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中考数学第二轮复习专题(14个)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考数学第二轮复习(全套)精讲精练 33

【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。

现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。

经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

⑴按该公司要求可以有几种购买方案？⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台。

由题意，得，75(6)34x x +-≤解这个不等式，得，即x 可以取0、1、2三个值，2x ≤所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。

因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。

【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?解：根据题意，可有三种购买方案；方案一：只买大包装，则需买包数为：；48048505=由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)方案二：只买小包装．则需买包数为：4801630=所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装包．小包装包．所需费用为W 元。

中考数学二轮复习提高题专题复习中考数学压轴题练习题及解析

一、中考数学压轴题1．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒3的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDE ABMC 1S S 9=四边形． 3．在平面直角坐标系中，抛物线24y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且:3:4∆∆=ABC BCE S S ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．4．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为．（2）若ω＝120°，O 为坐标原点．①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝3，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （33y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是．5．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ．（1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．6．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．7．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．8．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件：．9．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15h OD =时，求t 的值；（4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动，当点Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．10．已知：如图，二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大时，求矩形MONC 的面积的最小值．（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．（1）求证：2CAO CDB ∠=∠（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．13．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角．（3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交DC 于M ．特例体验：(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少?类比探究：(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．拓展延伸：(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?17．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+32AB =45ABC ∠=︒，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．问题探究（1）如图1，若30PBC ∠=︒，则AP 的长为__________．（2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；②请直接写出PMN 面积的最小值．18．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．19．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+ m交 y轴的正半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F，∠AFO=45°．（1）求∠FAB的度数；（2）点 P是线段OB上一点，过点P作 PQ⊥OB交直线 FA于点Q，连接 BQ，取 BQ的中点C，连接AP、AC、CP，过点C作 CR⊥AP于点R，设 BQ的长为d，CR的长为h，求d与h的函数关系式（不要求写出自变量h的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE⊥OB于点E，CE交 AB于点D，连接 AE，∠AEC=2∠DAP，EP=2，作线段 CD 关于直线AB的对称线段DS，求直线PS与直线 AF的交点K的坐标．21．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．22．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）当m＝0时①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；②点（12，﹣98）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣12m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．23．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．24．如图，在ABC中，35,7,tan4AB BC B===，动点P从点A出发，沿AB以每秒53个单位长度的速度向终点B运动，过P作PQ BC，交AC于点Q，以PQ PB、为邻边作平行四边形PQDB，同时以PQ为边向下作正方形PQEF，设点P的运动时间为t 秒()0t>．（1）点A到直线EF的距离______________；（用含t的代数式表示）（2）当点D落在落在PF上时，求t的值；（3）设平行四边形PQDB与正方形PQEF重叠部分的面积为()0S S>，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．25．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．C解析：（1）2233(06)2253103343(68)8333031503(810)t S t t t t +⎪⎪⎪=-+-<⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为632）存在，m 的值为165或32163-163或1423-. 【解析】【分析】（1）分06t 、68t 和810t 三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．（2）分两种情形：①如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，即8m =．当RP BR =时，当PB BR =时，当PR PB =时，分别构建方程求解即可．②如图32-中，作RH BC ⊥于H ．首先证明90BPR ∠=︒，根据BP PR =构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图21-中，当06t 时，点P 与点Q 都在AB 上运动，PM AC ⊥，//NQ PM ，90ANQ AMP ∴∠=∠=︒，AQ t =，2AP t =+，60A ∠=︒， 1122AN AQ t ∴==，33QN AN t ==，112AM t =+，33PM t =+． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为33S t =+．如图22-中，当68t 时，点P 在BD 上运动，点Q 仍在AB 上运动．则AQ t =，12AN t =，142CN t =-，3QN =，6BP t =-，10DP t =-，3(10)PM t =-，而43BC =故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为： BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形)()3111434433106222t t t ⎛⎫⎡⎤=+⋅-+-⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭⎝2531033438t t=-+-，如图23-中，当810t时，点P和点Q都在BD上运动．则202DQ t=-，(202)3QN t=-，10DP t=-，(10)3PM t=-．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2333031503S t t=-+．故S关于t的函数关系式为2233(06)53103343(68)333031503(810)t tS t t tt t t⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩，当06t时，S随t增大而增大，当68t<时，S随t增大而增大，当810t<时，S随t增大而减小，∴当t=8时，S最大，代入可得S=63；（2）如图31-中，由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等，8m=．当RP BR=时，3PB BR=，则有383m-=，解得165m=，当PB BR=时，则有38m-=，解得32163m=-当PR PB=时，3BR PB=33(8)m-，解得163m=．如图32-中，作RH BC⊥于H．在Rt △CHR 中，2(8)CR m =-，30RCH ∠=︒， 182RH CR m ∴==-，8BP m =-，RH BP ∴=， HR BP ∥，∴四边形RHBP 是平行四边形，90RHB ∠=︒，∴四边形RHBP 是矩形，90BPR ∴∠=︒，当BP PR =时，则有83(12)m m -=-，解得1423m =- 综上所述，满足条件的m 的值为165或32163-163或1423-．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．C解析：（1）21y x 343=-+（），顶点M 3,4；（2）P 3,2（）；（3）1m ＝2，2m ＝1【解析】【分析】（1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把()A 3,0、()B 33,0代入解析式，即可求出a 、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标；（2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的坐标；（3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDES3=OC ＝3，OB ＝33OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到OD ＝3m -，()OE 33m =-，根据PDEDOE PDOE SSS=-四边形，列出关于m 的方程，解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、()B 33,0，()C 0,3三点， ∴c ＝3，∴3a 3b 3027a 33b 30⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得1a 323b 3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故抛物线的解析式为()221231y x x 3x 34333=-++=--+，故顶点M 为()3,4．（2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ， ∵PH //y 轴， ∴PHB COB ∽． ∴PH BHCO BO=．由题意得BH ＝23CO ＝3，BO ＝33∴PH 23333=， ∴PH ＝2． ∴)P3,2．（3）如图2，∵()A 3,0-、()B 33,0，()C 0,3，()M3,4，∴ABMC S 四边形＝()AOC MHBCOHM 111SS S3334342393222++=⨯⨯++⨯⨯=梯形． ∵ABMC S 四边形＝PDE9S ，∴PDES3=∵OC ＝3，OB ＝33∴OCB ∠＝60． ∵DE //PC ， ∴ODE ∠＝60．∴OD ＝3m -，)OE 33m =-． ∵PDOE S 四边形＝))COE133S 333m 3m 22=⨯-=-， ∴PDE S＝))2DOEPDOE 333S S3m 3m -=--=四边形 23330m 33+<<（）． ∴23333+= 解得1m ＝2，2m ＝1．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，熟练运用方程思想方法和转化思想是解题关键．3．A解析：（1） A （12,0） B （72,0）；(2) ①23333y x =-+，②24316373999y x x =-+【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2，利用:3:4∆∆=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4，由△AOE ∽△AGC 可得13=AO AG ，进而求得OA 、OB 的长，即可求得点A 、点B 的坐标；（2）根据旋转的性质求出C 点坐标，利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标，，分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为24(0)=-+>y mx mx n m ，∴对称轴为直线422-=-=mx m，如图，设对称轴与x 轴交于G ，则//CG y 轴，2OG =，∴△AOE ∽△AGC ， ∴=AO AEAG AC， ∵:3:4ABCBCES S=， ∴CA :CE =3:4 ，则31AE AC =， ∴13==AO AE AG AC ， ∴1142==OA OG ，3342==AG OG ，则23==AB AG ，72=+=OB OA AB ， ∴A (12,0)， B (72,0)；（2）如图，设O 旋转后落在点Q 处，过点C 作CP y ⊥轴于点P ，由旋转的性质得：△BCO ≌△ACQ ， ∴BO =AQ =72，CO =CQ ， ∴OQ =222271()()2322=-=-=AQ AO∵CP y ⊥轴， ∴132==OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-，则3CG =由（1）得△AOE ∽△AGC ，13==OE AE CG AC ， ∴33OE =，即点E 的坐标为3(0,3， ①设CE 的解析式为y kx b =+，分别代入C (2,3)-，E 3得： 2333k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：233k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴CE 的解析式为233y =； ②将A (12,0)，C (2,3)分别代入24y mx mx n =-+得：1204483m m n m m n ⎧-+=⎪⎨⎪-+=-⎩，解得：439739m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为24316373y x x =-+．【点睛】本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式，正确的理解题意，熟练运算“数形结合思想”是解题的关键．4．B解析：（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y ＝2x ；③y ＝﹣22x +2；（2）①半径为2，M （4323,33）；②2＜r ＜4 【解析】【分析】（1）①如图2−1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题；②如图2−2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3−3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF ⊥OA 于F ，作MN ∥y 轴交OA 于N ．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．求出FN ＝NE ＝1时，⊙M 的半径即可解决问题；【详解】解：（1）①如图2﹣1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．由题意OC ＝CD ＝1，OA ＝BC ＝2， ∴BD ＝OE ＝1，OD ＝CF ＝BE 2， ∴A(2,0)，2)，C(﹣2，故答案为：A(2,0)，2)，C(﹣2)．②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，∴BE OEPM OM=，∴21y x=，∴y＝2x．故答案为：y＝2x．③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．222MQ DMOA DOx y∴=-∴=∴222y x=-+故答案为：y＝﹣22x+2．（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．∵ω＝120°，OM⊥y轴，∴∠MOA ＝30°， ∵MF ⊥OA ，OA ＝23， ∴OF ＝FA ＝3， ∴FM ＝1，OM ＝2FM ＝2， ∴圆M 的半径为2 ∵MN ∥y 轴， ∴MN ⊥OM ， ∴MN ＝233，ON ＝2MN ＝433，∴M 4323,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．∵MK ∥x 轴，ω＝120°， ∴∠MKO ＝60°， ∵MK ＝OK ＝3 ∴△MKO 是等边三角形， ∴MN ＝3，当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2，当EN ＝1时，ME ＝3+1=4，观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4．故答案为：2＜r ＜4．【点睛】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 5．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或417k 或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）从2172022x mx m的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32b xa来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MN k k kCD ．需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k k k，通过解该方程可以求得k 的值；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NM k kk ，通过解该方程可以求得k 的值．【详解】解：（1）2217()4(2)(2)322m m m， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，2(2)30m ，∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程2172022x mxm总有两个不相等的实数根，∴无论m 为何实数，抛物线217222y x mxm与x 轴总有两个不同的交点．（2）抛物线的对称轴为直线3x =，3122m ，即3m =，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222y x xx ，∴顶点C 坐标为(3,2)-；（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k，， (3,2)C ，4CD ∴=，2151(3)422MNk k kCD，①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MNk k k，整理得，28150k k -+=，解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NMk kk ，整理得2810k k ，解得，12417417k k ，，综上，5k =或417k或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．6．A解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685s 或72s 【解析】【分析】（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离；（2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E∵∠B=90°，AD ∥BC ∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离 ∵AD=16，BC=21， ∴EC=5 ∵DC=13∴在Rt DEC 中，DE=12同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12 （2）∵AD ∥BC∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21 解得：t=5s 或t=373s （3）情况一：QP=PD图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F∵PQ=PD ，PF ⊥QD ， ∴QF=FD∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+2t =2t 或8+2t=42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+-∵PQ=QD ， ∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．7．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）32910AB BC =；（3）①125615-；②35AD CD =．【解析】【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出ABBC的值；（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AFAE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=︒，∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==．∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==．（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵105AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=， ∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===，设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°， ∴3CF x =，∴(23)35AC x == 解得：65315DF x == ∴2125615CD DF ==②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴:3:5AE BC=．∴5BC=．∵10 ABBC=，∴10AB．∴221BE AB AE=-=．∴6CE BE BC=+=，2236935AC CE AE=+=+=．分别过点B'，D作B G BC'⊥，DF AC⊥，垂足分别为点G，F，∴90B GC DFC'∠=∠=︒，3B G'=，5C BB C'==，则CG4=．∵GCB FCDα'∠=∠=，∴AEC DFA∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB''==．∴设3DF k=，4FC k=，5CD k=．∵12l l//，∴ACE CAD∠=∠，且90AEC AFD∠=∠=︒．∴AEC DFA∽△△．∴DF AFAE EC=．∴33543k k-=，解得35k=∴355CD k==2222959595102AF DFAD⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．∴935253552ADCD===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．8．D解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或253；（3）DP=485或10＜DP≤12【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA=90°=∠ABE，∴△PFA∽△ABE．（2）解：分二种情况：①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF=∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=6，即x=6．②如图2，若△PFE∽△ABE，则∠PEF =∠AEB ，∵AD ∥BC∴∠PAF =∠AEB ，∴∠PEF =∠PAF ．∴PE =PA ．∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，∴AE =22AB BE +=2286+=10，∴EF =152AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，∴PE EF AE BE=， ∴5106x =， ∴PE =253， ∴满足条件的x 的值为6或253．（3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，∵AP =x ，∴PD ═DG =12﹣x ，∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，∴△AGD ∽△EBA ， ∴AD DG AE AB =， ∴1212108x -=， ∴x =125， ∴12481255DP =-=，当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，此时PD =DE =10，故答案为：DP =485或10＜DP ≤12．【点睛】本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 9．B解析：（1）35t ，45t ；（2）当0＜t ＜3时，224655S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052S t t =+-；（3）75；（4）132，7713，477 【解析】【分析】（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得；（2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公式可求得；（3）直接令15h OD =即可求出；（4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解．【详解】（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB∵AB=4，AD=BC=3∴BD=5 ∵BM OM BO DA BA BD==，OB=t ∴BM=35t ，OM=45t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD∵AP=t ，∴PD=3－t∵PN BA PD BD =，∴PN=()435t - 图中，OD=5+t ∴()()243124562555OBD t S t t t -=+=--+ 情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N图中，PD=t －3，OD=5+t同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=()335t - ∴()()23313395251052OBD t S t t t -=+=-+- （3）情况一：当0＜t ＜3时则h=PN=()435t - ∵15h OD =∴()43555t t -+= 解得：t=75情况二：当3＜t ＜7时则h=PN=()335t -∵15h OD = ∴()33555t t -+=解得：t=7(舍) （4）情况一：QP ∥BD ，图形如下由题意可得：BQ=43t ，AP=t ，则QA=4－43t ，DP=3－t ∵BD ∥QP ∴QA PA QB PD= 代入得：4()2243t t =-解得：t=32∴OD=5+t=132 情况二：如下图，EP ∥CD(或EQ ∥CB)∵点E 是点A 关于QP 对称的点∴EP=PA ，EQ=QA ，QP=QP∴△APQ ≌△EPQ∵EP ∥CD ，CD ⊥AD∴EP ⊥AD∴∠APQ=∠EPQ=45°∴△AQP 是等腰直角三角形，AQ=PA∴4－43t t = 解得：t=127∴OD=5+t=477 情况三：如下图，QE ∥BD ，延长QE 交DA 于点N。

※【中考数学第二轮复习(全套)精讲精练

第二轮复习一转化思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习转化思想．所谓转化思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2），所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ，所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD 2BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

中考数学第二轮复习专题个.docx

【范例讲析】：例 1：填空题：1）．将二次三项式2。

x +2x－ 2 进行配方，其结果为2）．方程 x2+y2+4x－ 2y+5=0 的解是。

22的大小关系为。

3）．已知 M=x－ 8x+22， N=－ x +6x－ 3，则 M、 N例 2.已知△ ABC的三边分别为a、 b、 c，且 a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ ABC的形状为。

例 3.解方程： 2x47x240【闯关夺冠】1. 已知x1 3 ．则 x21的值为 __________ ．x x22．若 a、 b、 c 是三角形的三边长，则代数式a2–2ab+b2–c2的值（）A大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定3 已知： a、 b 为实数，且222－1的值。

a +4b － 2a+4b+2=0，求 4ab4. 解方程：( 1)2 6 5(1 ) x1x1中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数 ( 或参数 ) 来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数 ( 或参数 ) 的方程 ( 组 ) ，并求出相应字母系数 ( 或参数 ) 的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例 1】二次函数的图象经过A(1， 0) 、B(3 ， 0) 、 C(2 ，－ 1) 三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线 y=－ x+1 的交点坐标．【例 2】一次函数的图象经过反比例函数y 8B 的纵坐标的图象上的 A、B 两点，且点 A 的横坐标与点x都是 2。

中考数学第二轮专题复习

例11．（4分）小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的另一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的一端。这时，爸爸的那一端仍然着地。请你猜一猜小芳的体重应小于（） A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克
这些题目取材贴近生活实际的应用，试题新颖，形式开放、趣味性强。一般特点文字长、信息多、数据杂，同时考查学生的阅读能力和分析能力。设未知数，分析数量关系。建立数学模型是解题关键。
3x－1<2x＋7 1．（2000年）（3分）不等式组 x－2 0 5
的解集是
3(x＋1)<5x－2 2．（2001年）（6分）解不等式组 3 1 7－ x x－1 2 2
。
并把解集在数轴上表示出来。
3．（2002年）（6分）取哪些正整数值时，代数式 (x－1)2－4的值小于(x＋1)(x－5)＋7的值？
7．（3分）若0＜m＜2，则点P（m－2，m）在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
纵观各市中考题，有关不等式内容的中考试题以考查不等式的性质、解不等式（组）为多，题目难度并不大，分值在5分左右。从扬州市近五年的中考题看来，直接考查不等式的性质以及不等式组的解法分值占4到6
的解是x＞－1，
D．－3
因为m未确定之前2m+1与m+2的大小是不能确定的，通常需要分类讨论。作为选择题检验法解题更为简捷。
• 这是一组有关不等式（组）的基础题，主要考查不等式的概念、性质、解法、解集在数轴上的表示等知识点。
• 例８（5分）一个长方形足球场的长为Xm，宽为70m。如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求X的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛。（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间） • 例９．（4分）小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的另一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的一端。这时，爸爸的那一端仍然着地。请你猜一猜小芳的体重应小于（） • A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克

年中考数学第二轮复习专题10个

2０18年中考数学第二轮专题复习专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，20１3年各地命题设置上,选择题的数目稳定在８~１4题,这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明;适应性强,解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是:充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而,在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取,这是解选择题的基本策略. 具体求解时,一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础．A ．1ﻩB ．-１ﻩC.3 D ．-3思路分析:设一次函数的解析式为y ＝ｋｘ＋b(ｋ≠０)，再把x=-2,y=3；x ＝１时,ｙ=０代入即可得出kb 的值,故可得出一次函数的解析式，再把x ＝０代入即可求出ｐ的值.解：一次函数的解析式为y=kx+ｂ（k≠0),ﻫ∵x=-2时y=3；x ＝1时ｙ＝0,ﻫ∴230k b k b -+=⎧⎨+=⎩，ﻫ解得11k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为ｙ=-x+１,ﻫ∴当x=0时,y ＝1，即p=1．ﻫ故选A ．点评:本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.对应训练1.（2013•安顺)若ｙ=（ａ+1)ｘa2－２是反比例函数,则a 的取值为（）Ａ.1 B ．－l ﻩＣ.±ｌﻩD.任意实数 1．A考点二：筛选法(也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。

2019年中考数学第二轮复习专题(14个)

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考数学第二轮复习(全套)精讲精练 09

第二轮复习二分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴ 即⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y 点C 在一次函数图象上，当时，，即C （－4，1）．4-=x 1=y 设反比例函数解析式为． m y x=点C 在反比例函数图象上，则，m ＝－4．41-=m 故反比例函数解析式是：． xy 4-=点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；。

中考二轮专题复习数学《解直角三角形与相似三角形》精选练习(含答案)

2021年中考数学二轮专题复习《解直角三角形与相似三角形》精选练习一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA的值是（）A. B. C. D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )A.sinAB.cosAC.D.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.4.在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC 的值为（）A. B. C. D.6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.48.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似.A.1个B.2个C.3个D.4个9.生活中到处可见A黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米10.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3） B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）11.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD.则图中相似三角形对数是( )A.1B.2C.3D.412.在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=﹣(x＜0)，y=(x＞0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )A． B． C． D．二、填空题13.如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin∠BAC=______．14.如图△ABC的三个顶点在网格中格点上，求sinA=_15. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于___________16.正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为．17.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2.18.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8，CE=6，则BC的长为．三、作图题19.已知△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．四、计算题20.计算：21.计算：五、解答题22.先化简，再求代数式÷（a+2﹣）的值,其中a=tan45°+2sin60°．23.如图,已知长江路西段与黄河路的夹角为150°,长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km,从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达,城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：≈1.4，≈1.7）24.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）25.如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．(1)填空：∠BAC= 度，∠C= 度；(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号)．26.如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D.（1）求证：FB2=FE•FA；（2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比.27.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC 的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．参考答案1.B.2.D.3.D.4.A.5.A.6.D7.D8.答案为：C；9.答案为：A；10.答案为：C．11.答案为：C；12.答案为：D.13.答案为：．14.答案为：0.6.15.答案为：0.75.16.答案为：（﹣1，0）或（5，﹣2）．17.略18.答案为：2．19.解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C2=20，A2B22=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．答案为：10．20.解：=﹣9+2﹣+9﹣=﹣9+2﹣=﹣9+2﹣=1﹣2．21.原式=3-6+2+1=022.解：原式=÷=÷=•=，当a=tan45°+2sin60°=1+时，原式==．23.解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=20km，则CD=10km，AD=10km，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，CD=10km，故BD=10km，BC=10km，则AC+BC﹣AB=20+10﹣10﹣10≈7（km），答：打通长江路后从A地道B地可少走7km的路程．24.解：25.解：(1)由题意得：∠BAC=90°﹣60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°；故答案为：30，45；(2)∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=BP，∵PA+PC=AC，∴BP+BP=10，解得：BP=5﹣5，答：观测站B到AC的距离BP为(5﹣5)海里．26.（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D.又∵∠CBF=∠D，∴∠A=∠CBF，∵∠BFE=∠AFB，∴△FBE∽△FAB，∴∴FB2=FE•FA；（2）∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2∴32=2×（2+AE）∴∴，∴△ABE与△BEF的面积之比为5：4.27.。

中考数学二轮复习高频考点总复习资料大全.doc

中考数学二轮复习高频考点总复习资料大全中考第二轮复习是综合能力突破时期，成体系做好系统复习，整合知识。

今天，给大家带来中考二轮复习高频考点，初中数学实数总复习资料大全：第一章实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1. 数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2. 非负数：正实数与零的统称。

（表为：x$0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。

3. 倒数：①定义及表示法②性质：A.aHl/a （a# + l） ;B.l/a 中，a#0;C.0<a< 1时 1 /a>l;a> 1 时,l/a<l;D.积为1。

4. 相反数：①定义及表示法②性质：A.a#0时,a#-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5. 数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

5. 奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数）定义及表示：奇数：2n-l偶数：2n （n为自然数）7.绝对值：①定义（两种）：代数定义: 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②丨a丨三0,符号“丨丨”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“丨丨”出现，其关键一步是去掉“丨丨”符号。

二、实数的运算1. 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2. 运算定律（五个一加法［乘法］交换律、结合律;［乘法对加法的］分配律）3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5—X5） ;C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：| x-a | + | x-b | =b-a.2. 已知：a-b=-2 且ab<0, （a#0, b#0）,判断a、b 的符号。

2024年中考数学二轮复习课件：专题一规律探索题

纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是( C )
图1
A.正十二边形
图2
B.正十边形
C.正九边形
D.正八边形
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如
果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形
30
的个数多8个，那么连续搭建正三角形的个数是____.
综与语文之间，得到如图3，称为2次整理；…若从如图1开始，经过 n 次整理后，
得到的顺序与如图1相同，则 n 的值可以是( B )
A.11
B.12
C.13
D.14
9.（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23石家庄裕华区模拟）小明同学用一些完全相同的 △ ABC 纸片，已知六个
△ ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 n 个 △ ABC
再证明结论的正确性；
解：由题意规律，得 +

= + + .
证明：等式左边 = + + ，
等式右边 = + + ，
∴ 左边 = 右边，故等式成立.
【迁移】思考“ 152 = 15 × 15 ， 252 = 25 × 25 ， ⋯ ”的特征：两个乘数十位上
上分别取点 A2 ， B2 ，使 B1 A2 = B1 B2 ，
连接 A2 B2 ⋯ 按此规律下去，记
∠A2 B1 B2 = θ1 ， ∠A3 B2 B3 = θ2 ， ⋯ ， ∠An+1 Bn Bn+1 = θn ，则：
180∘ +α
（1） θ1 = _______；
2

中考数学二轮复习讲义

中考数学二轮复习讲义一、引言在中考数学的复习过程中，二轮复习是一个关键的阶段。

它旨在巩固和深化学生对基础知识的理解，提高解题能力，以便更好地应对中考。

本文将为同学们提供一份详细的中考数学二轮复习讲义，帮助大家系统地进行复习。

二、复习目标1、巩固基础知识，确保对知识点掌握扎实。

2、深化理解，提升解题能力。

3、查漏补缺，针对薄弱环节进行强化。

4、适应中考题型，熟悉解题技巧。

三、复习内容1、代数部分：复习整式、分式、方程、不等式、函数等知识，掌握基本概念、性质和解题方法。

2、几何部分：复习三角形、四边形、圆等基本图形，掌握基本性质和定理，提高空间思维能力。

3、概率与统计：掌握统计图表、概率初步知识，能够解决实际问题。

四、复习方法1、制定合理的复习计划，根据自己的实际情况安排时间。

2、重视基础知识，打牢基础后再进行深化拓展。

3、学会总结归纳，将知识点串联起来形成知识网络。

4、多做真题，熟悉中考题型和解题技巧。

5、及时查漏补缺，针对薄弱环节加强练习。

6、保持积极心态，相信自己能够取得进步。

五、结语中考数学二轮复习讲义是帮助同学们在复习过程中更好地掌握知识、提高解题能力的重要工具。

希望同学们能够按照讲义的要求，积极进行复习，不断深化对数学知识的理解，提高自己的数学能力。

相信在中考中，大家一定能够取得优异的成绩！中考数学一轮总复习讲义一、引言在中考复习阶段，数学作为核心学科，一直是考生们的重点。

为了帮助同学们更好地进行数学复习，本文将详细介绍中考数学一轮总复习的策略和要点，希望对大家有所帮助。

二、复习策略1、知识梳理：要全面梳理初中数学的知识点，形成系统化的知识网络。

这包括对基础概念的理解，公式、定理的掌握以及解题方法的熟练应用。

2、查漏补缺：在知识梳理的过程中，要着重找出自己的薄弱环节，进行针对性的强化训练。

对于容易混淆的概念、定理，要重点辨析，明确其内涵和外延。

3、解题训练：数学是一门应用性很强的学科，解题训练是复习过程中不可或缺的部分。

河北省中考数学二轮复习专题20一元二次方程

河北省中考数学二轮复习专题20一元二次方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015八下·新昌期中) 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（）A . 1B . ﹣5C . 1或﹣5D . m≠1的任意实数2. （2分） (2018八上·银海期末) 下列各式的变形中，正确的是（）A . (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B . －x＝C . x2－4x＋3＝(x－2)2＋1D . x÷(x2＋x)＝＋13. （2分） (2019九上·江津期中) 已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2﹣9＝0，则a2+b2的值为（）A . ±3B . 3C . ±9D . 94. （2分） (2020八下·张家港期末) 一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）A .B .C .D .5. （2分）一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（）A . ﹣1B . 2C . 1和2D . ﹣1和26. （2分）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 只有一个实数根D . 没有实数根7. （2分） (2017九上·忻城期中) 若关于x的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根为（）A . 5B . -1C . 2D . -58. （2分）受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（）A . 10%B . 20%C . 19%D . 25%9. （2分） (2019九上·防城期中) 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac﹣2b+4＝0；④OA•OB＝，其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分） (2020·沙河模拟) 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。

中考数学第二轮复习资料

中考数学第二轮复习资料目录专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考考点精讲1．(莱芜)如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．2．(自贡)如图，已知A、B是反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P 作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是A．B．C．D．3．(鄂州)一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是A．B．C．D．4．(巴中)在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是A．B．C．D．5.(宁波)下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是A．B．C．D．6．(菏泽)如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°7．(邵阳)下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．8．(南宁)小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是A．三角形B．线段C．矩形D．正方形9．(长沙)在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是A．B．C．D．10．(达州)下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③11．(陕西)如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是A ．B ．C ．D ．12．(黑龙江)如图，爸爸从家(点O )出发，沿着扇形AOB 上OA →弧AB →BO 的路径去匀速散步，设爸爸距家(点O )的距离为S ，散步的时间为t ，则下列图形中能大致刻画S 与t 之间函数关系的图象是A ．B ．C ．D ．13．(盐城)如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种14．(咸宁)如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为A ．1732B ．12C ．1736D ．173815．(雅安)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为A ．12B ．32C ．22D ．3316．(衢州)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是A ．B ．C ．D ．17．(柳州)如图，点P (a ，a )是反比例函数y ＝16x在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边△P AB ，使A 、B 落在x 轴上，则△POA 的面积是A ．3B ．4C ．123− D ．33824− 18.(莱芜)下列说法错误的是A ．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B ．22C ．若a ＞|b |，则a ＞bD ．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半19．(无锡)已知点A (0，0)，B (0，4)，C (3，t ＋4)，D (3，t )．记N (t )为□ABCD 内部(不含边界)整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N (t )所有可能的值为A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、920．(钦州)如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A 地到B 地的路线图(箭头表示行进的方向)．其中E 为AB 的中点，AH ＞HB ，判断三人行进路线长度的大小关系为A ．甲＜乙＜丙B ．乙＜丙＜甲C ．丙＜乙＜甲D ．甲＝乙＝丙21．(邗江区一模)一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：(1)将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图(2)所示；(2)将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图(3)所示；(3)将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图(4)所示；(4)连结AE、AF，如图(5)所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝4π以上结论正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考考点精讲1.(湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°sin 230°＋cos 230°＝； ①sin 45°，cos 45°，则sin 245°＋cos 245°＝；②sin 60°＝2，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝； ③ …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝．④(1)如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想； (2)已知：∠A 为锐角(cosA ＞0)且sinA ＝35，求cosA ． 2.(河北)定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a (a －b )＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1=＝－5．(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．3．(十堰)定义：对于实数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4．(1)如果[a ]＝－2，那么a 的取值范围是．(2)如果[12x+]＝3，求满足条件的所有正整数x．4.(钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是A．2 B．3 C．4 D．55.(宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．6.(舟山)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．例如，A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋2)＋(4－3)＝－2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E ＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点7．(常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直径”最小的是A．B．C．D．8．(上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．9．(宜宾)如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是．10．(淄博)在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B )，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有条．11．(乐山)对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x )．即当n 为非负整数时，若n －12≤x ＜n ＋12，则(x )＝n ．如(0.46)＝0，(3.67)＝4．给出下列关于(x )的结论：①(1.493)＝1；②(2x )＝2(x )；③若(12x －1)＝4，则实数x 的取值范围是9≤x ＜11； ④当x ≥0，m 为非负整数时，有(m ＋2013x )＝m ＋(2013x )；⑤(x ＋y )＝(x )＋(y )；其中，正确的结论有 (填写所有正确的序号)．12．(莆田)定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC •AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；(2)求出线段AD 的长．13．(大庆)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)(1)求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB 是方程4x 2－mx －1＝0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小．14．(安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”．其中∠B ＝∠C ．(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B ＝∠C ．E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证： AB BE DC EC=； (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ．若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)15．(北京)对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A 、B ，使得∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D (12，12)，E (0，－2)，F 0)．(1)当⊙O 的半径为1时，①在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是；②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l 上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．专题三开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等．三、中考考点精讲1.(盐城)写出一个过点(0，3)，且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系，使得另一边EF过原矩形的(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积(2)写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．6．(荆州)如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．7.(徐州)请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．8．(钦州)请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．9．(连云港)若正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以10使△ABC≌△DEF．第11题第12题第13题12．(绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．13．(义乌市)如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是．14．(齐齐哈尔)如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是____________(填一个即可)15．(邵阳)如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．第14题第15题第16题第17题16．(吉林)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA＝5cm，OC＝3cm，则AP的长度可能是cm(写出一个符合条件的数值即可) 17．(昭通)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为．(填出一个正确的即可)18．(杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已19．(盐城)市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：(1)本次共调查了多少名学生？(2)如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；(3)针对图中反映的信息谈谈你的认识．(不超过30个字)专题四探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法(反证法)，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法，当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲1.(襄阳)如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．2．(新疆)如图，□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．(1)求证：△AOE≌△COF；(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．3.(牡丹江)已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图(1)．易证BD(1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(2)给予证明．(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD CD＝，CB＝．4．(河南)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．8．(陕西)问题探究：(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．9．(西城区一模)在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1，0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为(2013，2012)，则n＝．10．(湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…是．11．(绍兴)如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是．12．(茂名)如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．13．(白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．14．(无锡)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果…，那么…．”的形式)15．(宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．16．(凉山州)先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变)．解：在抛物线y＝－x2＋2x＋3图象上任取两点A(0，3)、B(1，4)，由题意知：点A向左平移1个单位得到A′(－1，3)，再向下平移2个单位得到A″(－1，1)；点B向左平移1个单位得到B′(0，4)，再向下平移2个单位得到B″(0，2)．设平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋c．则点A″(－1，1)，B″(0，2)在抛物线上．可得：112b c c −−+=⎧⎨=⎩，解得：02b c =⎧⎨=⎩．所以平移后的抛物线的解析式为:y ＝－x 2＋2．根据以上信息解答下列问题：将直线y ＝2x －3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．17．(湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BO ⊥AC ，于点O ，点P 、D 分别在AO 和BC 上，PB ＝PD ，DE ⊥AC 于点E ，求证：△BPO ≌△PDE ．(1)理清思路，完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．(2)特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP ＝CD ．(3)知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P ′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D ′，请直接写出CD ′与AP ′的数量关系．(不必写解答过程)18．(淄博)分别以□ABCD (∠CDA ≠90°)的三边AB 、CD 、DA 为斜边作等腰直角三角形△ABE 、△CDG 、△ADF ．(1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF 与EF 的关系(只写结论，不需证明)；(2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．19．(张家界)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．20．(衡阳)如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD＝4．(1)试说明AE2＋CF2的值是一个常数；(2)过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．21．(宁夏)在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A＝60°；(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．(2)试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？22．(南平)在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、(1)证明：△BGF是等腰三角形；(2)当k为何值时，△BGF是等边三角形？(3)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．23．(德阳)如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．24．(泉州)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A(－6，0)，过点E(－2，0)作EF∥AB，交BO于F；25．(梅州)用如图①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P．(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠P AB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF 的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．返回专题五数学思想方法(一)(整体思想、转化思想、分类讨论思想)一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．三、中考考点精讲1.(吉林)若a－2b＝3，则2a－4b－5＝．2．(福州)已知实数a，b满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3•(a－b)3的值是．3.(东营)如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计)．4．(宁德质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．5.(山西)某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示：(1)填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．(2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？。

中考数学第二轮复习专题(共34专题) 精品

九年级数学复习一—实数(1)一、中考要求：1．主要考查实数及其相关概念，如：相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念。

会进行实数的简单四则运算。

2．了解实数与数轴上的点一一对应关系，会用数轴比较大小。

3．科学记数法，近似数和有效数字，会按照题目要求取近似数。

二、知识要点：1．实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数或实数0⎧⎪⎨⎪⎩正实数负实数强调：（1）分数一定是有理数（2）无限不循环小数叫无理数.从形式上看有以下三类无理数：⑴含π的数：如π＋2，31-π；⑵开不尽的方根：如39,2，sin60°；⑶无限不循环小数如1.212112…. 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3.相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． 4.绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a注意：（1）若a a =，则a_0，若a a =-，则a_0。

（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离（3）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，不能写成 22±=-．5.倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1。

强调：零没有倒数． 6.科学记数法：10na ⨯，其中1≤a ＜10，n 为整数有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．例如：15876保留两个有效数字是1.6×104，不能写成160007．⑴正数a 有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫__________. 没有平方根，0的平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 .⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .（4）无理数的估算：记住常用的1.414≈，1.732≈， 2.236≈3.162≈8．零指数幂和负指数幂：0a = ，其中；pa-= ，其中。

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践(含答案)

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践（含答案）初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力．考点讲解：跨章节的综合与实践，就是利用同板块的内容解决问题，但这些内容来自初中的不同年级的不同章节．【例1】（2023·宁夏·统考中考真题）1．综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36︒的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在ABC 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC于点D，连接DE，DB （用含x的式子表示）（2）进一步探究发现：证明：512 BCAC-=底腰【变1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）2．综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD试卷第2页，共16页考点讲解：跨板块的综合与实践，就是利用不同数学模块的内容综合解决问题，但这些板块都来自于初中所学的知识，是这些知识的综合应用．【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题：(1)这8周每周来访旅客的平均人数有______万人；(2)求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数；(3)请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1）【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为m x，BC为m y．由矩形地块面积为成是反比例函数8yx=的图象在第一象限内点的坐标；满足条件的(),x y可看成一次函数这两个条件的(),x y就可以看成两个函数图象交点的坐标．试卷第4页，共16页（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图说明理由．【问题延伸】当木栏总长为m a 时，小颖建立了一次函数是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点比例函数()80y x x=>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 值范围．考点讲解：跨学科的综合与实践，就是利用数学知识和方法解决其它学科的问题，或者把数学与其它学科结合起来，共同解决实际问题．【例1】（2022·广西·统考中考真题）芒果树叶的长宽比荔枝树叶的长宽比【问题解决】试卷第6页，共16页【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：()0()m m l M a y +⋅=⋅+.其中秤盘质量0m 克，重物质量m 克，秤砣质量M 克，秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定010m =，50M =，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l 和a 的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l 和a 的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y 关于m 的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．（2023·广东·统考中考真题）7．综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：试卷第8页，共16页(1)直接写出纸板上ABC ∠与纸盒上111A B C ∠的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．（2023·广西北海·统考二模）8．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点A ，B 是MON ∠的边OM 上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与ON 边相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：MBN MAN ∠>∠．(2)【问题解决】如图3，已知点A ，B 的坐标分别是()0,1，()0,3，C 是x 轴正半轴上的一动点，当ABC 的外接圆⊙D 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大．当ACB ∠最大时，求点C 的坐标．（2023·山东临沂·统考中考真题）9．综合与实践问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮试卷第10页，共16页（1）如图2，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等腰直角三角形的面积为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之间的数量关系是______．（2）如图3，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等边三角形的面积为4S 、5S 、6S ，试猜想4S 、5S 、6S 之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图4，将图3中的BCD 绕点B 逆时针旋转一定角度至BGH ，ACE 绕点A 顺时针旋转一定角度至AMN ，GH 、MN 相交于点P ．求证：PHN PMFG S S = 四边形；（2）如图5，分别以图3中Rt ABC 的边BC 、CA 、AB 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC 、CA 、AB 为直径的半圆柱的体积分别为1V 、2V 、3V ．若4AB =，柱体的高8h =，直接写出12V V +的值．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）11．综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法．．．．．：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到AB AC =，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点O ，即O 为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原．．我国古代几何作图确定圆心O ．如图3，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，且AB AC =，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB 和AC 不相等，用三角板也可以确定圆心O ．如图4，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图．．．．的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A ，B ，C 是O 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．（2023·广西桂林·统考一模）12．综合与实践[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：试卷第12页，共16页(1)n 的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是．(2)该测量模型中，若CD a AC b ==，，仰角为α，用含a b α，，的代数式表示旗杆高度为．[拓展应用](3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为1m ，先在点C 处测得旗杆顶端B 的仰角30α=︒，然后朝旗杆方向试卷第14页，共16页（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E 为正方形ABCD 边AB 上（不与端点重合）任意一点，连接CE ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．（2023·青海·统考中考真题）15．综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，2BA CA DA ===，圆心角120BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图2中计算C 到BD 的距离1d .(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，2BA CA DA ===，圆心角90BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图4中计算C 到BD 的距离2d （结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，圆心角BAD ∠=______.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），在图6中计算C 到BD 的距离3d =______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较1d ，2d ，3d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d ______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.试卷第16页，共16页参考答案：答案第2页，共27页∵在菱形ABCD 中，BAD ∠=∴36,CAD ACD CD ∠=∠=︒=∴EDC DAC ACD ∠=∠+∠=∴EDC AEC ∠=∠，∴1CE CD ==，∴ACE △为黄金三角形，由折叠得：EF BD⊥，OB= BOF DOE∴∠=∠=︒，90四边形ABCD是矩形，∴∥，AD BC∴∠=∠，OBF ODEBMF BCD∴∠=∠，FBM DBC∠=∠，BFM BDC ∴△∽△，∴BM BFBC BD=，即3845BM=，答案第4页，共27页四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90OBA OBC ∠+∠=OAB OBA ∴∠=∠，设OAB OBA α∠=∠=，则90OBC α∠=︒-，答案第6页，共27页答案第8页，共27页（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，内交点的存在问题，即方程()820x a a x -+=>有实数根，整理得：2280x ax -+=，∴()2Δ4280a =--⨯⨯≥，把()8,1代入2y x a =-+得：解得：17a =，∴817a ≤≤．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．5．(1)3.75，2.0(2)②(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析答案第10页，共27页答案第12页，共27页设小正方形边长为1，则AC 22255AC BC AB +=+=Q ABC ∴ 为等腰直角三角形，∵1111111A C B C A C B ==⊥，【点睛】本题考查圆的基本性质，关系，垂径定理，圆的切线定理．9．(1)见解析(2)售价每涨价2元，日销售量少卖(3)①定价为每盆25元或每盆35够获得最大利润【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；（2）根据表格数据，进行求解即可；（3）①设定价应为x元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；②设每天的利润为w，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．答案第14页，共27页答案第16页，共27页作∠ABD=90°，BD与圆相交于∵∠CAB=∠ABD=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．答案第18页，共27页作∠ABD =90°，BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．（3）解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．12．(1)13.1；减小误差(2)tan b aα+答案第20页，共27页答案第22页，共27页设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得设DG x =，则2AG =-根据折叠，可得GH GD =理由如下，连接GE ，设正方形的边长为设DG x =，则4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC =答案第24页，共27页设DG x =，则1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC EB =∴211EH m =+-，在Rt ,Rt AEG GHE 中，2222,AG AE GE GH +=+2AB AD == ，AC 12BAC CAD ∴∠=∠=AB AD，AC⊥=∴∠=∠=ABD ADBsinAE AB ABD∴=⋅∠∴==-d CE AC AE∠=∴=，ABDAB BD∴ 是等边三角形，ABDBAD=∴∠︒，60在Rt ABE△中，=⋅∠=sinAE AB ABD答案第26页，共27页【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．。

中考数学二轮复习中考数学压轴题知识归纳总结及答案

一、中考数学压轴题1．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．2．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．4．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．5．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．6．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)；（3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．9．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交DC 于M ．特例体验：(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少?类比探究：(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．拓展延伸：(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?10．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为．（直接写出答案）12．如图1，已知抛物线21833y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1，已知4tan 3BDE ∠=，求点E 的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点K ，若EK EG =，求点K 的坐标．13．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于AB 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，，向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ，所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式．15．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．16．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；（2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．17．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；（2）如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．①求证：DM 2+CN 2=CM 2；②如图3，当AD=1，10时，请直接写出．．．．线段ME 的长． 18．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围）（3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积． 19．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC 的边长为，点A 的坐标是；（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，B '，C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．20．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．21．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．（1）求AB 的长；（2）求证：AD+BD=2CD ；（3）若BD=6，求FG 的值．22．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.23．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？24．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．25．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．D解析：（1）见解析；（2）y=1603x +；（2）2 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得△DFG ≌△DFA ，从而推导得出∠FDC=∠DFG ，进而得到CF=DC ；（2）在等腰△DGC 和等腰△CFD 中，可用y 表示出∠GDC 、∠FDC 的值，从而求出∠ADF ，根据∠ADE=∠DEC ，得出y 与x 的关系式；（3）先证△KCD 是等腰直角三角形，根据CD 的长得到KC 的值，然后再△KGC 中求得KG 的值.【详解】（1）∵将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上∴△DFG ≌△DFA ，∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠DFG∴∠FDC=∠DFG∴CF=DC ；（2）∵AD=DG=DC=FC ，∠DCF=y∴在△DGC 中，∠DGC=y ，∠GDC=180－2y在△CFD 中，∠CFD=∠CDF=902y -∴∠FDG=∠FDC －∠GDC=3902y - ∴∠ADF=∠FDG=3902y -，∴∠ADE=3y －180 ∵AD ∥BC∴∠ADE=∠DEC ，即3y －180=x化简得：y=1603x +；（3）如下图，过点K 作CD 的垂线，交CD 于点I ，延长KG 交BC 于点L ，过点C 作GL 的垂线，交GL 于点Q ，过点C 作GD 的垂线，交GD 于点N ，∵x=45°，∴y=75°，∠ADE=x=45°∴∠DGC=∠DCG=75°，∴∠NDC=30°，∴∠ADC=45°+30°=75°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=75°，∵KG∥DC，∴KG∥AB，∠KGD=∠NDC=30°，∴∠GLC=∠B=75°，∠KGC=30°+75°=105°，∴∠LGC=75°，∴∠CGL=∠CGN，∴GC是∠LGN的角平分线，∴CQ=CN，∵CD=4，∠CDE=30°，∴在Rt△CND中，CN=2，∴CQ=2，∵KG∥CD，∴∠QKI=∠KIC=90°∵CQ⊥KL∴四边形CQKI是矩形，∵CK=KD，KI⊥CD，∴CI=ID=2，∴CI=CQ=2，∴矩形CQKI是正方形∴IK=CQ=2，∴在Rt△KIC中，CK=22，如下图，过点G作CK的垂线，交CK于点M，∴△KGM 是等腰直角三角形，△GMC 是直角三角形，且∠C=30°，设GM=x ，则在Rt △GKM 中，KM=GM=x ，在Rt △GMC 中，CG=2x ，3x ，∴322解得：62∴2=232x .【点睛】本题考查菱形的性质和翻折的性质，需要注意，翻折后的图形和翻折前的图形时完全相等的，这个条件不可忽略.2．A解析：（1）详见解析；（2）45AQB ∠=︒，21ABDE S =四边形；（3）存在，当6422m -=时，四边形ABDE 322+【解析】【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质，取AC 中点为点P 即可．（2）延长AP 、CD 相交于点M ，取AB 的中点F ，连接PF ．证明△APE ≌△MPD ，得到AP=MP ，从而可得PF 是△ABM 的中位线．进而得到PF 是AB 的垂直平分线，这样可以得出∠APB=2∠M=2∠EAP ．由AE=PE 可得∠M=∠MPD=∠EPA=∠EAP ，所以可得∠PDB=2∠M ，由AC ∥ED 可得∠PDB=∠ACB=45°，所以∠APB=45°．（3）如图，以AB 为边长，在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ，在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ．过点O 作OM ⊥AC ，交⊙O 于点M ，点M 在AC 的右上方．过点M 作AC 的平行线DE ，AE ∥BC ，BC 的延长线交DE 于点D ．则此时满足∠AMB=30°，此时四边形ABDE 的面积最大．【详解】解：(1)利用等腰三角形的“三线合一”性质，取AC 的中点P ，连接BP 即可，如下图所示：(2)如下图所示：延长AQ 、CD 相交于点M ，取AB 的中点F ，连接PF ．由平移的性质可得，DE=AC=2，AE=CD=1，AC ∥DE ，AE ∥CD设∠EAQ=x∵点Q 是DE 的中点∴QE=QD=12DE=1 ∴QE=AE∴∠AQE=∠EAQ=x ，∴∠MQD=∠AQE=x∵AE ∥CD ∴∠M=∠EAQ=x在△AQE 和△MQD 中 ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EAQ M AQE MQD QE QD ，∴△AQE ≌△MQD(AAS)∴AQ=MQ∵点F 是AB 的中点∴QF 是△ABM 的中位线∵由题知，∠ABC=90°∴∠AFQ=90°∴PF ⊥AB ，点F 是AB 的中点∴BQ=AQ=MQ∴∠QBM=∠M=x∴∠AQB=∠QBM+∠M=2x由题知∠ACB=45°且AC ∥DE∴∠QDB=∠ACB=45°∵∠QDB=∠MQD+∠M=2x∴2x=45°即∠AQB=45°在等腰直角△ABC 中，斜边AC=2，则AB=BC=2 ∴BD=BC+CD=2+1∴四边形ABDE 的面积为：11()(121)22 1.22+⨯=++⨯=+AE BD AB 故答案为：45AQB ∠=︒，21ABDE S =+四边形. (3) 存在．如下图，以AB 为边长，在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ，在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ．过点O 作OM ⊥MD ，交⊙O 于点M ，点M 在AC 的右上方．过点M 作AC 的平行线DE ，AE ∥BC ，BC 的延长线交DE 于点D ，AE 交⊙O 于点H ．则此时满足∠AMB=30°，此时四边形ABDE 的面积最大．作OF ⊥AE 于F ，OM 与AE 相交于点N ．∵AE ∥CD ，DE ∥AC∴四边形ACDE 是平行四边形∴AE=CD ，DE=AC=2∴∠EDC=∠ACB=45°∴∠AEM=∠EDC=45°∴OM ⊥DE∴∠NME=90°∴MN ，∠MNH=45°由（2）知，∴⊙O .连接BH ，∵AE ∥BC ，∠ABC=90°∴∠BAH=180°-∠ABC=90°∵∠AMB=30°，=AB AB∴∠AHB=∠AMB=30°∴=AH ∵OF ⊥AH ，点O 是圆心∴1==22AF AH根据勾股定理得2OF ∵∠FNO=∠MNH=45°∴=1=，ON FN OF∴1=-=MN OM ON∴2=NE∴CD=AE=AF+FN+NE=2∴11=()(222222四边形最大面积+⨯=-+++ABDE S AE BD AB=故答案为：当42m =时，四边形ABDE 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质、平行四边形的判定及其性质以及圆的性质．本题综合性强，难度大，在第三问中，根据定弦定圆周角找到辅助圆解决问题，这是近年来中考的一个热点3．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）65t -= 【解析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+，把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩， ∴()2,2E -，易证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，∴AN =DM ，HN =GM ，∴AH DG =，由直线CE 的解析式112y x =-+，可求点D （0，1） ∴DG =1—t ，∴1d t =-+；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，易证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，由（2）问可知1t AH GD ==-，则6t HC =-∴6t BG MT ==-，∴MN MT =，∵90KNM LTM ∠=∠=︒，∴ENH ≌EMG ，∴L NKM ∠=∠，设KMN α∠=，则KMB KMN α∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=，在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得64215t +=（不合题意舍去）或64215t -= 故，6421t -=．【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．4．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）329AB BC =；（3）①125615-；②355AD CD =．【解析】【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值；（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5210AB k k BC ==．（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3，∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵105AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=，∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ，∴3126AE E D C F AF ===，设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°，∴3CF x =， ∴(23)35AC x =+=，解得：65315DF x ==-∴2125615CD DF ==-．②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵10AB BC =， ∴10AB． ∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=．分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△．∴DF AF AE EC =． ∴33543k k -=，解得35k =∴52CD k ==，92AD ===．∴95AD CD ===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．5．A解析：（1）详见解析；（2）y x=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ，∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x x-+≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．E解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）277BK a =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1(62)4- 【解析】【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA=，即可求出答案；（3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）3EF EC =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形，EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=3AE EC ∴=，3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=.AF CD ⊥，垂足为F ，1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 3AF a ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，7BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，AB BK FB BA∴=， 277BK a ∴=，（3）如图：①AGH 是等边三角形.理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ，60BCH ABC ︒∴∠=∠=，120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅，,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，AF ∴=.1(32ADH S =， 11(322DH ∴⨯=，1DH ∴=1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .在Rt CMH 中，sin CM CHM CH∠=， 12CM ∴=，在Rt AMC 中，sin CM MAC AC ∠=， 1sin 4MAC ∴∠=. 又GAB HAC ∠=∠，1sin sin (62)4GAB HAC ∴∠=∠=-；【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．7．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t 的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan 3A =，可得出PN 与AP 的关系，从而求出t 的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M 在△ABC 内，另一种是点M 在△ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM 所在的直线将△ABC 的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC 的面积平分．【详解】（1）如图1，点N 在AC 上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t∵4tan 3A =∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2 四边形PQMN 是正方形， 90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73t =，故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3，图3 90BQF ∠=︒，45B ∠=︒， 7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-， 90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩．（3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4 tan3A=∴设CG=4x，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABCS==∴128 2ABCS=情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E 图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=14∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t ∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．8．B解析：（1）∠BPC＜∠BAC；（2）点P坐标为（220）；（3）sin∠APB的最大值为1．【解析】【分析】（1）如图，设PB与⊙O交于点D，连接CD，根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，根据三角形外角性质可得∠BDC＞∠BPC，进而可得答案；（2）如图，作过A、B两点的⊙C，与x轴相切于点P，连接AC、BC、PC，可知x轴正半轴上的点除P点外都在⊙C外，由（1）可得∠APB的度数最大，根据锐角的度数越大，余弦值越小可得点P即为所求，由AC=BC可得点C在AB的垂直平分线上，由A、B坐标可得点C纵坐标为3，根据切线的性质可得PC⊥x轴，可得PC=BC=3，设P（x，0），则P （x，3），根据两点间距离公式列方程求出x的值，即可得答案；（3）如图，过点B作BH⊥CD于H，过点A作AM⊥DE于M，延长AM至N，使MN= AM，过N作DE的平行线l，作FG⊥l于G，交DE于Q，以AB为直径作⊙F，交直线l于C=可得BH的长，可得AD的长，可求出P，由AB、CD的长可求出CH点长，根据tan2△ADE点面积，根据S△DEP=9可得△ADE与△DEP对应高的比为2：1，可得点P在直线l 上，根据等腰直角三角形点性质可求出FG的长，可得FG＜AB，可知⊙F与直线l有两个交点，根据圆周角定理可得∠APB=90°，可得∠APB正弦的最大值．【详解】（1）如图，设PB与⊙O交于点D，连接CD，∵∠BAC和∠BDC是BC所对的圆周角，∴∠BAC=∠BDC，∵∠BDC是△PDC的外角，∴∠BDC＞∠BPC，∴∠BPC＜∠BAC．（2）如图，作过A、B两点的⊙C，与x轴相切于点P，连接AC、BC、PC，∵x轴正半轴上的点除P点外都在⊙C外，∴∠APB的度数最大，∵锐角的度数越大，余弦值越小，∴点P即为所求，∵AC=BC，∴点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，2），B（0，4），∴点C点纵坐标为3，设点P坐标为（x，0），∵⊙C与x轴相切于点P，∴PC⊥x轴，∴点C坐标为（x，3），BC=PC=3，22(43)x+-，解得：x=22∴点P坐标为（22，0）．（3）如图，过点B作BH⊥CD于H，过点A作AM⊥DE于M，延长AM至N，使MN=12AM，过N作DE的平行线l，作FG⊥l于G，交DE于Q，以AB为直径作⊙F，交直线l于P，∵tan2C=，AB=8，CD=11，∴BH2CH=，CH=3，解得：BH=6，∴AD=6，∵AD=AE，∴S△ADE=18，∵S△DEP=9，AN⊥DE，DE//l，MN=12 AM，∴点P在直线l上，∵△ADE是等腰直角三角形，∴2，32，∵BF=12AB=4，BE=AB-AE=2，∴EF=2，∵∠FEQ=45°，∠FQE=90°，∴2，∴2+322=522＜FB，∴⊙F与直线l有两个交点，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴sin∠APB的最大值为1．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形点性质及锐角三角函数的定义，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边．9．F解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）214322S x x =-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【解析】【分析】（1）如图1中，在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x ，再根据△AEF ∽△DFM ，可得3124FDMAE DF C ∆==，由此即可解决问题；（2）△FDM 的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；（3）作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．由△AFB ≌△KEG ，可得FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -，设AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+，根据S=82AE DG +⨯，构建二次函数即可解决问题；【详解】解：（1）在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，由勾股定理，得：42﹢x 2=(8-x)2，∴x=3，∴AE=3，EF=5．∴△AEF 的周长为12，如图，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF ，∴△AEF ∽△DFM ， ∴AEDF =34=12FDMC ， ∴△FDM 的周长为16；（2）△FDM 的周长不会发生变化；理由：如下图，设AF=x ，EF=8-AE ，x 2+AE 2=（8-AE ）2，∴AE=21416x -， ∵△AEF ∽△DFM ，∴8FDMAE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416FDM x x C x ∆-+==-．（3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．∵B 、F 关于GE 对称，∴BF ⊥EG ，∴∠FBE=∠KGE ，在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB ≌△KEG ，∴FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+， ∴梯形AEGD 的面积为：22211184(44)432216162AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++， ∴221188(432)43222S x x x x =⨯--++=-+，当S=26时，有 21432262x x -+=，解得：x=2或x=6，∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．10．A解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，。

中考数学二轮复习中考数学压轴题知识点-+典型题附解析

一、中考数学压轴题1．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________．猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．3．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB 折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与实践A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是42:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点()ABCD AD ABAB=求CF的B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD折痕EF交BD于点O，连接,BE判断四边形BFDE的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．5．如图，在等边ABC ∆中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接BE ，DE ．（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且DF CD =，求证：12AB EF =；（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=︒直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系6．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标；（3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．12．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ．（1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为．（2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；（3）如图4，QE ，QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ，且点P 在EF 左侧．①若∠EPF ＝60°，则∠EQF ＝．②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系，并说明理由；13．如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交O于A B、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．OM ．（2）已知M是O一点，1cm①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。