高二上学期期中试题

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江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题

江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．13y x=±3．如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ等于（）A ．112233a b c++ B ．112233a b c--C ．112233a b c-++D ．121233a b c-++4．在数列{}n a =，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+5．已知空间向量3,2a b == ，且2a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．aB ．29aC ．92aD 6．计算1098210223233+⨯+⨯+⋅⋅⋅+=（）A ．111132-B ．111132+C ．1131-D ．1121-7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(3,1)A 在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，且ABF △周长的最小值为4p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ）A ．⎛ ⎝⎦B ．2]-C ．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1]-二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．若直线l 的方程10x ++=，则直线l 的倾斜角为2π3B ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x，y 不全为0），则曲线C 的周长为C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S S =，且1(1)n n n S nS ++<()n *∈N ，则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．10S 和11S 均为n S 的最小值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m mS S =11．已知抛物线28y x =（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆22(2)4x y -+=于A ，C ，D ，B 四点，则（）A ．12OA OB ⋅=-B ．4AC BD ⋅=C ．当直线l1283AB AF ⋅=D ．418AF BF +≥三、填空题12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =.13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为．14．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且()11222nn n n S S S n +-+=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为.四、解答题15．已知圆C 经过两点()2,2A --，()6,2B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,4P --作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．16．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .17．抛物线22(0)y px p =>被直线23y x =-截得的弦的中点M 的纵坐标为1．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．对于*N n ∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列1，2m ，21m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列是否为“K 数列”，并说明理由．。

河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．三点()2,2A ，()5,1B ，(),4C m 在同一条直线上，则m 的值为（）A ．2B ．4C ．2-D ．4-2．若点()1,1P 在圆22222240x y mx my m m +-++-=的外部，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．()()0,22,+∞U 3．如图，直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，则（）A ．1234k k k k <<<B ．2134k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2143k k k k <<<4．已知动圆过点()1,0A -，并且在圆22:(1)16B x y -+=内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A ．22132x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5．已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y mx y n ++-+=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则m n +=（）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1AB =，PA ⊥平面ABCD ，且E 为PC的中点，则AE CD ⋅=（）A ．13B ．12C ．13-D ．12-7．已知点(),P x y 为直线0x y +=上的动点n =则n 的最小值为（）A ．5B ．6CD 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M 与两定点()()0,0,2,0O A 的2时，则直线:1l x =-被动点M 所形成的轨迹截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v，且()1,1,2u =- ，()6,4,1v =- ，则αβ⊥B ．若直线l 的方向向量为()0,4,0e =，平面α的法向量为()3,0,2n =- ，则直线//l αC ．若对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线10．直线l 经过点()1,3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A ．30x y -=B ．30x y +=C ．40x y +-=D ．20x y -+=11．下列结论正确的是（）A ．已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，直线m 的方程是2(0)ax by r r +=>，则m 与圆相交B ．直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交C ．若直线:230l kx y k +--=平分圆22:(1)9C x y +-=的周长，则1k =-D ．若圆222:(4)(4)(1)M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()3,6三、填空题12．平面内，已知两点()13,0F -，()23,0F 及动点M ，若直线1MF ，2MF 的斜率之积是3-，则点M 的轨迹方程为．13．已知圆22:(1)(3)8M x y -++=与圆22:(3)(1)8N x y ++-=，则圆M 和圆N 的一条公切线的方程为.14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足1AQ AA AB AD μ=++，其中[]0,2λ∈，[]0,2μ∈当μ=时，DP BQ ⊥．四、解答题15．已知ABC V 的顶点()3,2A -，若AB 边上的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BN 所在直线方程为530x y +-=．(1)求顶点B 的坐标；(2)求直线BC 的方程．16．已知()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，O 为坐标原点，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．17．已知椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．(1)当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠的大小；(2)直线()2y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若AB =，求k 的值．18．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC BP ===，2AE ED =.(1)在PC 上找一点F ，使得//EF 平面ABP ；(2)在（1）的条件下，求平面ADF 与平面ABCD 夹角的余弦值.19．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的动点，()3,0N -，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．。

浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案

镇海2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（）A.11B.13C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n 项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为d ，则3111215S a a d a d =++++=，即6315d +=，解得3d =，则4132911a a d =+=+=.故选：A.2.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（）A .1B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于m 的等式，即可得解.【详解】对于抛物线24y x =，24p =，可得2p =，12p=，故该抛物线的焦点为()10F ,，由题意可知，椭圆的右焦点为()10F ,，则22221c a b m =-=-=，解得3m =，故选：B.3.若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A.2x y =B.2y x= C.24x y= D.24y x=【答案】D 【解析】【分析】分析可知点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，即可得解.【详解】因为点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，所以，点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22y px =，则12p=，可得2p =，故点P 的轨迹方程为24y x =.故选：D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（）A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C 【解析】【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可【详解】1234561,4,2,1,4,2,a a a a a a ====== ,可知数列{}n a 是以3为周期的数列，因为202423674-=⨯，所以()2024674142144723S =⨯++++=，故选：C5.已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（）A.()()0f x g x ''+>B.()()0f xg x ''->C.()()0f x g x ''> D.()()0f x g x ''>【答案】B 【解析】【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当0x <时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，又当0x >时，()0f x '>；所以当0x <时，()0f x '>；因为函数()g x 是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；又当0x >时，()0g x '>；所以当0x <时，()0g x '<；而当()()g x f x ''>时，()()0f x g x ''+<，故A 错；由()0g x '<，则()0g x '->，又()0f x '>，所以()()0f x g x ''->，故B 对；()(),f x g x ''异号，所以()()0f x g x ''<，()()0f x g x ''<，故CD 错；故选：B6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（）A.43k ≥-B.1k ≤- C.1k ≤ D.43k ≤-【答案】D 【解析】【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可【详解】由()211kx f x x +=+，得()()22221kx x k f x x --++'=，又()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以′≥0在[)2,+∞上恒成立，即220kx x k +-≤在[)2,+∞上恒成立，即21k x x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需求出21x x-的最小值即可，又1t x x =-在[)2,+∞单调递减，所以32t ≤-，则2103t -≤<，所以4203t-≤<，故43k ≤-.故选：D7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A【解析】【分析】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，利用导数分析函数()f x 在()1,+∞上的单调性，可得出()2023a f =，()2024b f =，()2025c f =，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，当1x >时，11x x +>>，()ln 1ln 0x x +>>，由不等式的性质可得()()1ln 1ln x x x x ++>，()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 110ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x +--+++'==<+⋅，所以，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，因为()2023ln 2024log 20242023ln 2023a f ===，()2024ln 2025log 20252024ln 2024b f ===，()2025ln 2026log 20262025ln 2025c f ===，所以，()()()202320242025f f f >>，即a b c >>，故选：A.8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（）A.4336- B.4339- C.42339- D.4333-【答案】B 【解析】【分析】以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，推导出92cos PF θ=-，同理可得出92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后利用三角恒等变换化简可得出123FP FQ FR++的最小值.【详解】在椭圆C 中，6a =，b =3c =，如下图所示：椭圆的左准线为212a x c=-=-，以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，当π02θ<<时，过点P 作PN l ⊥，过点F 作FM PN ^，垂足分别为点N 、M ，易知四边形EFMN 为矩形，则21239a MN EF c c==-=-=，由椭圆第二定义可得12PF e PN==，则2PN PF =，又因为//PN x 轴，则FPN θ∠=，所以，cos PM PFθ=，所以，cos PM PF θ=，因为PN PM MN =+，即2cos 9PF PF θ=+，所以，92cos PF θ=-，同理可知，当θ为任意角时，等式92cos PF θ=-仍然成立，同理可得92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因此，2π4π42cos 63cos 1232cos 33999FP FQ FR θθθ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++=++412π4πcos 2cos 3cos 3933θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦413cos cos cos 3922θθθθθ⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭4134πsin cos 3922393θθθ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故123FP FQ FR ++的最小值为4339-.故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.1y x =，21y x'=- B.2x y =，2ln2x y '=C.ln y x =，1y x'=D.cos2y x =，sin2y x=-'【答案】ABC 【解析】【分析】对于ABC ，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D ，由复合函数的求导法则即可求出函数cos2y x =的导函数，从而得解.【详解】对于A ，1y x =，则21y x'=-，故A 正确；对于B ，2x y =，则2ln2x y '=，故B 正确；对于C ，ln y x =，则1y x'=，故C 正确；对于D ，cos2y x =，则()22sin 2sin2x x y =⨯=--'，故D 错误.故选：ABC.10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（）A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关【答案】BCD 【解析】【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B 选项；求出M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可判断C 选项；利用点差法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示：抛物线的焦点为()10F ,，准线为:1l x =-，设点A 在直线l 上的射影点为D ，由抛物线的定义可得AD AF =，则AB AF AB AD +=+，当且仅当A 、B 、D 三点共线时，即当BD l ⊥时，AB AF +取最小值314+=，A 错；对于B 选项，若直线l 过焦点F ，则122=++MN x x ，线段MN 的中点E 到直线l 的距离为1212x x d +=+，所以，2MN d =，因此，以MN 为直径的圆与1x =-相切，B 对；对于C 选项，当MN OF ⊥时，直线MN 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，不妨取()1,2M 、()1,2N -，则OM ON ==，此时，5OM ON ⋅=，C 对；对于D 选项，线段MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，由题意可得12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以，121212004422MN y y k x x y y y y -====-+，D 对.故选：BCD.11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（）A .1050a > B.20500a < C.10100a < D.20500a >【答案】AD 【解析】【分析】根据数列的递推关系可判断各项的取值范围.【详解】由题意得，数列{}n a 为递增数列.n *∀∈N ，21n n n a a a ++>+，11a =，22a =，所以，3213a a a >+=，4325a a a >+>，5438a a a >+>，65413a a a >+>，76521a a a >+>，87634a a a >+>，98755a a a >+>，109889a a a >+>，11109144a a a >+>，121110233a a a >+>，131211377a a a >+>，141312610a a a >+>，151413987a a a >+>，1615141597a a a >+>，1716152584a a a >+>，1817164181a a a >+>，1918176765a a a >+>，20191810946a a a >+>.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用递推公式逐项求解各项的范围即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1n a +=，11a =，则100a =__________.【答案】110##0.1【解析】【分析】把递推公式变形并判断数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后求出通项即可求得【详解】由1n a +=，得221111n n a a +-=，又11a =，则2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列，所以21nn a =，又1n a +=可得10nn a a +>，又11a =，所以0n a >，得n a =，所以100110a ==，故答案为：11013.已知双曲线22221x y a b-=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】【分析】根据点差法可求,a b 的关系，从而可求离心率.【详解】设1,1,2,2，AB 中点为M ，则23M x =-，故53M y =-，因为2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+-=，所以()()12122225330x x y y a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而1AB k =，故2225033a b -+=，故22222522b a c a ==-，故2c a =，故答案为：214.已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】5a ≤【解析】【分析】就0a >、0a ≤分类讨论，前者再就05,5a a ≤≤>分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【详解】当0a >时，()()15e 55e ,011x x a a f x a a x x x '=+--=+++-->，设()()5e ,011xa g x a x x =++-->，则()()25e 1x a g x x '=-+因为0a >，故()25e 1,xay x y =-+=均为()0,∞+上的增函数，故()g x '在()0,∞+上为增函数，若50a -≥即05a <≤，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，故()g x 在()0,∞+上为增函数，故()()00g x g >=恒成立，故()f x 为()0,∞+上为增函数，故()()00f x f >=恒成立，故05a <≤符合，若50a -<即5a >，此时()050g a '=-<，而)1110g '=->，故存在()01x ∈，使得()00g x '=，且()00,x x ∀∈，()0g x '<即()g x 在()00,x 上为减函数，故()00,x x ∀∈，()()00g x g <=即()f x 在()00,x 上为减函数，故()()00f x f <=，与题设矛盾，当0a ≤时，设()()ln 1,0s x x x x =-+>，则()01xs x x '=>+，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00sx s >=即ln(1)0,0x x x -+>>，设()e 1,0xt x x x =-->，则()e 10xt x '=->，()t x 在()0,∞+上为增函数，故()()00t x t >=即e 10,0x x x -->>，而0a ≤，故()()5e 1ln 10xx a x x ⎡⎤----+>⎣⎦，即()()5e ln 1550xa x a x ++-+->即()0f x >，故()0f x ≥也成立，综上，5a ≤，故答案为：5a ≤.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e xf x x =.（1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.【答案】（1）()min 1ef x =-（2）2e e y x =-【解析】【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，结合单调性可求最小值；（2）求出函数在1x =处的导数后可求切线方程.【小问1详解】()()1e x f x x '=+，当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>，故()f x 在(),1∞--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故()()min 11ef x f =-=-.【小问2详解】由（1）可得()12e f '=，而()1e f =，故切线方程为：()2e 1e 2e e y x x =-+=-，即切线方程为：2e e y x =-.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()12n n a -=--（2）42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题设的递归关系可得212n n a a ++=-，故可得公比，从而可求通项；（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】因为122n n n S S S ++=+，所以12122n n n n S S S S +++-=-，所以212n n a a ++=-，而为等比数列，故公比2q =-，故()12n n a -=--.【小问2详解】()()()1111122nnn n nnn n a ---⋅-⋅⎛⎫==- ⎪⎝⎭--，故012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以01213111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112211322332n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17.已知双曲线22:13y C x -=（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.【答案】（1）y =（2）83-【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点1,1、2,2，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得12λλ+的值.【小问1详解】在双曲线22:13y C x -=中，1a =，b =，所以，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.【小问2详解】由题意可知，直线PQ 的方程为124x y+=，即24y x =-+，且()2,4PQ =- ，设点1,1、2,2，联立222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩，可得216190x x -+=，2164190∆=-⨯>，由韦达定理可得1216x x +=，1219x x =，()112,QA x y =- ，()222,QB x y =- ，且1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，则()()()1112222,42,2,x y x y λλ-=-=-，所以，()()1122222x x λλ-=-=，()()()()()12121212121212242422222224x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++()216424819216493⨯-===--⨯+-.18.已知函数()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，()21e 1x g x x x x=---，其中()f x 在1x =处取得极值（1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意可得()10f '=，可求出m 的值，然后检验即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得出ln 1e xx n x +≤-，利用导数求出函数()ln 1e xx h x x+=-在0,+∞上的最小值，即可得出实数n 的取值范围.【小问1详解】因为()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，则()2112f x mx x x=++'，其中0x >，因为函数()f x 在1x =处取得极值，则()1220f m +'==，解得1m =-，经检验，合乎题意.因此，1m =-.【小问2详解】由（1）可知，()21ln f x x x x=-+-，其中0x >，则()()()23222122111212x x x x x f x x x x x x--++-++=-++=='，由()0f x '=，可得1x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为0,1，减区间为1,+∞.【小问3详解】()()2211e 1ln e ln 1x x g x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----+-=-- ⎪⎝⎭，当0x >时，由()()e ln 1xnx g x f x x x ≤-=--，可得ln 1e xx n x+≤-，令()ln 1e xx h x x +=-，其中0x >，则()()22221ln 1ln e ln e e x x x x x x x x x h x x x x ⋅-++=-=+='，令()2e ln xp x x x =+，其中0x >，则′=2+2e +1>0，所以，函数()p x 在区间0,+∞上单调递增，因为1=e >0，11e2e21e 1e 10e ep -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，存在唯一的1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2e ln 0t t t +=，即111e ln ln tt t t t t=-=，即11e ln e ln t ttt=，令()ln q x x x =，其中1x >，则′=1+ln >0，所以，函数()q x 在1,+∞上为增函数，因为1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则e 1t >，11t >，由11e ln e ln t tt t =，可得()1etq q t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1e tt =，所以，1ln ln tt t ==-，且当0x t <<时，()0p x <，即ℎ′<0，当x t >时，()0p x >，即ℎ′>0，所以，函数ℎ的减区间为()0,t ，增区间为(),t ∞+，所以，()()min ln 111e 1tt th x h t t t t+-==-=-=，则1n ≤，所以，实数n 的取值范围是(],1-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数=的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线=在点0,0处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线=在点1,1处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线=在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；（3()1*1N i i n x n ∑=<<+∈.【答案】（1）132x =；21712x =（2）21122n n n x x x --+=，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干中的1x 为r 的1次近似值和2x 为r 的2次近似值的定义即可求解；（2）求出直线n l 的方程，直接求横截距即可.（3）借助第（22n x <≤，后面再根据此不等式进行放缩得到()2211224n n x x --<-，再进行放缩得12n n x <+，利用不等式的性质和数列分组求和即可【小问1详解】()2f x x '=，()24f '=，()1:242l y x -=-，令0y =，得132x =，332f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以213:342l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0y =，得21712x =，【小问2详解】由题意得，()()2111:22n n n n l y x x x x -----=-，令0y =，得21122n n n x x x --+=【小问3详解】由（2）知，2111121222n n n n n x x x x x ----⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，所以221211444n n n x x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由几何意义易知：2n x <≤，1iinx∑=<，由22nx>得，()222211121141414464424n n n nnx x x xx----⎛⎫⎛⎫=++<++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()221164n nx x-<+，所以()()22210112222444nn n nx x x-⎛⎫-<-<<-=⎪⎝⎭，所以12n nx<<，所以21111122111212nii nnx∑=⎛⎫-⎪⎝⎭<+=+-<+-，()1*1Niinx n∑=<<+∈【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线n l的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到2nx<≤，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理.。

河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试数学含答案

河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题（答案在最后）命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.43.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-= D.22(1)(5)25x y +++=5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +-6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，OP =PF =（）A.4B.6C.8D.107.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.B. C.6 D.128.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆2228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P 的轨迹长度为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．19.已知椭圆M ：22221(3x y a a a +=>-倍.（1）求M 的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与M 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF .（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B 【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】因为直线的方向向量(1,2)v =，所以直线的斜率为2，又直线l 经过点(1,0)P ，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=，故选：B.2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由题意可得20⋅=a b ，代入坐标计算可得答案．【详解】由题意可得()22,2,2b k =-- ，则24420a b k ⋅=--+= ，解之可得4k =.故选：D ．3.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =-”和“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-=D.22(1)(5)25x y +++=【答案】D 【解析】【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C --，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25x y +++=．故选：D ．5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．【详解】点N 为BC 的中点，则有()12ON OB OC =+，所以()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：B.6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，43OP =PF =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设()(),0P m n m ≥，结合3OP =4n =，由焦半径公式得到答案.【详解】抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，设()(),0P m n m ≥，则2228,3,m n m n ⎧=⎪+=，解得4n =或12n =-（舍去），则26PF n =+=．故选：B ．7.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.3B.23C.6D.12【答案】D 【解析】【分析】根据焦点坐标得到c ，再由1260F PF ∠=得到a ，c 的关系求解.【详解】因为椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()123,0,3,0F F -，则3c =，又上顶点为P ，且1260F PF ∠=，所以1sin 302c a =︒=，所以6a =，故长轴长为12.故选：D8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设出直线2PF 的方程，与渐近线的方程联立，求出P 的坐标，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，求出Q 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令()2,0F c ，由对称性，不妨设直线2PF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x c =，2bc y a =-，即点P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，则点Q 的坐标为3,44c bc a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线的方程，有222222911616c b c a a b -=，即222c a =，222c a=，解得e =，所以双曲线C．故选：A二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直【答案】ACD 【解析】【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A ；利用特殊值判断B ；将点的坐标代入方程即可判断C ；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.【详解】对于A：直线330y +-=的斜率33k =-，所以该直线的倾斜角为150︒，故A 正确；对于B ：当0a =，0bc >时，直线cy b=-经过第三象限，故B 错误；对于C ：将()1,2--代入方程，则()2212430y λλ----+-=，即点()1,2--在直线上，故C 正确；对于D ：若两直线垂直，则320a a +=，解得0a =，故D 正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据异面直线的夹角分析求解；对于B ：分析可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，运算求解即可；对于C ：四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D ：根据锥体的体积公式分析判断即可.【详解】对于A ：因为11//AA BB ，在1Rt B BD 中，1BB D ∠就是异面直线所成的角，且1,BD B D ==，则1sin3BB D ∠==，故A 正确；对于B ：连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD ，又因为BD ⊥AO ，1AA AO A ⋂=，1,AA AO ⊂平面1AOA ，可得BD ⊥平面1AOA ，且1AO ⊂平面1AOA ，则BD ⊥1A O ，可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，在1Rt A AO △中，1tan 222A OA a∠==B 错误；对于C ，显然四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径32R a =，所以正方体的外接球体积为3343ππ32V R a ==，故C 正确；对于D ，因为111111A B D D D A B D V V --=，三棱锥1A ABD -的高1AA 与三棱锥111D A B D -的高1DD 相等，底面积111ABD A B D S S =△△，故三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等，故D 正确.故选：ACD .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆22228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a 的范围判断A ，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B ，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C ，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D .【详解】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,0圆2228C :(x a )(y -+-=的圆心为(a，半径为当圆1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-+≤，解得35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=- ，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且ABOP ==，又AB =，所以=，化简得()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0的圆，其周长为长度为，正确.故选：ABD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】将直线1l 的方程可化为68100x y +-=，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】直线1l 的方程可化为68100x y +-=，且直线2l 的方程为6850x y +-=，所以，平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c 的值，可求得12F F 的值，推导出12F PF ∠为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PF PF ⋅的值，再利用三角形的面积公式可求得12PF F 的面积.【详解】如图所示：因为双曲线C 的离心率433c c e a ===，所以4c =，128F F =，设点P 在双曲线的右支上，由1212142OP F F OF OF ====，可得22OPF OF P ∠=∠，11OPF OF P ∠=∠，所以，()121212121π22F PF OPF OPF OPF OPF OF P OF P ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=，由双曲线定义可得126PF PF -=，由勾股定理可得222121264PF PF F F +==，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，可得1214PF PF ⋅=，因此12PF F 的面积为12172S PF PF =⋅=.故答案为：7.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【详解】122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=，①又12,PF PF ⊥222212124PF PF F F c ∴+==②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，2121,2PF PF b ∴⋅=12PF F △的面积为9，1221219,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==> ，3.b ∴=故答案为：3.16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由题意可得：111,222BN BA BD DM BC BD =+=- ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知：1BA BC BD === ，且12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ，因为M 为BC 中点，N 为AD中点，则111,222BN BA BD DM BM BD BC BD =+=-=- ，所以111222BN DM BA BD BC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211114422BA BC BD BC BA BD BD =⋅+⋅-⋅-uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r 1111111142422222=⨯+⨯-⨯-=-.故答案为：12-四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）10x y -+=（2）722【解析】【分析】（1）求出AB 的中点H 的坐标，利用垂直关系得到高CH 所在直线的斜率，得到高CH 所在直线方程；（2）联立两直线得到点C 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题意可知，H 为AB 的中点，()1,3A - ，()2,0B ，13,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．又30112AB k -==---，11CH ABk k ∴=-=．CH ∴所在直线方程为3122y x -=-，即10x y -+=．【小问2详解】由24010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,2C --．又直线AB 方程为()2y x =--，即20x y +-=．∴点C 到直线AB 的距离722d ==．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）2a =-或6-；（2）1x =或512290x y +-=．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【小问1详解】圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ==，解得2a=-或6-；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，直线1x=，与圆C相切，切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x-=-，即20kx y k--+=，2=，解得512k=-，故切线方程为512290x y+-=，综上所述，切线方程为1x=或512290x y+-=．19.已知椭圆M：22221(3x y aa a+=>-倍.（1）求M的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为1,2m⎛⎫⎪⎝⎭，求m.【答案】（1）22163x y+=（2）1m=-【解析】【分析】（1）根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得2a=26a=，所以M的方程为22163x y+=.【小问2详解】由题意得πtan14ABk==.设()11,A x y，()22,B x y，依题意可得12x x≠，且12122,1212x x my y+=⎧⎪⎨+=⨯=⎪⎩，由22112222163163x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()()()12121212063x x x x y y y y-+-++=，则12122121106363y y m m x x -+⨯=+⨯=-，解得1m =-.经检验，点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆M 内.所以1m =-为所求.20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【小问1详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1P C D M N ,()()0,2,2,2,0,0PD CD =-=- ，()0,1,1MN = ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则22020n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1n = ，因为//MN n ，所以MN ⊥平面PCD ；【小问2详解】()()()0,0,2,2,2,0,1,0,0,P C M ()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c =，则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2a =，得()2,1,1m =- ，()0,2,2,PD =- 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则直线PD 与平面PMC所成角的正弦值为：3sin 3PD m PD m θ⋅===⋅ ．21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF.（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）28y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p ，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P 的坐标，设直线PM 和PN 的直线方程与抛物线方程联立，求得点,M N 的坐标，并表示直线MN 的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422p PF ==+，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】因为点P 的横坐标为2，即282y =⨯，解得4y =±，故P 点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM ，PN 不与x 轴平行，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线PM ：()42m y x -=-，即42x my m =-+，代入抛物线的方程得()2842y my m =-+，即2832160y my m -+-=，则148y m +=，故184y m =-，所以()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+，即()2882,84M m m m -+-，设直线PN ：()42m y x --=-，即42x my m =-++，同理可得284y m =--，则()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++，即()2882,84N m m m ++--直线MN 的斜率121216116MN y y m k x x m-===---，所以直线MN 的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM 与PN 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,M N 的坐标.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）11【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质可得四边形1D MPN 是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1NP CC ∥，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11D M CC ∥，则有1D M NP ∥、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1D N MP ∥，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为 =1,1,1、 =2,2,2，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =、20z =，即()1,3,1m = ，()1,1,0n =，则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ ，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = ，则有111BB m m ⋅== ，即点B 到平面1CB M 的距离为11．。

山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

辽宁省辽南协作体2024-2025学年高二上学期期中考试语文试卷(含答案)

2024-2025学年度上学期期中考试高二试题语文考试时间：150 分钟满分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1—5题。

材料一：对现实的关怀反思，对英雄的敬仰崇拜，对人道的追寻布施，对人性的完美塑造……儒家思想十分看重个人的修身养性、品格塑造。

孔子主张以道德治天下，他说：“【A】”要求以仁义之道作为个人生活乃至为政的准则。

但由于各人道德修养的不同、道德境界的差异，就有“君子”与“小人”的区分。

孔子认为，君子的修养有两个部分，一是学习“诗书六艺之文”，二是躬行实践。

“六艺”包含礼、乐、书、数、射、御，孔子尤其看重对“艺”的掌握，并指出仁人君子的成才之道：“兴于诗，立于礼，成于乐。

”君子在志道、据德、依仁之外还要“游于艺”，在游憩观赏娱乐中使身心获得全面自由。

这一思想是孔子对理想人格、自由人格的充分表述，主张人的全面发展，在驾驭客观世界的规律性的同时获得主体的全面解放。

人格是人的精神属性而非生理属性，是人的超动物属性而非动物属性。

只有在食、色之上另有追求，另有坚持，另有作为，才谈得上人格。

儒家提倡的“以仁为人”就是对超越生理需要的精神追求和人格力量的高度抽象。

孔子认为，真正的“君子”必须在“文”“质”之间配合得恰到好处。

他说：“质胜文则野，文胜质则史。

文质彬彬，然后君子。

”所谓“文”，指作为历史成果而保存的物质文明和精神文明，正如司马光说的：“古之所谓文者，乃诗书礼乐之文，升降进退之容，弦歌雅颂之声。

”所谓“质”，指人内在固有的和坚定的伦理品质。

“【B】”因此，孔子认为君子只有“质”还不行，还必须有“文”的形式教养，将外在形式与内在品质高度融合起来，才可能成为真正的“君子”。

孟子对先秦儒家“君子”理念做了进一步延伸，即注重内心修养，发展“仁”的内在机制。

他指出：“【C】”他认为，“君子”应时刻以仁与礼来“反求诸己”“为仁由己”，从精神上把“仁”化为自己的内驱力和社会实践。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为，则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。

河北省沧州市八县联考2024-2025学年高二上学期10月期中考试语文试题(含答案)

2024～2025学年度第一学期高二年级期中考试语文考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教版选择性必修上册第一至二单元、古诗词诵读。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：孔子是个言行一致的人，他不仅注重“言必信，行必果”（《子路》），而且强调“君子欲讷于言而敏于行”（《里仁》）、“君子耻其言而过其行”（《宪问》）。

《论语》虽非孔子亲笔著述，但从弟子记载其话语中，仍能明显感到他是落实自己重视文采主张的力行者。

比喻作为文学的常用修辞法，孔子一出手就技惊四方。

“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共之”（《为政》），以“北辰”比“为政以德”的统治者，以“众星”比诸侯国和大夫，譬喻形象而意蕴丰赡。

“逝者如斯夫，不舍昼夜”（《子罕》）、“岁寒，然后知松柏之后凋也”（《子罕》），前者由感慨河水川流不息而提醒珍惜宝贵时光，后者以松柏后凋景象喻人要经得起严酷环境的考验，言简意赅而启人深思。

“知者乐水，仁者乐山；知者动，仁者静；知者乐，仁者寿”（《雍也》）。

孔子由水的川流灵动，想到智者敏锐聪慧，由山的沉稳安静，想到仁者厚重不迁，设喻奇妙，表意隽永，且气象博大。

孔子擅于比喻，也妙于夸张。

“朝闻道，夕可死矣”（《里仁》），不这样夸饰，怎能凸显他把“闻道”看得比性命还重要！“子在齐闻《韶》，三月不知肉味”（《述而》），这是以婉曲夸张法，将他在齐国痴迷韶乐而难以自拔的情景，传达得惟妙惟肖而意蕴悠长。

“不义而富且贵，于我如浮云”（《述而》），此处的“浮云”，既是比喻又是夸张，把他作为百世圣哲“谋道不谋食”“忧道不忧贫”的高尚情操和洒脱情怀，刻画得栩栩如生又感人至深。

江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

广东省江门市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别：学号：姓名：成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中，，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卡上作答。

第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题(含答案)

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题2024年11月6日说明:本试卷共五道大题，共8页，满分150分，考试时间120分钟;第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.空间直角坐标系中，，则（）A. B. C. D.2.已知直线m ，n ，l ，平面，下列正确的是（）A.若，则与异面B.若，则C.若，则D.若，则3.在四面体中，点是AB 靠近的三等分点，记，则（）A. B.C. D.4.若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为（）A. B. C. D.5.已知直线m ，n ，平面，那么“”是“”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（）D.7.一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（）(1,2,3),(3,0,1)A B --AB = (2,2,4)--(4,2,2)-(2,2,4)-(4,2,2)--,αβ,l P n αα⋂=⊂l n //,m n n α⊂//m α,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂l α⊥,,m n αβαβ⊥⊥⊥m n⊥P ABC -Q B ,,PA a PB b PC c === CQ = 2133c a b -+ 1233c a b -- 2133a b c +- 1233a b c +- π3π2π2π3,//,m n m αα⊂///n α//m αl (1,0,2)m =(0,1,0)A l (1,2,3)B -l 710A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥8.正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形QMN周长的最小值为（）9.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成如图中的多面体，其上部为直三棱柱，，四边形为矩形，平面平面，且平面，平面，则正脊末端与戗脊末端两点间距离为（）A.4C.10.如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图像大致为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11.已知，则_______________.P ABC-π,2,6APB PA Q∠==111,4ABC A B C AB AC BC-===118AA=11EFF E 11//EFF E11BCC B1E E⊂11ABB A1F F⊂11,ACC A BE CF== 1111,C F B E=120,6EE EF==A EA BCD-P(02)AP x x=<<()V x()y V x=(0,2,3),(1,4,6),(2,2,5),(0,,),//A B C D m n AB CDm n+=12.已知平面，直线，给出三个语句:①，②，③.从这三个语句中选取两个做条件，剩下一个做结论，构成一个真命题，该命题是：若_____________，则_____________.（只需填写序号）13.如图，在四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，平面ABCD ，Q 点在四棱锥表面上，且，则PC 与底面ABCD 的夹角为_____________；点所形成的轨迹长度是_____________.14.如图，在正方体内，正方形EFGH 中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为_____________.15.如图，是正方形ABCD 内一动点（不包括边界），平面ABCD 于，，给出下列四个结论:①四棱锥的体积是定值;②设平面PAD 与平面PBC 交于，则;③四棱锥的表面积既有最小值又有最大值;④存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直.其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16.（本小题10分）已知空间四点.,αβn αβ⊥n α⊥//n βP ABCD -2PA AB ==60,DAB PA ︒∠=⊥P ABCD -DQ AC ⊥Q 1111ABCD A B C D-AB =11EFGH BCC B -O PO ⊥,2O AB =1,PO PA PD ==P ABCD -l //l BC P ABCD -O P ABCD -(0,2,3),(1,4,6),(1,2,5),(0,,),A B C D m n AC BD ⊥（I ）求和的值;（II ）若点在平面ABC 内，请直接写出的值.17.（本小题12分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD 为梯形，，其中是BC 的中点，是的中点.（I ）求证:平面;（II ）求平面与平面ABCD 所成角的余弦.18.（本小题13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，平面.（I ）若，求证：平面平面PCD ；（II ）若AD =DC ，PB 中点为，试问在棱CD 上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；（III ）若与平面PBC 成角大小，求DC 边长.第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）||AB AC - n D m 1111ABCD A B C D -//,AB CD CD AD ⊥12,4, 1.AD CD DD AB E ====F 1AA //AE 1CB F 1CB F PA⊥,,ABCD AB AC PD AB AC ⊥===AD DC =PAD ⊥E Q PQ AE ⊥Q 2,PA PD =30︒19.如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.20.如图，正方体的棱长为1，其中P ，Q ，R 分别是棱的中点，则到平面PQR 的距离是（）21.如图1，在矩形ABCD中，，点在AB 边上，且.如图2，将沿直线DE 向上折起至位置，连结.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是（）A.存在某个位置，使B.存在某个位置，使平面平面C.存在某个位置，直线BE 与平面所成角为111ABC A B C -1π,2BAC AB AC AA ∠===1A B 1AC π6π4π3π21111ABCD A B C D -111,,C D AA BC B AD =E CE DE ⊥1AE =ADE V 1A 1AC 1A DE A --θ(0,π)θ∈1DA CE⊥1A DE ⊥1A EC1A DE 60︒D.存在某个位置，使平面与平面的交线与平面DEC 平行22.光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似地展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（）A. B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题纸上的相应位置.）23.直二面角，则______________;三棱锥外接球的体积是_____________.24.已知正方体的棱长为为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点），则的最小值是_____________.25.如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为M ，N ，与地面接触点分别为A ，B ，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若A ，B 两点1A DE 1A BCαβ123,,O O O 12A A 2O 123π3,cos 44A A A ∠=-,2,1P AB Q PA PB AB AQ BQ --=====PQ =P ABQ -1111ABCD A BCD -P 11BB C C Q 11B C 1||AP AD PQ ⋅+ N C间距离为110厘米，车轮外径（直径）为66厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为_____________.26.将半径为1的半圆弧等分，从半径的一个端点出发依次连接各个分点至半径的另一个端点，得到折线，将折线绕半径MN 所在直线旋转，得到旋转体时，如图所示），设所得旋转体的表面积为，给出下列四个结论:①;②;③最大值为；④.其中所有正确结论的序号是___________.27.已知正方体的棱长分别为中点，从开始沿射线DF 运动，做平面，垂足为，给出下列四个结论：5π,12ABC ∠=π,12BAC ∠=NB AB ⊥N AB C --()*2,n n n ≥∈N M N 121n MA A A N - (5n =n S 2S =1n n S S +<n S 4ππ4πcos 2n S n=1111ABCD A B C D -,E F 11,D C BC M D 1B N ⊥1A ME N①平面与平面ABCD 夹角先增大后减小;②B 1N 最大值为4，并且先增大后减小;③存在N 使得；④存在唯一的使得.其中所有正确结论的序号是_____________.28.蜜蜂分泌蜂蜡筑巢，蜂巢由许多中空的柱状体连接而成，其中柱状体的一端为正六边形开口，另一端由三个全等的菱形拼成类似锥形的底部（如图1），蜜蜂这样筑巢能够使得蜂巢空间不变的条件下，所用蜂蜡最少，为了揭开蜜蜂筑巢的数学秘密，研学小组利用正六棱柱去研究中空的柱状体.设正六棱柱底面边长为4，底面中心分别为（如图2），现将延长至，平面PFB ，PBD ，PDF 分别与棱交于M ，N ，T ，得到中空的柱状体（如图3）.（1）比大小：所得中空的柱状体的体积____________原正六棱柱体积；（填“>”，“<”或“=”）（2）当中空的柱状体表面积最小时，PO 的取值是___________.1A ME AN CN =N BN DN ⊥111111ABCDEF A B C D E F -1,O O 1O O P 111,,AA CC EE人大附中20242025学年度第一学期高二年级数学期中练习数学参考答案I 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）（1）C （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B （7）A （8）A （9）D （10）D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.-311.②③,①13.（前空3分，后空2分）15.①、②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）三、解答题（本大题共3小题，共35分.）16.（本题10分）【解】:（1）………………………………………………….……1分且…………………………………………………………………………1分………………………………………………………2分 (2)分………………………………………………..……………1分即………………………………………………………………1分（2）……………………………………………………………………………………2分17.（本题12分）【解】:（1）平面，证明如下:…………………………………………………1分连结，设，由四棱柱，知四边形为平行四边形，所以为中点，又是BC 的中点，π;26+||||,AB AC BC -= (0,2,1)BC =-- ||BC ∴== (1,0,2),(1,4,6)AC BD m n ==--- 0,AC BD AC BD ⊥∴⋅= 1312(6)02n n -+-=∴=9m =//AE 1CB F 1C B 11C B CB O ⋂=11BCC B O 1CB E所以，所以四边形AEOF 为平行四边形，所以…………………………………………………2分又平面平面，所以平面………………………………………2分（2）因为直四棱柱，所以平面ADC ，又，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系…………………………………………………………………………………………………1分因为，所以设平面法向量，则，即………………………2分令则，所以………………………………………………………………1分又平面ACD 法向量………………………………………………………………………………1分设平面与平面ABC 成角为，则分18.（本题13分）【详解】：（1）因为平面平面ABCD ，111//,,//,2OE BB OE BB OE AF OE AF =∴=//AE OF AE ⊂/1,CB F OF ⊂1CB F //AE 1CB F 1DD ⊥CD AD ⊥1,,DA DC DD 12,4,1AD CD DD AB ====1(0,0,2),(2,2,0),(2,4,1)C F B 1(2,2,2),(0,2,1)CF FB =-=1CB F (,,)m x y z = 100m CF m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222020x y z y z +-=⎧⎨+=⎩2z =1,3y x =-=(3,1,2),m =- (0,1,0)n =1CB F θcos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=== PA ⊥,,ABCD AD CD ⊂所以，………1分又，所以…………………………………1分平面PAD所以平面PAD ，………………………………………………………………………………1分又平面PCD ，所以平面平面PCD ……………………………………………………1分（2）因为平面，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系…1分设，则则设，………………………………………………………………………………………………2分假设存在满足，因为等价于，解得，所以不存在……………………………………………………………………………1分（3）因为，所以，，设，其中，则， (1)分,PA AD PACD ⊥⊥PD =,,PD AD CD PD AC==== 222,,,ACAC CD AD AD CD∴==∴=+∴⊥,,,,AD CD PA CD PA AD APA AD ⊥⊥⋂=⊂ CD ⊥CD ⊂PAD ⊥PA ⊥,ABCD AB AC ⊥1PA =1,AD CD AC AB ====1(0,0,1),,2B C P D E ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,[0,1]DQ DC λλ=∈11),1PQ PD DC λλλλ⎛⎫⎫⎫∴=+=-+=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭12AE ⎫=⎪⎪⎭ P PQ AE ⊥PQ AE ⊥0PQ AE ⋅= 2[0,1]λ=∉2PA =2,AD AC AB ===(0,0,2),P B C 2),2)PB PC =-=- (,,0)D a b 0,0a b <>2224AD a b =∴+= (,,2)PD a b =-设平面PBC 法向量，依题意即令则，所以，…………………………………………………………2分因为PD 与平面PBC 成角大小，所以或…………………………………………………………1分此方程组无解综上……………………………………………………………………………………………………1分第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）19.C 20.D 21.D 22.D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（前空3分后空2分）24.26.①②④（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）27.①②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）28.（1）相等（2（前空3分后空2分）(,,)m x y z = 00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩z =1x y ==m =30︒sin 30|cos ,|||||PD m PD m PD m ︒⋅=〈〉= 102a b ∴+=a b +=220||24a b a DC DC a b b ⎧⎧+==⎪⎪∴=∴=⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2DC =4π312。

人教版语文高二上学期期中试卷及解答参考(2024-2025学年)

2024-2025学年人教版语文高二上学期期中模拟试卷(答案在后面)一、现代文阅读Ⅰ（18分）阅读下面的文章，完成1-5题。

《秋日的私语》作者：李华秋天，总是给人以无限的遐想。

在这样的季节里，每一处风景都仿佛被赋予了生命，每一片落叶都有它的故事。

我漫步在这片金黄的世界里，脚下的树叶沙沙作响，像是大地与天空之间的私语。

远处，山峦层叠，色彩斑斓；近处，溪流潺潺，清澈见底。

这一切的一切，都在诉说着秋的故事。

记得小时候，我和小伙伴们最喜欢的就是秋天。

那时候，我们会一起到田野间奔跑，追逐着彼此的身影，在那广阔的天地间尽情嬉戏。

而每当夕阳西下时，我们便围坐在一块大石头旁，听村里的老人讲述那些关于秋天的故事。

那时的快乐是如此纯粹，以至于多年后回忆起来，心中依旧暖洋洋的。

随着年龄的增长，对于秋天的感受也逐渐变得复杂起来。

它不再仅仅是收获的季节，更是一段思考的时间。

每当这个时候，我都会静下心来，回顾过去一年里所经历的事情，计划着未来。

也许是因为天气转凉的缘故吧，人们似乎变得更加敏感细腻起来，更加容易陷入深深的沉思之中。

今年的秋天特别不同寻常。

因为疫情的关系，许多活动都被取消了，人们的生活方式发生了很大改变。

但即便如此，大自然依然按照自己的节奏前进着，给予我们无尽的安慰和希望。

我相信只要我们团结一心，就没有克服不了的困难。

正如这美好的秋季一般，虽然短暂但却充满了生机与活力。

题目设置：1.文章开头提到“每一处风景都仿佛被赋予了生命”，这句话表达了作者怎样的情感？（4分）A. 对自然美景的赞叹B. 对生活变化的感慨C. 对童年记忆的怀念D. 对未来的憧憬2.根据文章内容，“我和小伙伴们”最喜爱秋天的原因是什么？（4分）A. 可以欣赏美丽的秋景B. 能够自由地玩耍C. 听长辈讲故事D. 享受丰收的乐趣3.成长之后，作者对秋天有了哪些新的理解？（6分）A. 秋天只是个收获的季节B. 秋天成为了一段反思过往展望未来的时间C. 秋天让人心情低落D. 秋天意味着结束4.本文最后一段提到了什么特殊背景？这段话想要传达给读者的主要信息是什么？（6分）A. 疫情导致活动减少；强调人类面对挑战时应保持乐观B. 自然界的不可预测性；鼓励人们珍惜眼前的美好C. 社会变革的影响；提醒大家要适应环境的变化D. 季节更替的规律；说明时间流逝的重要性5.请结合全文，简述你从这篇文章中学到了什么。

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。

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表 1 德国鲁尔区煤炭、钢铁工业的变化
煤矿（座）钢铁厂（个）煤矿工人（万人）钢铁工人（万人）
1957 年 140 26 47 30
2005 年 7 4 4
约5
人数（万） 140 120 100 80 60 40 20 0 第一产业
第二产业
第三产业
1970年 2000年
资料三：
图 6 鲁尔区产业人数变化
C．沙尘
30．下列工业区的发展经验可供该地区借鉴的是（
）
A．美国硅谷利新兴工业区
B．沪宁杭工业基地
C．鲁尔区
D．意大
图 8 为“美国农业带分布示意图” 。读图回答第 31 ～ 32 题
31. 从图中可的主要特征是
以看出，美国农业生产布局 ()
A ．农业生产高度机械化
B ．农业生产地区专门化
A ．北疆地区 —— 苹果园、奶业、茶叶 B ．湟水谷地 —— 棉花、奶业生产基地 C．渭河平原 —— 棉花、制糖、番茄、葡萄酒业
D ．云贵地区 —— 烤烟、花卉、药用植物 34.在我国西部大开发的过程中，应该
A ．向西部大规模移民，以减轻东部的环境压力
B ．在西部大范围垦荒，兴建大型商品粮基地
C ．把发展经济放在首位，加速开发西部的石油、天然气资源，并向东部输送
20 世纪 60 年代以来，由于地理环境的变化，特别是石油、天然气和核电的广泛使用，
导致对煤炭的需求不断所减少；随着高新技术产业的出现
, 对钢铁需求量减少。鲁尔工业区
从以煤炭和钢铁工业为中心的资源型生产基地，转变为以高新技术产业为龙头，多种行业协
调发展、环境优美的新型经济区。（1） 20 世纪 50 年代以前鲁尔区发展煤炭和钢铁工业依托的地理环境是什么？
C．农业生产高度商品化
D ．农业生产高度集约化
32. 美国东北部发展乳畜业的原因是
(
)
①纬度偏高，气候湿冷
②地势起伏大，不利于机械耕作
③人口、城市集中
Ａ．①②
Ｂ．②③
④土壤肥沃Ｃ．③④
Ｄ．①③
33．关于西部开发的战略部署，要求根据各地区的区域特征，积极发展有特色的优势产业，推进重点地带开发。以下各地区与其特色农业发展方向相一致的是
读图 “我国正在实施的资源跨地区调配示意图”，完成
14 ～ 16 题。
最主要的原
14．箭头①和③的运输方式中具有共性的是（
）
A. 管道运输
B. 高压输电
C. 水陆联运
D. 利用地势的自然落差自行输送
15．有专家指出， ④工程很可能加重沿途有些地区土壤的次生盐碱化。
有关成因的叙述
正确的是（
）
① 沿途有些地区潜水面较低，河水渗漏补给地下水
2011----2012 学年上学期高二地理期中试题
一、选择题（每题 2 分，共 70 分） 1．有关我国年降水量线分布及我国三大自然区分界的叙述，正确的是
A ． 400mm 等降水量线大致通过大兴安岭－阴山－吕梁山－兰州－昆明－西藏东南部，它是西北干旱半干旱区与东部季风区界线 B．800mm 等降水量线大致通过秦岭－淮河带和青藏高原东南边缘，它是东部季风区内温带湿润、半湿润地区和亚热带湿润地区界线 C．200mm 等降水量线大致从东北的大兴安岭起，斜向西南喜马拉雅山脉东部，它是青藏高寒区与西北干旱半干旱区界线 D． 1600mm 等降水量线通过我国东南沿海一带，其西段是东部季风区与青藏高寒区分界线
36. 我国是一个农业大国，“民以食为天，粮以土为本”。农业问题是关系国计民生的重要问题。阅读材料，回答问题。（ 5 分）
材料一：
农作物的生长离不开耕地，而耕地质量的高低，直接影响着农作物的产
量。我国有相当一部分耕地质量低、农作物生长不良，成为农业低产区。右图为我国某农业
低产区的地区分布示意图
材料二：东北农业基地是我国最大的农业现代化垦区，黑土是其生产潜力较大的土壤。东北农业基地的综合开发，就是要在继续发展种植业，不断提高种植业本身生产能力的
36 (1) (2)
37 (1) （ 2）
图9
图 10
（1）从资料和图表中可以看出 , 山东省工业化主要表现在
、
。
（2）从图 10 中可以看出山东省城市化快速推进主要表现在
、
。
（3）山东省城市化过程中出现的环境问题可能有即可）。
、
（答出两项
（4）山东省是我国著名的水果之乡，你认为城市化对这一地区的水果生产是否有利，试说明理由。
（5）简述山东省城市化对该区域经济发展的影响。
世界平均水平。随着环渤海经济圈的崛起，黄河经济带的振兴，
2000 年到 2006 年山东从
事第二产业的人口从 1286 万增加到 1870.3 万。近年来山东已成为中国经济最发达的省份
之一。
黄河口渤海
烟台威海
德州
东营寿光
淄博
潍坊
济南
泰安莱芜
河
日照济宁
临沂
黄
枣庄
青岛
黄海
图例省级行政中心地级行政中心
A ．建设巨大航运网
B
．保护环境，发展旅游业
C ．发展林业，改善气候
D
．兴建众多大坝，疏通河道
22. 汶川地震后我国无人驾驶飞机迅速对该地灾情进行监测，主要运用了
A. 遥感技术 B. 地理信息技术
C.全球定位技术
D. 计算机技术
江苏是我国城市化发展较快的省区之一，回答 23 ．在江苏省内，城市化水平较高的地区是
D．海外华侨的大规模投资
26．对大城市来说，大量使用家庭轿车有利于 A ．缓解道路交通压力 B ．提高道路通行能力 C ．城市连片发展 D ．降低市中心常住人口密度 27 ．家庭轿车的大量使用可能引发的环境问题是 A ．在城市上空形成臭氧空洞 B ．大范围的水体污染 C ．大规模的酸雨危害 D ．城市大气质量下降
D ．控制人口增长，提高人口素质
35．我国的蒙古族人民摸索出了 “春洼、夏岗、秋平、冬阳 ”的蒙古包迁徙原则，下列叙述中，与这些迁徙原则主要成因相吻合的有
① “春洼 ”——大风② “夏岗 ”——洪水③ “冬阳 ”——低温④ “秋平 ”——大风
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、综合题（共 30 分）
人口的增加
C．交通的便利及保鲜、冷藏技术的发展
C．距城区
） B ．城市
D ．城市居民收入的提高
继“西部大开发”、“中部崛起”后，我国又制订了“实现东部新跨越”的战略方针，
环渤海经济圈作为东部的一个重要组成部分，正在加速崛起，读图回答
4 ～6 题。
4. 目前，影响环渤海经济圈可持续发展的首要因素是（
）
A．矿产资源不足
B．水资源短缺
C ．人口密度较大
D．洪水灾
害频发
5．图中阴影区是我国重要的商品棉基地，其棉花生长的有利气候条件是（
）
A．地势平坦广阔
B．土壤深厚肥沃
C．降水丰富，水源充足
D．光热条件好，雨热同期
6．天津、青岛、大连吸引外资企业纷纷落户，其共同的优势区位条件是
（
）
①水陆交通便利
②劳动力价廉质优
改革开放后，我国的农业生产发生了翻天覆地的变化，人民的生活水平不断提高。下图
是某种农产品生产和销售的一般模式，据图完成
2～ 3 题。
2．阶段Ⅰ鲜花和蔬菜产区的主要区位因素是（
）
A．地形平坦
B．气候优越
近
D．水源充足
3．阶段Ⅱ鲜花和蔬菜产区的区位变化主要因素是因为（
A．城市用地规模的扩大
B. 改变我国的能源结构，以气代煤
C. 为提高我国能源供应安全性发挥重要作用
D. 解决沿线地区及长江三角洲能源供应紧张问题
一种物质所产生的自身辐射或对外来辐射所产生的反射和透射，
形成了该物质的一种特
殊标志——波谱特征。图 3 显示了松林、草地、红砂岩和泥浆的反射波谱曲线，读图回答
17 题。
17．图 3 显示直接利用遥感的工作是（
基础上，大力发展养殖业和农产品加工业，使农产品多层次大幅度地升值。
（ 1）简述材料一图中所示地区成为农业低产区的主要原因。
（ 2）简要说明东北地区保持和不断提高黑土肥力的主要措施。
37. 读全国主要流域水土流失治理情况图，同答以下问题：、
(5 分 )
(1) 长江流域水土流失面积最大的原因是
、
(2) 松花江和珠江流域水土流失面积较小的共同原因是
）
A．判断水域状况土地利用类型
B．预测植被类型
C．估算地物面积
D．判断
据报载，我国江西省中南部山区出现大片“红色荒漠” ，即在亚热带湿润的岩溶地
区，土壤遭受严重侵蚀，基岩裸露，地表出现类似荒漠化景观的土地退化现象。据此，
回答 18 ～ 20 题。
18 ．“红色荒漠”形成的自然原因主要是
A. 风化作用
（试从自然环境和社会环境两方面分析）
（2）图 6 表现出的 70 年代后鲁尔区产业结构变化的趋势是
。分析其变化的原因。（3）试从地理环境变化角度分析首钢迁出北京的原因
39. 读图 9、 10 及相关资料，回答下列问题。（ 10 分）
资料一：
山东省总面积 15.78 万平方千米， 2007 年城镇化水平为 46.75% ，已经接近 47% 的
23 ～25 题。
A．北部地区
B．南部地区
C．中部地区
D．北部和中部地区
24．图 5 是我国四个不同地区区域城市化的典型模式，
其中代表江苏省的是
A．
B．
C．