大学物理课后答案 第七章 静电场中的导体和电介质

习题7
7-2 三个平行金属板A ,B 与C 的面积都就是200cm 2
,A 与B 相距4.0mm,A 与C 相距2.0 mm.B ,C 都接地,如题7-2图所示.如果使A 板带正电3、0×10-7
C,略去边缘效应,问B 板与C 板上的感应电荷各就是多少?以地的电势为零,则A 板的电势就是多少?
解: 如题7-2图示,令A 板左侧面电荷面密度为1σ,右侧面电荷面密度为2σ
题7-2图
(1)∵ AB AC U U =,即 ∴ AB AB AC AC E E d d =
∴
2d d 21===AC
AB
AB AC E E σσ 且 1σ+2σS
q A
=
得 ,32S q A =
σ S
q A 321=σ 而 711023
2
-⨯-=-
=-=A C q S q σC C
10172-⨯-=-=S q B σ
(2) 30
1
103.2d d ⨯==
=AC AC AC A E U εσV 7-3 两个半径分别为1R 与2R (1R ＜2R )的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+q ,试计算:
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;
*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.
解: (1)内球带电q +;球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +,且均匀分布,其电势
题7-3图
⎰
⎰
∞
∞==⋅=2
2
02
0π4π4d d R R R q
r
r q r E U εε (2)外壳接地时,外表面电荷q +入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q -.
所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生:
0π4π42
02
0=-
=
R q R q U εε
(3)设此时内球壳带电量为q ';则外壳内表面带电量为q '-,外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
0π4'
π4'π4'2
02
01
0=+-+
-
=
R q q R q R q U A εεε
得 q R R q 2
1
=' 外球壳上电势
()2
2
021202
02
0π4π4'π4'π4'R q
R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+
-
=
7-4 半径为R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为
R d 3=处有一点电荷+q ,试求:金属球上的感应电荷的电量.
解: 如题8-24图所示,设金属球感应电荷为q ',则球接地时电势0=O U
7-4图
由电势叠加原理有:
=
O U 03π4π4'00=+R
q
R q εε
得 -
='q 3
q 7-5有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为0F .试求:
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力;
(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力.
解: 由题意知 2
02
0π4r
q F ε=
(1)小球3接触小球1后,小球3与小球1均带电
2
q q =
', 小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电
q q 4
3=''
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
00220183π483π4"'2
F r
q
r q q F =-=εε (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后,每个小球带电量均为
3
2q
、
∴ 小球1、2间的作用力002
9
4
π432322F r q
q F ==ε
7-6如题7-6图所示,一平行板电容器两极板面积都就是S,相距为d ,分别维持
电势A U =U ,B U =0不变.现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间,片的面积也就是S,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势. 解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为
1σ,2σ,3σ,4σ,5σ,6σ如图所示.由静电平衡条件,电荷守恒定律及维持
U U AB =可得以下6个方程
题7-6图
⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++++==+=+-==+=+===+6
543215432
0654
30021
00
1σσσσσσσσσσεσσσσεσσd U
S q S q
d
U U C S S q B A 解得 S
q
261==σσ
S
q d U
2032-=
-=εσσ S
q d
U
2054+
=
-=εσσ
所以CB 间电场 S q
d U E 00
422εεσ+==
)2d (212d 02
S
q U E U U CB C ε+=== 注意:因为C 片带电,所以2U U C ≠
,若C 片不带电,显然2
U U C = 7-7 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为r ε,金属球带电Q .试求: (1)电介质内、外的场强;
(2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势.
解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r
r
Q E r r Q D r εε ==内; 介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r
r Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势
r
Q
E U 0r
π4r d ε=
⋅=⎰
∞
外 介质内)(21R r R <<电势
r
d r d ⋅+⋅=⎰⎰
∞∞
r
r
E E U 外内
2020π4)11(π4R Q R r q
r εεε+-=
)1
1(π42
0R r Q
r r -+=
εεε
(3)金属球的电势
r d r d 2
2
1 ⋅+⋅=⎰⎰
∞R R R E E U 外内
⎰
⎰∞
+=22
2
20π44πdr R R R
r r Qdr
r Q εεε
)11(
π42
10R R Q
r r
-+=
εεε 7-8如题7-8图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质.试求:在有电介质部分与无电介质部分极板上自由电荷面密度的比
值.
解: 如题7-8图所示,充满电介质部分场强为2E ,真空部分场强为1E
,自由
电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D
得
11σ=D ,22σ=D
而 101E D ε=,202E D r εε=
d
21U E E =
= ∴
r D D εσσ==1
2
12
题7-8图
7-9 金属球壳A 与B 的中心相距为r ,A 与B 原来都不带电.现在A 的中心
放一点电荷1q ,在B 的中心放一点电荷2q ,如题8-30图所示.试求: (1) 1q 对2q 作用的库仑力,2q 有无加速度;
(2)去掉金属壳B ,求1q 作用在2q 上的库仑力,此时2q 有无加速度. 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律,即
2
2
10π41r q q F ε=
但2q 处于金属球壳中心,它受合力．．为零,没有加速度. (2)去掉金属壳B ,1q 作用在2q 上的库仑力仍就是2
2
10π41r q q F ε=
,但此时
2q 受合力不为零,有加速度.
题7-9图
7-10 半径为1R =2.0cm 的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 与3R =5.0cm,当内球带电荷Q =3、0×10-8
C 时,求:
(1)整个电场储存的能量; (2)此电容器的电容值.
解: 如图,内球带电Q ,外球壳内表面带电Q -,外表面带电Q
题7-10图
(1)在1R r <与32R r R <<区域
0=E
在21R r R <<时 301π4r r
Q E ε
=
3R r >时 3
02π4r r
Q E ε
=
∴在21R r R <<区域
⎰
=2
1
d π4)π4(21222001R R r r r
Q W εε ⎰
-==2
1
)1
1(π8π8d 2
102202R R R R Q r r Q εε
在3R r >区域
⎰∞
==323022
20021π8d π4)π4(21R R Q r r r
Q W εεε ∴ 总能量 )1
11(π83
210221R R R Q W W W +-=+=ε
41082.1-⨯=J
(2)电容器电容 )1
1/(π42210
2
R R Q W C -==
ε 121049.4-⨯=F。