最新高考数学总复习：常用逻辑用语
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 4基本不等式课件
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
2024新高考数学总复习(常用逻辑用语)
考点二 全称量词与存在量词 1.全称量词和存在量词 全称量词(∀):所有的、任意一个等. 存在量词(∃):存在一个、至少有一个等. 2.全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题:对M中任意一个x,p(x)成立,即∀x∈M,p(x). 存在量词命题:存在M中的元素x,p(x)成立,即∃x∈M,p(x). 3.全称量词命题和存在量词命题的否定
1 2
,
2,使得2x2-λx-1<0成立”
是假命题,则实数λ的取值范围为
.
解析
若“∃x∈
1 2
, 2,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈
1 2
,
2,
使得2x2-λx-1≥0成立”是真命题,由于x∈
1 2
,
2
,所以λ≤
2
x2 x
1=2x-
1 x
在x
∈
1 2
,
2
上恒成立,则λ≤
高考 数学
专题一 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
基础篇
考点一 充分条件与必要条件 1.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.若p⇒q,且q⇒/ p ,则p是q的充分不必要条件. 3.若p⇒/ q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件. 4.若p⇔q,则p是q的充要条件. 5.若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
8
题意,故选AC.
答案 (1)B (2)AC
名师点睛:判断充分、必要条件的两种方法 1.定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件 是什么、结论是什么. 2.集合法:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围 推得大范围,即可解决充分、必要性的问题.
数学常用逻辑用语
数学常用逻辑用语
1. 嘿，数学常用逻辑用语就像一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！比如“如果今天下雨，我就带伞”，这不就是典型的条件语句嘛！
2. 哇塞，数学常用逻辑用语可是很重要的呀！就像我们说话做事要有条理一样，比如“要么吃苹果，要么吃香蕉”，多明确呀！
3. 哎呀，数学常用逻辑用语真的超有意思！就像走迷宫有了指引，比如“所有的三角形内角和都是 180 度”，这就是普遍真理呀！
4. 嘿呀，数学常用逻辑用语可不是吃素的！就好像给你指明方向的灯塔，比如“若一个数是偶数，那它一定能被 2 整除”。
5. 哇哦，数学常用逻辑用语那可太关键啦！就如同游戏规则一样，比如“存在一个数使得等式成立”，这多神奇！
6. 哟呵，数学常用逻辑用语简直妙不可言！好比是搭建房子的基石，比如“只要努力学习，就会取得好成绩”。
7. 哈哈，数学常用逻辑用语太好玩啦！就像一个神秘的密码锁，比如“当且仅当条件满足时才成立”，是不是很特别！
8. 哎呀呀，数学常用逻辑用语真的很神奇呢！就像我们走路要有路线一样，比如“非此即彼”的判断。
9. 嘿哟，数学常用逻辑用语真的超厉害！就如同给你力量的魔法，比如“若 A 则B”这样的逻辑关系。
10. 哇啦，数学常用逻辑用语那可是相当重要啊！就好像是航行中的指南针，比如“不是正数就是负数或0”。
我觉得数学常用逻辑用语是数学中非常基础且关键的部分，掌握了它，能让我们更好地理解和运用数学知识呀！。
高中数学常用逻辑用语知识点
高中数学常用逻辑用语知识点一、知识概述《高中数学常用逻辑用语知识点》①基本定义：- 命题：能判断真假的陈述句。
就好比我们在生活中说出的一句有明确对错的话。
比如“今天是晴天”，这就是一个能看出来真假的陈述句，那它就是一个命题。
要是说“你好啊”，这就不是命题，因为它没法判断真假。
- 简单命题：就像简单的一句话表达一个判断。
例如“2大于1”。
- 复合命题：是由简单命题通过一些逻辑连接词（像“且”“或”“非”）组合在一起的命题。
比如说“2大于1且3小于5”，这里就是两个简单命题通过“且”连接起来了。
②重要程度：- 在高中数学里，常用逻辑用语是构建数学推理和证明的基础材料。
就像盖房子的砖头一样重要。
很多数学定理的推导和证明都离不开准确的逻辑判断。
③前置知识：- 需要对基本的数学运算和数的概念比较熟悉。
比如说你得知道数的大小关系才能判断像“3大于2”这样的命题真假。
④应用价值：- 在数学解题的时候，逻辑用语能帮我们准确地分析题目条件，制定解题思路。
在实际生活里，像判断一些事情的合理性，逻辑思维也非常有用。
比如说在判断一个商业计划是否可行的时候，就有点像判断命题真假的过程。
二、知识体系①知识图谱：- 在高中数学整个体系中，常用逻辑用语像经脉一样贯穿于代数、几何等各个领域。
它是我们搞清楚数学概念之间关系，进行数学论证的工具。
②关联知识：- 和集合知识有紧密联系。
比如说集合的关系就可以用逻辑用语来描述。
集合A包含于集合B，就等价于“若元素x属于A，则x属于B”这样一个逻辑关系。
③重难点分析：- 掌握难点在于复合命题真假性的判断。
关键是要理解逻辑连接词“且”“或”“非”在不同情况下对命题真假性的影响。
比如“且”表示两个都要为真才真，“或”是只要有一个为真就真。
④考点分析：- 在考试中频繁出现。
考查方式有直接判断命题真假，根据命题真假求参数范围等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 命题这个概念，一定要是陈述句，而且能够判断真假。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 1集合课件
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）任何一个集合都至少有两个子集.
( ×)
（2）{ = 2 + 1} = { = 2 + 1} = { , | = 2 + 1}. ( × )
∈
∉
不属于
______;如果不是集合中的元素，就说________集合，记作______.
列举法
描述法
图示法
（3）集合的表示方法：________、________、________.
（4）常用数集及其记法：
数集 非负整数集（或自然数集）
符号
___
正整数集 整数集 有理数集 实数集
∗ 或( )
_________
+
___
___
___
复数
集
___
2.集合间的基本关系
分类
子集
真子集
文字语言
任意一个
不属于
记法
⊆
_______（或
⊇
_______）
⫋
_______（或
Ý
_______）
=
_______
相等
空集
符号语言
不含任何元素的集合
⌀
___
3.集合的基本运算
（2）（2023年全国乙卷）设集合 = ，集合 = {| < 1}， = {| − 1 < < 2}，
则{| ≥ 2} =(
A.∁
√
∪
)
B. ∪ ∁
高考数学知识点大全
高考数学知识点大全一、集合与常用逻辑用语。
1. 集合。
- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。
- 集合间的关系：子集、真子集、相等集合的定义与判断。
- 集合的运算：交集、并集、补集的定义、性质及运算规律。
例如：A∩B={xx∈ A且x∈ B}，A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
2. 常用逻辑用语。
- 命题：命题的概念，真命题、假命题的判断。
- 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的相互关系，互为逆否命题的真假性相同。
- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充分必要条件。
- 逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）的含义及命题真假的判断。
例如：p∧ q为真当且仅当p，q都为真；p∨ q为真当且仅当p，q至少一个为真；¬ p与p真假相反。
二、函数。
1. 函数的概念。
- 函数的定义：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
求函数定义域的常见情况，如分式分母不为零，偶次根式被开方数非负等。
- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。
2. 函数的基本性质。
- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_1,x_2，当x_1 < x_2时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。
判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。
- 奇偶性：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（偶函数）或f(-x)= - f(x)（奇函数）。
高考数学真题题型分类解析专题01 集合与常用逻辑用语
高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析 专题01集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语命题解读考向 考查统计1.高考对集合的考查，重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.2.高考对常用逻辑用语的考查重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 交集的运算2022·新高考Ⅰ卷，12023·新高考Ⅰ卷，1 2024·新高考Ⅰ卷，1 2022·新高考Ⅱ卷，1根据集合的包含关系求参数 2023·新高考Ⅱ卷，2 充分必要条件的判定2023·新高考Ⅰ卷，7全称、存在量词命题真假的判断 2024·新高考Ⅱ卷，2命题分析2024年高考新高考Ⅱ卷未考查集合，Ⅰ卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考Ⅱ卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。
预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。
试题精讲1．（2024新高考Ⅰ卷·1）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =−<<=−−∣，则A B =∩（ ） A ．{1,0}− B ．{2,3} C ．{3,1,0}−− D ．{1,0,2}−【答案答案】】A2．（2024新高考Ⅱ卷·2）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ¬和q 都是真命题 C ．p 和q ¬都是真命题D ．p ¬和q ¬都是真命题1．（2022新高考Ⅰ卷·1）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ∩=（ ） A ．{}02x x ≤<B ．123x x≤<C ．{}316x x ≤<D ．1163x x≤<A ．{}2,1,0,1−−B ．{}0,1,2C ．{}2−D ．{}2A ．{1,2}−B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}−4．（2023新高考Ⅱ卷·2）设集合，，若，则（）．A ．2B ．1C ．23D ．1−【答案答案】】B【分析分析】】根据包含关系分20a −=和220a −=两种情况讨论，运算求解即可. 【详解详解】】因为A B ⊆，则有则有：：若20a −=，解得2a =，此时{}0,2A =−，{}1,0,2B =，不符合题意不符合题意；； 若220a −=，解得1a =，此时{}0,1A =−，{}1,1,0B =−，符合题意符合题意；； 综上所述综上所述：：1a =. 故选故选：：B. 5．（2023新高考Ⅰ卷·7）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件一、元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2、集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 5、常用数集的表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号N*N 或N +ZQR二、集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. （3）相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ∩，即{}|A B x x A x B ∩=∈∈且．（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ∪，即{}|A B x x A x B ∪=∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．四、集合的运算性质（1），，A B B A =∩∩，A B A ∩⊆，A B B ∩⊆． （2）A A A =∪，A A ∅=∪，A B B A =∪∪，A A B ⊆∪，B A B ⊆∪． （3），()U A C A U =∪，()U U C C A A =． （4）U UU A B A A B B A B B A A B ∩=⇔∪=⇔⊆⇔⊆⇔∩=∅痧?A A A =∩A ∅=∅∩()U A C A =∅∩【集合常用结论集合常用结论】】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n −个，非空子集有21n −个，非空真子集有22n −个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆∩∪． （4）()()()U U U C A B C A C B =∩∪,()()()U U U C A B C A C B =∪∩．五、充分条件充分条件、、必要条件必要条件、、充要条件1、定义如果命题“若p ，则q ”为真（记作p q ⇒），则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件（也说p 和q 等价）； （4）若p q ¿且q p ¿，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．六、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 七、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ¬为0x M ∃∈，0()p x ¬． （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ¬为,()x M p x ∀∈¬． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【常用逻辑用语常用结论常用逻辑用语常用结论】】 1、从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==．（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件（p q ⇒），q 是p 的必要条件；若A B 躡，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ¿； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”． （2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件．集合三模题一、单选题1．（2024·河南·三模）命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定是（ ） A ．20,10x x x ∀>+−> B ．20,10x x x ∀>+−≤ C ．20,10x x x ∃≤+−>D ．20,10x x x ∃≤+−≤【答案答案】】B【分析分析】】根据存在量词命题的否定形式根据存在量词命题的否定形式，，即可求解. 【详解详解】】根据存在量词命题的否定为全称量词命题根据存在量词命题的否定为全称量词命题，， 即命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定为“20,10x x x ∀>+−≤”. 故选故选：：B. 2．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}2,{|ln 1}M x x N x x ==<∣…，则M N ∩=（ ） A ．[)2,eB ．[]2,1−C ．[)0,2D ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】由对数函数单调性解不等式由对数函数单调性解不等式，，化简N ，根据交集运算求解即可. 【详解详解】】因为[]()2,2,0,e M N =−=， 所以(]0,2M N =∩. 故选故选：：D. 3．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x==−≤−≤，，则A B =∩（ ） A ．11510x x≤≤B ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x≤≤4．（2024·陕西·三模）已知集合A =A ．RB ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】先解一元二次不等式求出集合【详解详解】】由230x x −+>，解得03x <<所以3|}1{A B x x ∪=−≤<，所以A 故选故选：：D. 5．（2024·安徽·三模）已知集合A x=为（ ）A ．{}21x x −≤≤ C ．{}52x x −≤≤−6．（2024·湖南长沙·三模）已知直线使点P 在圆O 内”的（ ） A ．充分不必要条件 C ．充要条件【答案答案】】B【分析分析】】由直线与圆相交可求得1−<【详解详解】】由直线l 上存在点P ，使点解得11k −<<，即()1,1k ∈−，因为1k <不一定能得到11k −<<，而11k −<<可推出1k <，所以“k <1”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的必要不充分条件. 故选故选：：B 7．（2024·湖北荆州·三模）已知集合{}220A x x x =−≤，B A =R ð，其中R 是实数集，集合(],1C ∞=−，则B C ∩=（ ）A ．(],0−∞B ．(]0,1C ．(),0∞−D ．()0,18．（2024·北京·三模）已知集合ln 1A x x =<，若a A ∉，则a 可能是（） A ．1eB ．1C ．2D ．3【答案答案】】D【分析分析】】解对数不等式化简集合A ，进而求出a 的取值集合即得.【详解详解】】由ln 1x <，得0e x <<，则{|0e}A x x =<<，R {|0A x x =≤ð或e}≥， 由a A ∉，得R a A ∈ð，显然选项ABC 不满足不满足，，D 满足. 故选故选：：D 9．（2024·河北衡水·三模）已知函数()()22sin x xf x m x −=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案答案】】B【分析分析】】由函数()f x 是奇函数是奇函数，，可求得1m =，可得结论. 【详解详解】】若函数()f x 是奇函数是奇函数，，则()()()()()22sin 22sin (1)22sin 0x x x x x xf x f x m x m x m x −−−+−=+⋅−+⋅=−−=恒成立恒成立，，即1m =，而21m =，得1m =±．故“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件的必要不充分条件．． 故选故选：：B ．10．（2024·内蒙古·三模）设α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且l αβ=∩则“//m l ”是“//m β且//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案答案】】C【分析分析】】根据题意根据题意，，利用线面平行的判定定理与性质定理利用线面平行的判定定理与性质定理，，结合充分条件结合充分条件、、必要条件的判定方法必要条件的判定方法，，即可求解.【详解详解】】当//m l 时，m 可能在α内或者β内，故不能推出//m β且//m α，所以充分性不成立所以充分性不成立；； 当//m β且//m α时，设存在直线n ⊂α，n β⊄，且//n m ，因为//m β，所以//n β，根据直线与平面平行的性质定理根据直线与平面平行的性质定理，，可知//n l ， 所以//m l ，即必要性成立即必要性成立，，故“//m l ”是“//m β且//m α”的必要不充的必要不充分条件分条件. 故选故选：：C. 11．（2024·北京·三模）已知(){}2log 11A x x =−≤，{}32B x x =−>，则A B =∩（ ）A ．空集B ．{3x x ≤或}5x >C ．{3x x ≤或5x >且}1x ≠D ．以上都不对A ．∅B ．{}0C ．{}0,2,3,5D ．{}0,3A ．(1,4)−B ．1,14C ．1,12D ．1,22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误二、多选题16．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（）A ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a <−B ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a ≤−C ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a ≥−D ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a >−17．（2024·辽宁·三模）已知12max ,,,n x x x 表示12,,,n x x x 这个数中最大的数．能说明命题“，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题的对应的一组整数a ，b ，c ，d 值的选项有（ ）A ．1，2，3，4B ．3−，1−，7，5C ．8，1−，2−，3−D ．5，3，0，1−【答案答案】】BC【分析分析】】根据{}12max ,,,n x x x 的含义说明AD 不符合题意，举出具体情况说明BC ，符合题意即可.【详解详解】】对于A ，D ，从其中任取两个数作为一组从其中任取两个数作为一组，，剩下的两数作为另一组剩下的两数作为另一组，，由于这两组数中的最大的数都不是负数由于这两组数中的最大的数都不是负数，，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，，故都能使得命题“,,,R a b c d ∀∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”成立成立；；对于B ，当{}{}{}max ,max 3,11,max 7,57a b =−−=−=时，而{}max 3,1,7,57−−=，此时177−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；； 对于C ，当{}{}{}max ,max 8,18,max 2,32a b =−=−−=−时，而{}max 8,1,2,38−−−=，此时288−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；； 故选故选：：BC 18．（2024·重庆·三模）命题“存在0x >，使得2210mx x +−>”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．2m >−B ．1m >−C ．0m >D ．1m >A ．11a b <B ．|2||2|a b −>−C ．22a b ab a b −>−D ．()()22ln 1ln 1a b +>+有且仅有3个不同元素，则实数m 的值可以为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、填空题21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}1,2,4A =，{}2,B a a =，若A B A ∪=，则=a ．【答案答案】】{}0,1【分析分析】】把集合中的元素代入不等式331x x −≤检验可求得{0,1}A B =∩.【详解详解】】当0x =时，303001−×=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121−×=−≤，所以1B ∈，当2x =时，323221−×=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B =∩.23．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合{},1A a a =+，集合{}2N 20|B x x x =∈−−≤，若A B ⊆，则=a ．25．（2024·安徽·三模）已知集合,2,1,,A B yy x x A λ=−==∈∣，若A B ∪的所有元素之和为12，则实数λ=. 【答案答案】】3−【分析分析】】分类讨论λ是否为1,2−，进而可得集合B ，结合题意分析求解.【详解详解】】由题意可知由题意可知：：1λ≠−且2λ≠，当x λ=，则2y λ=；当2x =，则4y =；当=1x −，则1y =；若1λ=，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为6，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若2λ=−，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为4，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若1λ≠且2λ≠−，则{}21,4,B λ=，故2612λλ++=，解得3λ=−或2λ=（舍去舍去）；）；综上所述综上所述：：3λ=−.26．（2024·山东聊城·三模）已知集合{}{}21,5,,1,32A a B a ==+，且A B A ∪=，则实数a 的值为．C 的个数为.A B ∪=．。
常用逻辑用语高中数学
常用逻辑用语高中数学在高中数学的学习中，“常用逻辑用语”是一个重要且有趣的部分。
它就像是我们数学世界中的语言规则，帮助我们清晰准确地表达和理解各种数学关系和命题。
首先，我们来聊聊命题。
命题是一个可以判断真假的陈述句。
比如说，“3 大于2”，这就是一个真命题；而“1+1=5”，显然是个假命题。
命题有简单命题和复合命题之分。
简单命题就像是一个独立的个体，比如“今天是晴天”。
复合命题则是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的，像“如果今天下雨，那么我就带伞”，这里面就用到了“如果……那么……”这样的逻辑连接词。
在常用逻辑用语中，“且”“或”“非”这三个逻辑连接词可是非常关键的角色。
“且”表示的是两个条件要同时满足。
比如说，“x 大于 2 且 x小于5”，这意味着 x 既要大于 2 又要小于 5 。
“或”则相对宽松一些，只要满足其中一个条件就行。
像“x 大于 3 或 x 小于0 ”，x 只要符合大于3 或者小于0 其中一个情况就可以。
“非”呢，就是对原命题的否定。
比如命题“x 大于5”的否定就是“x 小于等于5”。
充分条件和必要条件也是我们经常会碰到的概念。
如果有 A 就能推出 B ，那么 A 就是 B 的充分条件；反过来，如果有 B 就一定有 A ，那 A 就是 B 的必要条件。
举个例子，如果“x 是偶数”，那么“x 能被 2整除”，“x 是偶数”就是“x 能被 2 整除”的充分条件；而“x 能被 2 整除”就是“x 是偶数”的必要条件。
再来说说全称量词和存在量词。
“所有”“任意”“一切”这样的词就是全称量词，带有全称量词的命题叫做全称命题。
比如“所有的三角形内角和都是 180 度”。
“存在”“至少有一个”这样的词就是存在量词，带有存在量词的命题称为特称命题。
像“存在一个实数 x ，使得 x 的平方等于1 ”。
在解题的时候，我们要特别注意对命题的真假判断。
对于复合命题，我们要根据逻辑连接词的性质来判断。
而对于充分条件、必要条件的判断，要准确理解它们之间的逻辑关系。
高中数学常用逻辑用语(1)
2022年11月20日常用逻辑用语一、命题与量词1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以的叫做命题。
2、命题的分类：①真命题②假命题3、全称量词：短语“所有”、“任意”、“每一个”、“一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题称为。
4、存在量词：短语“有一个”、“存在一个”、“至少有一个”、“有的”、“有些”、“某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号表示，读作“存在”。
存在量词的命题称为。
5、基本逻辑联结词：这些词叫做逻辑联结词。
复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p (即命题p 的否定)。
复合命题的真假判断(利用真值表)：pq 非p (p ⌝)p 或q (q p ∨)p 且q (q p ∧)真真真假假真假假二、四种命题的关系1、四种命题的形式：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：①原命题：若p 则q ；②逆命题：；③否命题；④逆否命题：。
(1)原命题⇔逆否命题，它们具有相同的真假性。
(2)逆命题⇔否命题，2、否命题与否定命题的区别：“否命题”与“命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若p 则q ”，那么这个命题的否命题是“若非p ，则非q ”，而这个命题的否定是“若p 则非q ”。
可见，否命题既否定又否定，而命题的否定只否定。
三、充分条件与必要条件1、定义：“若p 则q ”是真命题⇔q p ⇒⇔p 是q 的充分条件⇔q 是p 的必要条件2、从集合的观点上，建立与p 、q 相应的集合，即p ：})(|{成立x p x A =，q ：})(|{成立x q x B =。
(1)若B A ⊆，则p 是q 的充分条件，若A ≠⊂B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；(2)若A B ⊆，则p 是q 的必要条件，若B ≠⊂A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；(3)若B A =，则p 是q 成立的充要条件；(4)若B A ⊄且A B ⊄，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件。
2025年高考数学一轮复习课件第一章集合与常用逻辑用语、不等式-1.2常用逻辑用语
记作_______且_______
充要
是的充分必要条件（简称______条
件）
是的既不充分也不必要条件
⇔
记作_______
⇏
⇏
记作_______且_______
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2.全称量词与存在量词
全称量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用
故选C.
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（2）（2022年浙江卷）设 ∈ ，则“sin = 1”是“cos = 0”的(
A.充分不必要条件
√
)
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
π
2
π
2
解：（方法一）{ sin = 1} = { = + 2π ， ∈ } ⫋ {| = + π ，
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.2 常用逻辑用语
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课外阅读
课时作业
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件
的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件
的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件
A.充分不必要条件
√
C.充要条件
)
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：若: 2 − 3 < 1为真命题，则1 < < 2.若: − 3 < 0为真命题，则
0 < < 3.因为 1,2 ⫋ 0,3 ,所以是的充分不必要条件.故选A.
第2节常用逻辑用语--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
(3)∃m∈N,√m2 + 1∈N;
(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
解 (1)∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0,没有实根.假命题.
(2)有些正方形不是平行四边形.假命题.
(3)∀m∈N,√2 + 1 ∉N.假命题.
(4)所有的四边形ABCD,其内角和等于360°.真命题.
考点三全称量词与存在量词(多考向探究预测)
考向1含有一个量词的命题的否定
例
4(1)(2024·安徽合肥模拟)命题“∀α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α>2”的否定为
( C )
A.∀α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α≤2
B.∃α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α>2
C.∃α∈(0,4 ),sin2α+tan
件的是( C )
A.x2<y2
B.xz<yz
C.xz2 024<yz2 024
D.x+x5<y+y5
解析 若x2<y2,可能有y<x<0,不能推出x<y,充分性不成立,故A错误;若xz<yz,
当z<0时,有x>y,此时x<y不成立,充分性不满足,故B错误;由xz2 024<yz2 024得
z≠0且z2 024>0,此时x<y成立,反之若x<y,当z=0时,xz2 024<yz2 024不成立,故C正
题组二连线高考
5.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的( A )
高中数学知识点总结：常用逻辑用语
高中数学知识点总结：常用逻辑用语
高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中数学知识点总结：常用逻辑用语，各位考生可以参考。
常用逻辑用语：
1、四种命题：
⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若 p 则q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ;否命题是 .命题或的否定是且且的否定是或 .
3、逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真真真真假
⑶非(not)：命题形式 p . 真假假真假
假真假真真
假假假假真
或命题的真假特点是一真即真，要假全假
且命题的真假特点是一假即假，要真全真
非命题的真假特点是一真一假
4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
5、全称命题与特称命题：
短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
全称命题p： ; 全称命题p的否定 p：。
特称命题p： ; 特称命题p的否定 p：
以上就是高中数学知识点总结：常用逻辑用语的全部内容，更多考试资讯请继续关注!。
常用逻辑用语-高考数学复习
1.2 常用逻辑用语
内容索引
第一部分ห้องสมุดไป่ตู้
01 02
第二部分
01 02 03
第三部分 第四部分
必备知识 回顾 知识梳理 基础检测 关键能力 提升 考点1 充分、必要条件的判定 考点2 简单 考点3 简单的 学科素养 聚焦 课时作业
考试要求
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，理解 性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．
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规律总结
判断充分条件、必要条件的三个法宝 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．判断条件 p， q 之间的关系时要注意条件之间关系的方向；要注意“p 是 q 的充分不必要条件含义是 p ⇒q 但 q⇒/ p”，“q 是 p 的充分不必要条件含义是 q⇒p 但 p⇒/ q”，同时，还要正确理解 “p 的一个充分不必要条件是 q”的含义． (2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中 涉及字母取值范围的推断问题．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧， 即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题． (3)等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题的判断问题．
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14
3.(教材改编题)方程 x2－ax＋a－1＝0 有一正一负根的充要条件是 a∈(－∞，1) ．
解析：依题意得 a－1<0，∴a<1.
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4.(教材改编题)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是
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知识网络:
目标认知
考试大纲要求：
1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点：
充分条件与必要条件的判定.
难点：
根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理
知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题；
（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如：一定推出.
②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.
（3
非
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.
注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p 成立且q不成立，
二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
原命题：若p则q；逆命题：若q则p；
否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系
①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：
①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
2. 理解认知：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论
推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.
“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的
同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真
假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；
与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为A B；A=B可判断为A B，且B A，即A B.
如图：
“”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
（I）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题，叫做全称称命题。
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
（I）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p：，他的否定：。
全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p：，他的否定：。
特称命题的否定是全称命题。
注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照
可加深认识和理解.
4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。
对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证
明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条
件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.
5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。