常用逻辑用语总复习绝对经典

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

2.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.

一个关系

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

两类否定

1．含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．

(2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．

三条规律

(1)对于“p∧q”命题：一假则假；

(2)对“p∨q”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()．

A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1

C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1

解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．

答案 C

2．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则()．

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

C．¬p是真命题D．¬q是真命题

解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．

答案 D

3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则()．

A．“p或q”为假B．“p且q”为真

C．p真q假D．p假q真

答案 D

4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是

()．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假

答案 C

5．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是

______________________．

答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3

考向一含有逻辑联结词命题真假的判断

【例1】►(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()．

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．

解析可判断p1为真，p2为假；则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．

答案 C

“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题的真假．

【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝

5

2；命题q：∀x∈R，都有x

2＋x＋

1＞0.给出下列结论

①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；

③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的是()．

A．②③B．②④

C．③④D．①②③

解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C

考向二全称命题与特称命题【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∀x∈R，x2－x＋1

4≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.

[审题视点] 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假． 解 (1)¬p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． (2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题

和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【训练2】 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根； (2)q ：有些合数是偶数； (3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.

解 (1)¬p ：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题． (2)¬q ：每一个合数都不是偶数，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．

考向三 根据命题的真假，求参数的取值范围

【例3】►(2012·浙大附中月考)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．

[审题视点] 先解不等式将命题p 与命题q 具体化，然后根据“p 或q ”与“p 且q ”的条件可以知道命题p 与命题q 一真一假，从而求出m 的取值范围． 解 由p 得：⎩

⎨⎧

Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2.

由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0， 则1＜m ＜3.

又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假．