum,arcnum； int kind； //图的类型 }MGRAPH；
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（10）回路、简单路径、简单回路： 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。 路径中第一个顶点与最后一个顶点相同的路径称为回路或 者环（cycle）。 除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现 的回路称为简单回路，或者简单环。
(11) 子图：对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’ 是V的子集 ，E’是E的子集 ，则称图G’是G的一个子图. （12）连通的、连通图、连通分量 在无向图中，如果从一 个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi 和vj 是连 通的。如果图中任意两顶点都是连通的，则称该图是连通 图.无向图的极大连通子图称为连通分量。
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机械工业出版社
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6.1 图的基本概念
1.图的定义 • 图是由结点的有穷集合V和边的集合E组成。 其中，为了与树形结构加以区别，在图结构中 常常将结点称为顶点，边是顶点的有序偶对(二 个顶点间的连线)，若两个顶点之间存在一条边， 就表示这两个顶点具有相邻关系。
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其形式化定义为： G＝（V，E） V＝{vi| vi∈dataobject} E＝{( vi,vj)| vi, vj ∈V ∧P(vi, vj)}
(9) DFSTraverse（G，v）在图G中，从顶点v出发深 度优先遍历图G。 (10) BFSTtaverse（G，v）在图G中，从顶点v出发 广度优先遍历图G。 （11）LocateVex（G，u）在图G中找到顶点u，返回该顶 点在图中位置。 （12）FirstAdjVex（G，v）在图G中，返回v的第一个邻 接点。若顶点在G中没有邻接顶点，则返回“空”。 （13）NextAdjVex（G，v，w）在图G中，返回v的（相对 于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点， 则返回“空”。
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6.2 图的存储结构
（1）图的邻接矩阵表示法 （2）图的邻接表示法
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6.2.1 邻接矩阵
有n个顶点的图可用一个A[n][n]的矩阵来表示各顶点间 的相邻关系。 矩阵元素A[i][j]的值表示为顶点Vi(行)与顶点Vj(列)间的 关系： 1----表示顶点Vi到顶点Vj间有连线
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（7）顶点的度、入度、出度： 顶点的度（degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD (v)。 在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。 顶点v的入度是指以顶点v为终点(弧带箭头的一端)的弧的数目。 记为ID(v) 顶点v出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD (v) 有向图中某顶点的度为：TD (vi)=ID (vi)＋OD (vi)。 （8）边的权、网：与边有关的数据信息称为权（weight）。在实际 应用中，权值可以有某种含义。 边上带权的图称为网或网络（network）。 （9）路径、路径长度：顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶 点序列vp,vi1,vi2, …, vim,vq.。其中，（vp,vi1），(vi1,vi2)，…,(vim,.vq) 分别为图中的边。路径上边的数目称为路径长度。
•A[i][j]=
0----表示顶点Vi到顶点Vj间无连线
•对于网图:
A[i][j]=
wij----表示顶点Vi到顶点Vj间边的权值
∞ ----表示顶点Vi到顶点Vj间无连线
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图的邻接矩阵表示法
V1 V2 V3 V4 V1 0 0 1 0
V1
V3
V2
V3 V2 V4 V4
0
0 1
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顶 点 V 的 集 合 为 ： V={v1,v2,v3,v4,v5}
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（2）有向图：在一个图中，如果任意两个顶点之间的 连线<vi, vj> (称为弧）是有方向的，则称该图为有向 图。
如图6.1(a)所示是一个有向图
v1 v2 顶 点 V 的 集 合 为 ： V={v1,v2,v3,v4}
弧线的集合为： v3 v4 E={<v1,v2>,<v1,v3>, <v3,v4>,<v4,v1>} 6
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有向图
图百度文库
无向图
V1 V2 V3 V4 V1 V3
V2
V4
在有向图中，<V1，V3>表示从V1到V3的一条弧。
V1为弧尾或初始点，V3为弧头或终端点。
在无向图中，(V1，V3)表示V1和V3之间的一条边。

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（4）无向完全图：在一个无向图中，如果任意两顶点都 有一条直接边相连接，则称该图为无向完全图。可以 证明，在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2 条边。 （5）有向完全图：在一个有向图中，如果任意两顶点之 间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有 向完全图。在一个含有n个顶点的有向完全图中，有 n(n-1)条边。 （6）稠密图、稀疏图 若一个图接近完全图，称为稠密图 (Dense Graph) ； 称 边 数 很 少 的 图 为 稀 疏 图 (Spares Graph)。
其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E 是图G中边的集合，集合E中P(vi,vj)表示顶点vi和 顶点vj之间有一条直接连线，即偶对(vi,vj)表示一 条边。
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图形结构——节点间的连结是任意的
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V={ 1 , 2 , 3 , 4}
E={(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) 2 无向图 1 3 (3,4) , (2,4) }
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建立一个图的邻接矩阵存储的算法如下：
#define MAX 10000 //设∞为MAX MGRAPH create_mgraph() { int i，j，k，h； char b，t； MGRAPH mg； mg.kind=3； /*若为有向图、无向图、无向网，则mg.kind=1、2、4*/ printf("请输入顶点数和边数：")； scanf("%d，%d"，&i，&j); mg.vexnum=i； mg.arcnum=j; for(i=0;i<mg.vexnum；i++) //输入顶点信息，建立顶点表 { printf(“第%d个顶点信息：”，i+1); scanf("%d"，&mg.vexs[i]; } for(i=0；i<mg.vexnum；i++) //初始化邻接矩阵 for(j=0；j<mg.vexnum；j++) mg.arcs[i][j]=MAX； //若为无向图/网，则mg.arcs[i][j]=0 for(k=1；k<=mg.arcnum；k++) { printf("第%d条边的起始顶点编号和终止顶点编号;\n",k)； scanf ("%d，%d"，&i，&j )； while(i<0||i>=mg.vexnum||j<0||j>=mg.vexnum) { printf (" 编号超出范围，重新输入：")； scanf ("%d，%d"，&i，&j); } printf ("此边的权值：")； scanf ("%d"，&h); mg.arcs[i][j]=h；} return（mg）； } 23 2013-8-4
0
0 0
0
0 0
1
1 0
V1 V2 V3 V4 V1 V1 V3 V2 V3 V2
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0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0 18
V4
V4
对于无向图,邻接矩阵为对称矩阵
邻接矩阵表示法对求顶点的度很方便。 •在无向图中： 顶点的度数=矩阵中对应该顶点的行或列中非 零元素的个数。 •在有向图中：
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图的基本操作
（1） CreatGraph（G）输入图G的顶点和边，建立图 G的存储。
（2）DestroyGraph（G）释放图G占用的存储空间。 （3）GetVex（G，v）在图G中找到顶点v，并返回顶 点v的相关信息。 （4）PutVex（G，v，value）在图G中找到顶点v，并 将value值赋给顶点v。 （5）InsertVex（G，v）在图G中增添新顶点v。 （6）DeleteVex（G，v）在图G中，删除顶点v以及所 有和顶点v相关联的边或弧。 （7）InsertArc（G，v，w）在图G中增添一条从顶点v 到顶点w的边或弧。 （8）DeleteArc（G，v，w）在图G中删除一条从顶点 v到顶点w的边或弧。 14 2013-8-4
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（13）强连通图、强连通分量 对于有向图来说，若图中 任意一对顶点vi和vj (i≠j) 均有从一个顶点vi 到另一个 顶点vj有路径，也有从vj 到vi的路径，则称该有向图 是强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分 量。 （14）生成树 连通图G的生成树，是G的包含其全部n 个 顶点的一个极小连通子图。在生成树中添加任意一条 属于原图中的边必定会产生回路，若生成树中减少任 意一条边，则必然成为非连通的。 （15）生成森林 在非连通图中，由每个连通分量都可得 到一个极小连通子图，即一棵生成树。这些连通分量 的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
V1 V3 V1 V2 0 1 1 0 1 0 1 1
度数
3 2 1 2
20
V2
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V4
V3
V4
1
1
0
1
0
0
0
0
对有权值的网络图：
V1
6 10 V2 V4
V1 V2 V3 V4 V3
V1 ∞ ∞ V2 ∞ ∞ ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 12 ∞ ∞
12
V3 V4
V1 V2 V3 V4 V1 5 V2 12 V4 6