三角函数的平移与伸缩变换

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三角函数的基本变换

三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。

本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。

一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。

对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。

1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。

当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。

平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。

2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。

当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。

当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。

3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。

当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。

二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。

余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。

1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。

当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。

2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。

当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。

当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。

3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。

三角函数中的平移与伸缩变换

三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。

本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。

一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。

在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。

1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。

与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。

与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。

在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。

1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。

纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。

横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。

2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。

三角函数的图象变换与性质

三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。

接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。

平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。

伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。

翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。

通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。

正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。

余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。

正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。

正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。

它们的图象可以通过适当的变换得到。

例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

三角函数图象的平移和伸缩

3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解：有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。

三角函数的伸缩变换与平移变换

三角函数的伸缩变换与平移变换嘿，你们知道吗，三角函数其实还挺有意思的呢。

它们可以通过
伸缩变换和平移变换，变得更加灵活多变。

就好比我们平时的生活一样，有时候也需要做些变化才能更加精彩呢。

哎呀，伸缩变换就是把三角函数的图像按照一定的比例进行伸缩，就好像我们自己的身高一样。

有时候我们想变得更高更远一些，就需
要做一下伸缩变换嘛。

这样一来，三角函数的图像就可以变得更高或
者更矮，更宽或者更窄了。

咦，平移变换和伸缩变换不太一样哦。

它是把三角函数的图像沿
着坐标轴水平或者垂直方向进行移动，就好像我们在空间中移动一样。

有时候我们想要到达不同的地方，就需要做一下平移变换。

这样一来，三角函数的图像就可以在坐标轴上来回移动了。

唉呦，你们知道吗，这些伸缩变换和平移变换其实也可以帮助我们更好地理解三角函数的特点。

就好像我们在生活中需要不断调整自己的状态一样，三角函数也可以通过这些变换，变得更加灵活和多样化。

嗨，如果你们对三角函数感兴趣的话，不妨也尝试一下图像的变换，也许会有意想不到的收获呢。

就好比我们平时生活中，经历一些变化之后，也会找到更多新的乐趣和意义一样。

三角函数的伸缩平移变换

2014-05课堂内外在三角函数的平移变换中，我们经常会有这样的疑问：（1）函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数y =sin（x+π6）的图象，再把横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？（2）函数y =sin x 的图象横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin2x 的图象，再把图象向左平移π6个单位，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？之所以出现这样的疑问，是没有抓住三角函数y =A sin （ωx +φ）+b 伸缩平移的本质.我们可大致归纳为以下四种变化.一、左右平移四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x ”而不是“φ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向左平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin ［ω（x +m ）+φ］+b 的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向右平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin［ω（x -m ）+φ］+b 的图象.所以函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到的是函数y =sin （x +π6）的图象，函数y =sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到的是函数y =sin ［2（x +π6）］，即y =sin （2x +π6）的图象.二、上下平移四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向上平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b+n ）的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向下平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b-n ）的图象.三、横坐标伸缩两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y =A sin （ωx +φ）+b图象的横坐标变为原来的p 倍，得到的是函数y =A sin （ωp x +φ）+b的图象.四、纵坐标伸缩两个字“正比”，注意变化的位置是“A ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 图象的纵坐标变为原来的q 倍，得到的是函数y =qA sin （ωx +φ）+b 的图象.例1.把y =sin （x+π3）横坐标缩短为原来的12，得到的图象，再把图象向右平移π6个单位，得到的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到的图象.分析：变换如下：y =sin （x+π3→y =sin （2x+π3）→y =sin ［2（x -π6）+π3］，即y =sin2x →y =12sin2x .例2.把函数y =A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0）的图象向左平移π3个单位，再使其图象上每个点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到的图象对应的函数为y =2sin （2x-π3，则原函数的解析式为（）A.y =2sin （23x-π9）B.y =2sin （23x-2π3）C.y =2sin （23x-5π9）D.y =2sin （6x-7π3）分析：从正面分析，因含有未知数，较为复杂，我们可从反面入手：由y =2sin （2x-π3）变换到原函数y =A sin （ωx +φ），把变换顺序逆过去：先把横坐标伸长为原来的3倍，再把图象向右平移π3个单位.变换如下：y =2sin （2x-π3）→y =2sin （23x-π3）→y =2sin ［23（x-π3）-π3］，即y =2sin （23x-5π9），故选C.（作者单位山东省淄博第四中学）•编辑韩晓三角函数的伸缩平移变换文/张强对陶渊明有了一些了解，知道他洁身自好、与众不同的特点。

三角函数的变换与性质

三角函数的变换与性质三角函数是数学中常见的一类函数，它们在数学和物理等领域有着重要的应用。

本文将介绍三角函数的变换与性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数的变换与性质正弦函数可以表示为f(x) = sin(x)，其图像是一个周期性的波形。

正弦函数的变换包括平移、伸缩和翻转等操作。

1. 平移：当正弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。

例如，f(x) = sin(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。

2. 伸缩：当正弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。

若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。

3. 翻转：当正弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。

即f(x) = sin(-x)的图像将关于y轴对称。

正弦函数的性质有：1. 周期性：正弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。

即sin(x + 2π) = sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即f(-x) = - f(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称。

二、余弦函数的变换与性质余弦函数可以表示为f(x) = cos(x)，它与正弦函数是相互关联的。

余弦函数的变换与正弦函数类似，也包括平移、伸缩和翻转等操作。

1. 平移：当余弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。

例如，f(x) = cos(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。

2. 伸缩：当余弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。

若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。

3. 翻转：当余弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。

即f(x) = cos(-x)的图像将关于y轴对称。

余弦函数的性质有：1. 周期性：余弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。

即cos(x + 2π) = cos(x)。

三角函数图象的平移伸缩变换问题

三角函数图象的平移伸缩变换问题
【典例】(2015·青岛模拟)把函数y=sin(3x- )的图象向左平移 4 3
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标
不变),则所得函数的解析式为(
A.y=sin(6x+ )
12 C.y=sin( 3 x+ ) 12 2
)
4
B.y=sin(6x+ 3 )
D.y=sin( 3 x 3 )
2 4
【解题过程】
【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？提示：解题过程中没能正确理解左右平移的实质，平移后误得函数解析式为y=sin(3x+ )；另外对横向的伸缩变换理解不到位，误得函
12
数解析式为y=sin(6x+
). 12
【规避策略】正确理解函数图象的平移变换和伸缩变换 (1)图象的左右平移是针对单个x而言的. (2)图象的伸缩变换，在变换中纵坐标不变，横坐标伸长，周期变大， x的系数缩小，反之，横坐标缩短，周期变小，x的系数扩大，即横坐标变为原来的ω 倍，则x的系数相应变为原来的
1 .
【自我矫正】选D.把函数y=sin(3x- )的图象向左平移个单位长
度，可得y=sin[3(x+ )- ]的图象， 4 即函数解析式为y=sin(3x+ 3 )， 4 3 4 3
再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可得y=sin( 3 x 3 )的图象.
即所得函数的解析式为y=sin( 3 x 3 ).
2 4 2 4

三角函数的平移与伸缩

三角函数的平移与伸缩三角函数在数学中占据着重要的地位，其在几何、物理、工程等各个领域都有广泛的应用。

而三角函数的平移与伸缩是对原本的函数图像进行操作，使其在坐标系中发生移动和变形。

本文将探讨三角函数的平移与伸缩，以及其对函数图像的影响。

1. 平移变换平移是指将函数图像沿着坐标系的横轴或纵轴方向进行移动。

对于正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)，平移操作可以通过改变自变量x发生。

如果横轴上的平移量为a，那么正弦函数的平移变换可以表示为y = sin(x - a)，余弦函数的平移变换可以表示为y = cos(x - a)。

这样，原本位于x轴上的函数图像将平移至新的位置。

2. 伸缩变换伸缩是指通过改变函数图像在坐标系中的大小和形状来实现。

伸缩操作可以通过改变函数的自变量或因变量进行。

对于正弦函数和余弦函数，分别称为sine函数和cosine函数，它们的伸缩变换形式可以表示为y = A*sin(Bx)和y = A*cos(Bx)。

其中，A和B分别代表着振幅和周期。

振幅A决定了函数图像在纵向上的幅度，而周期B则决定了函数图像在横向上的重复性。

当A增大时，函数图像的“峰”和“谷”之间的距离增大，振幅变大；反之，当A 减小时，振幅变小。

当B增大时，函数图像在横轴方向上的周期变长，每个周期内包含更多的“峰”和“谷”；反之，当B减小时，周期变短，每个周期内的“峰”和“谷”减少。

综合平移和伸缩，我们可以得到更加复杂的三角函数的变换。

例如对于正弦函数y = sin(x)进行平移和伸缩的组合操作，可以表示为y =A*sin(B(x - C)) + D。

其中C为平移量，A为伸缩因子，D为上下方向的平移量。

同样地，对于余弦函数也可以进行类似的操作。

三角函数的平移与伸缩在实际应用中起到了重要的作用。

它们能够改变函数图像在坐标系中的位置和形状，进而影响到相关问题的解决。

例如在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性现象，如电磁波的传播及机械振动等。

三角函数的平移伸缩变换

三角函数的平移伸缩变换
三角函数可以通过平移、伸缩来进行变换。

平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。

伸缩指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向拉伸或缩小。

以正弦函数为例，设其图像为y=sin(x)，则有以下几种变换：
1. 平移
平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。

这种变换可以用一个参数来表示，记为h和k。

其中h表示横向平移的距离，k表示纵向平移的距离。

平移后的函数为y=sin(x-h)+k。

2. 垂直伸缩
垂直伸缩指的是将函数图像沿着纵轴方向拉伸或缩小。

这种变换可以用一个参数来表示，记为a。

垂直伸缩后的函数为y=a*sin(x)。

当a>1时，函数图像沿着纵轴方向被拉伸，函数的振幅增大；当0<a<1时，函
数图像沿着纵轴方向被缩小，函数的振幅减小。

3. 水平伸缩
水平伸缩指的是将函数图像沿着横轴方向拉伸或缩小。

这种变换可以用一个参数来表示，记为b。

水平伸缩后的函数为y=sin(b*x)。

当b>1时，函数图像沿着横轴方向被缩短，函数的周期变小；当0<b<1时，函数图像沿着横轴方向被拉长，函数的周期变大。

4. 综合变换
完整的三角函数平移伸缩变换包含了垂直伸缩、水平伸缩、横向平移、纵向平移四种变换。

对于正弦函数而言，其综合变换的表达式为：
y=a*sin(b*(x-h))+k
其中，a表示垂直伸缩的参数，b表示水平伸缩的参数，h和k表示横向和纵向平移的参数。

三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧

三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。

其中，像变换是指通过对三角函数的参数进行调整来改变函数图像在坐标平面上的位置、形状和大小。

本文将介绍一些利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧。

一、平移变换平移变换是指通过改变三角函数的参数来移动函数图像在坐标平面上的位置。

对于正弦函数sin(x)而言，平移变换可以通过改变函数参数中的常数项实现。

具体来说，对于函数y = A*sin(x - B)，其中A和B 分别表示振幅和相位角，改变相位角B可以实现图像在水平方向上的平移。

当B为正时，图像向右移动；当B为负时，图像向左移动。

例如，在处理图像变换问题时，常常需要将函数图像沿x轴或y轴平移一定距离。

可以通过调整三角函数的相位角来实现。

如果需要将函数y = sin(x)向右平移2个单位，可以通过改变函数参数为y = sin(x - 2)来实现。

同样地，如果需要将函数y = cos(x)向上平移3个单位，可以通过改变函数参数为y = 3 + cos(x)来实现。

二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的形状和大小。

对于正弦函数sin(x)而言，伸缩变换可以通过改变函数参数中的振幅A和频率k来实现。

具体来说，通过改变振幅A，可以改变函数图像的纵向拉伸或压缩；而通过改变频率k，可以改变函数图像的横向拉伸或压缩。

例如，在图像处理中，常常需要将函数图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。

可以通过调整三角函数的振幅A和频率k来实现。

如果需要将函数y = sin(x)在x轴方向上拉伸为原来的两倍，可以通过改变函数参数为y = sin(2x)来实现。

同样地，如果需要将函数y = cos(x)在y 轴方向上压缩为原来的一半，可以通过改变函数参数为y = 0.5*cos(x)来实现。

三、翻折变换翻折变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的对称性。

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩河北张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

高中三角函数的像变换

高中三角函数的像变换三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。

在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

一、平移变换平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。

对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。

1. 水平平移水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。

数学上，水平平移的量可以用常数c表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位；- 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位；- 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。

2. 垂直平移垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。

数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位；- 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位；- 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。

二、伸缩变换伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。

对于三角函数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。

1. 水平伸缩水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。

数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压。

2. 垂直伸缩垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和大小。

三角函数的平移与伸缩变换_整理

函数)sin(A ϕω+=x y 的图像之阳早格格创做（1）物理意思：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振荡量时，A 称为振幅，T =ωπ2，1fT=称为频次，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相.（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像取sin y x =图像间的闭系：① 函数sin y x =的图像纵坐标没有变，横坐标背左（ϕ>0）或者背左（ϕ<0）仄移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标没有变，横坐标形成本去的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标没有变，纵坐标形成本去的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标没有变，纵坐标进取（0k >）或者背下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像.要特天注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则背左或者背左仄移应仄移||ϕω个单位.ϕ对付)sin(ϕ+=x y 图像的做用普遍天，函数)sin(ϕ+=x y 的图像不妨瞅干是把正弦函数直线上所有的面背____(当ϕ>0时)或者背______(当ϕ<0时)仄移ϕ个单位少度得到的注意：安排仄移时不妨简述成“______________”ω对付x y ωsin =图像的做用函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像不妨瞅成是把正弦函数上所有的面的横坐标______)1(>ω或者_______)10(<<ω到本去的ω1倍（纵坐标没有变）.A 对付x y sin A =的做用函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像不妨瞅成是把正弦函数上所有的面的纵坐标_______)1A (>或者_______)1A 0(<<到本去的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变更先仄移后伸缩：先伸缩后仄移：【典型例题】例1 将sin y x =的图象何如变更得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．训练：将x y cos =的图象何如变更得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．例2、把)342cos(3π+=x y 做如下变更：（1）背左仄移2π个单位少度；（2）纵坐标没有变，横坐标形成本去的31；（3）横坐标没有变，纵坐标形成本去的43；（4）进取仄移1.5个单位少度，则所得函数剖析式为________.训练：将2)542sin(2++=πx y 干下列变更：（1）背左仄移2π个单位少度；（2）横坐标收缩为本去的一半，纵坐标没有变；（3）纵坐标伸少为本去的4倍，横坐标没有变；（4）沿y 轴正目标仄移1个单位，末尾得到的函数._________)(==x f y例3、把)(x f y =做如下变更：（1）横坐标伸少为本去的1.5倍，纵坐标没有变；（2）背左仄移3π个单位少度；（3）纵坐标形成本去的53，横坐标没有变；（4）沿y 轴背目标仄移2个单位，末尾得到函数),423sin(43π+=x y 供).(x f y =训练1：将)48sin(4ππ+=x y 做何变更不妨得到.sin x y = 训练2：对付于)536sin(3x y +=π做何变更不妨得到.sin x y = 例4、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象背左仄移3π个单位少度，所得直线的一部分图象如图所示，则（） A.6,1πϑω== B.6,1πϑω-==C.3,2πϑω== D.3,2πϑω-==训练：7、左图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω正在区间)65,6(ππ-上的图象，只消将（1）x y sin =的图象通过何如的变更？（2）x y 2cos =的图象通过何如的变更？【课堂训练】x6象（）A 、背左仄移6π B 、背左仄移18π C 、背左仄移6π D 、背左仄移18π2、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A 、背左仄移5π12个少度单位B 、背左仄移5π12个少度单位C 、背左仄移5π6个少度单位D 、背左仄移5π6个少度单位3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）A 、背左仄移π6个单位B 、背左仄移π3个单位C 、背左仄移π3个单位D 、背左仄移π6个单位4、为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，不妨将函数x y 2cos =的图象（）A 、背左仄移6π个单位少度B 、背左仄移3π个单位少度C 、背左仄移6π个单位少度 D 、背左仄移3π个单位少度5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有面背左仄止移动3π个单位少度，再把所得图象上所有面的横坐标收缩到本去的12倍（纵坐标没有变），得到的图象所表示的函数是（）A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈ B 、sin()26x y π=+，x R ∈C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈ D 、sin(2)32y x π=+，x R ∈36的图像（）A 、背左仄移4π个少度单位 B 、背左仄移4π个少度单位C 、背左仄移2π个少度单位 D 、背左仄移2π个少度单位7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只消将()y f x =的图象（）A 、背左仄移8π个单位少度 B 、背左仄移8π个单位少度C 、背左仄移4π个单位少度 D 、背左仄移4π个单位少度8.将函数y=sinx 的图象背左仄移ϕ(0≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（）A ．6π B ．56π C.76πD.116π博练：1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象背左仄移4π个单位,再进取仄移1个单位,所得图象的函数剖析式是( ). A.cos 2y x = B.12cos +=x y C.)42sin(1π++=x yD.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只消将()y f x =的图象A 背左仄移8π个单位少度 B 背左仄移8π个单位少度C 背左仄移4π个单位少度 D 背左仄移4π个单位少度3．（09山东）要得到函数sin y x=的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）A 、背左仄移π6个单位B 、背左仄移π3个单位C 、背左仄移π3个单位D 、背左仄移π6个单位4．（10江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的面A 、背左仄移6π个单位少度，再把所得各面的横坐标收缩到本去的31倍（纵坐标没有变）B 、背左仄移6π个单位少度，再把所得各面的横坐标收缩到本去的31倍（纵坐标没有变）C 、背左仄移6π个单位少度，再把所得各面的横坐标伸少到本去的3倍（纵坐标没有变）D 、背左仄移6π个单位少度，再把所得各面的横坐标伸少到本去的3倍（纵坐标没有变）5、（2010世界卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、背左仄移4π个少度单位 B 、背左仄移4π个少度单位C 、背左仄移2π个少度单位 D 、背左仄移2π个少度单位6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像背左仄移43π个单位后取本图像沉合，则ω的最小值是A 、23B 、43C 、 32D 、3。