生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
' 当x∈(0,16)时， S x > 0; 当x∈(16,+∞) 时， S' x < 0; .因此，x=16是函数S(x)的 极小值点，也是最小值点.所以，当版心 高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白 面积最小.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的 制造成本是 0.8πr 2 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半 径.已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制 造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多 大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y =f
r = 0.2
4 πr 3 - 0.8πr 2 3
r3 2 = 0.8π - r , 0 < r ≤ 6. 3
令
f'
r
= 0.8π r 2 - 2r = 0
r 0.当r 0,2时, 当r 2,6时, f ' r 0.
0 < x < 2.5
令 V ' = 12x 2 - 52x + 40 = 0
4 x - 1 3x - 10 = 0 10 得： x1 = 1, x 2 = （舍去） 3 '
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
生活中的优化问题举例图文
安排休息时间
总结词
合理安排休息时间是优化健康管理的重要环节，有助于 恢复身体机能和缓解压力。
详细描述
保证充足的睡眠时间，合理安排工作和休息时间，采用 适当的放松方式，如冥想、瑜伽等，有助于恢复身体机 能和缓解压力。
总结词
创造良好的睡眠环境，保持规律的睡眠习惯，有助于提 高睡眠质量。
详细描述
保持安静、黑暗、舒适的睡眠环境，避免睡前过度兴奋 或刺激，保持规律的睡眠习惯，有助于提高睡眠质量。
自身能力范围。
制定工作计划
01
分解任务
将工作目标分解为具体的任务， 明确任务的责任人、完成时间和 所需资源。
安排时间
02
Байду номын сангаас
03
调整计划
根据任务的紧急性和重要性，合 理安排工作时间，确保任务按时 完成。
在执行过程中，根据实际情况及 时调整工作计划，以适应变化和 应对突发情况。
安排工作时间
避免过度劳累
总结词
结合日常生活和工作，灵活安排运动时间和场地，有助于 提高运动计划的可行性和持久性。
详细描述
根据个人生活和工作情况，灵活安排运动时间和场地，将 运动融入日常生活和工作中，有助于提高运动计划的可行 性和持久性。
总结词
注意运动安全，遵循正确的运动姿势和技巧，预防运动损 伤。
详细描述
在运动前进行适当的热身活动，遵循正确的运动姿势和技 巧，避免过度运动和损伤，注意运动安全。
总结词
学会放松自己，缓解压力和焦虑情绪。
详细描述
通过冥想、瑜伽、深呼吸等放松技巧来缓解压力和焦虑 情绪，学会放松自己。
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生活中的优化问题举例
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1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
导数在生活中的优化问题举例含答案
生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。
生活中的优化举例
可以节省时间和交通费用，方便快捷地购买商品，还可以享受 送货上门的服务。
线上购物的注意事项
需要注意商品的质量和真实性，以及商家的信誉度和售后服务 ，避免遇到假货或欺诈行为。
03
健康优化
饮食优化
平衡饮食
保持饮食平衡，摄入足够的蔬菜、水果、全谷类和蛋白质来源 ，减少过度摄入高热量、高脂肪和高糖分的食物。
主动思考
不仅仅被动地接受知识，而是要主动思考和解决 问题，培养批判性思维。
复习与巩固
定期回顾和复习所学内容，加强记忆和理解，形 成长期记忆。
学习资源选择优化
精选资源
选择高质量、权威的学习资源，如教材、参考书、在线课程等。
适应资源
根据个人学习风格和需求，选择适合自己的学习资源，如视觉型 、听觉型、动手实践型学习者分别选择图表、讲解或实践操作等 资源。
3
适度强度
在运动过程中保持适度的强度和节奏，避免过 度疲劳和受伤。
睡眠优化
规律作息
保持规律的作息习惯，每天尽量在同一时间入睡和起床，以维持 正常的生物钟。
创造良好的睡眠环境
创造安静、黑暗和舒适的睡眠环境，避免使用电子设备如手机和 电视等在睡前一小时内。
控制睡眠时间
合理控制睡眠时间，成年人每晚通常需要7-9小时的睡眠，以保持精 力充沛和高效工作。
拓展资源
寻找与学习主题相关的其他资源，如相关论文、研究报告、案例工作流程优化
确定工作优先级
将任务按照优先级排序 ，先完成重要且紧急的 任务，再处理次要的任 务。
避免任务拖延
及时开始并完成每一项 任务，避免任务积压和 拖延。
建立工作流程图
制定详细的工作流程图 ，以便更好地了解任务 之间的依赖关系和执行 顺序。
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
生活中的优化问题举例
解析：设将这批货物全部运到最快需 t 小时，依题意 t ＝4v00＋16·2vv02＝4v00＋1460v0≥8.当且仅当4v00＝1460v0，即 v＝ 100 km/h 时，最快需 8 小时，故选 B.
答案：B
4．一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 50 元，就会多 一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费， 则房租定为________元时可获得最大收入．
因此乙方取得最大利润的年产量 t＝(10s00)2(吨)．
(2)设甲方净收入为 v 元，则 v＝st－0.002t2.
将 t＝(10s00)2 代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函 数关系式 v＝10s002－2×1s40003.
又 v′＝－10s0202＋8×1s50003＝10002×s85000－s3，令 v′＝0， 得 s＝20. 当 s<20 时，v′>0；当 s>20 时，v′<0，所以 s＝20 时，v 取得 最大值．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所 以，当 x≥1 时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]， 且 x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘 船的利润与前一艘比较，利润在减少.
费用最省问题 例 2 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部 是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角 形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时 用料最省(精确到 0.001 m)?
因此甲方向乙方要求赔付价格 s＝20(元/吨)时，获最大净收入．
探讨数学最优化问题在现实生活中的应用
探讨数学最优化问题在现实生活中的应用
数学最优化问题是现实生活中非常重要的一个领域。
它可以帮助我们在各种情况下找到最优解决方案，从而提高效率和效益。
以下将探讨数学最优化问题在现实生活中的应用。
1. 交通规划
在城市交通规划中，数学最优化问题可以帮助交通规划者确定哪些道路需要扩建或改建，以及如何设计路网、规划交叉口等问题。
通过对交通流量、拥堵状况等各种因素进行分析，可以通过建模求解来找到最优化的解决方案，以缓解交通拥堵问题，提高交通运输效率。
2. 财务分析
在企业财务分析中，数学最优化问题可以帮助企业确定最佳的经营策略和资金投资方案。
通过对市场需求、资产收益、风险等因素进行建模，利用各种优化算法求解，可以找到企业最优的经营策略和投资组合，从而最大化企业的盈利和效益。
3. 电力系统
在电力系统设计和管理中，数学最优化问题可以帮助工程师确定最佳的发电机容量、输电线路布局、电力市场展望等问题。
通过对电力供需、电力负载、电力成本等各种因素进行分析和建模，可以利用各种最优化算法求解目标函数，以达到最大化电力系统效益的目的。
4. 生产系统
在工业生产中，数学最优化问题可以帮助企业确定最佳的生产计划、生产布局、零部件库存管理等问题。
通过对资源利用率、工人效率、成本效益等因素进行建模，可以通过最优化求解来找到最佳的生产策略和生产规划，以提高生产效率和效益。
5. 医疗系统。
生活中的优化问题举例课件
跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
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优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
在此添加您的文本16字
学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
在此添加您的文本16字
避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。
3.4生活中的优化问题举例课件人教新课标3
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？
因此，当x=1时，y取最大值， 得y最大=-2+2.2+1.6=1.8， 这时容器的高为3.2-2x=1.2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
9
练习3、用总长14.8m的钢条制作一个长方 体容器的框架，如果所制作容器的底面的 一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容 器的容积最大？并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm，则另一边长为 (x+0.5)m，容器的高为 [14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义，要求x>0，3.2-2x>0， 解得x的取值范围是0<x<1.6.
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶 子的半径，单位是厘米，已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能 制作的瓶子的最大半径为6 cm.
问题：(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料 的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最 小？
3.4 生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
学案60答案 生活中的优化问题举例例1. 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ，则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)，即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x .因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36. 因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24，所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.例2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．例3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值．解： (1)设日销量q ＝k e x ，则k e 30＝100，所以k ＝100e 30， 所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x . 由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减，所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．四、反馈训练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件1.解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2.用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．2.解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数，当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数，所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)．3.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当12＜x ＜1时，y ′＜0，当0＜x ＜12时，y ′＞0； 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．五、课时作业．1.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)．(2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2，从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，f (2)＝1， 所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)∵蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 由h >0且r >0，可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大4．已知某公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需要另投入1.9万元．设R (x )(单位：万元)为销售收入，根据市场调查知R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3，0≤x ≤10，2003，x >10.其中x 是年产量(单位：千件)． (1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式；(2)求年产量为多少时，该公司可从这一产品生产中获得最大利润？解：(1)设年产量为x 千件，年利润为W 万元，依题意有W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x >10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10. f ′(x )＝－110x 2＋8.1，令f ′(x )＝0得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，f ′(x )>0；当9<x <10时，f ′(x )<0，故当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x >10时，f (x )＝1703－1.9x <1133<38.6. 即当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．5．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
生活中的优化问题
x 640
8x020
x3 803 640x2 (0x120)
1. 令h’(x)=0,得x=80
1. 当x∈(0,80)时，h’(x)<0,h(x)是减函数
1. 当x∈(80,120)时，h’(x)>0,h(x)是增函数
1. 所以，当x=80时，h(x)取极小值h(80)=11.25
1. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值
2.3生活中的优化问题
知识要点
生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最 高等问题，这些问题通常称为优化问题。解决的基本 思路是
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的解答
用导数解决数学问题
例1某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元， 要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则 x=______吨 解 ： 每 年 购 买 次 数 为 4 0 0 次 ， 设 总 费 用 为 y
解 ： 每 年 购 买 次 数 为 4 0 0 次 ， 设 总 费 用 为 y x
则 y =4 x 0 044x4 (4 0 x0x),(x0 )
法 2 ( 基 本 不 等 式 法 )x 0400x2 400 x40
x
x
当 且 仅 当 4 0 0 x ， 即 x = 2 0 时 ， 等r1R r(R r 1 )m ]
n m 2m m
2(Rr)[r1(Rrm )]
nm 2
2(Rr) 1(Rrm)(r2mrR2mR)
nm 2
nm
例4现有一张半径为R的磁盘, 存储区是半径介于r与R的环行
区域. 为了保障磁盘的分辨率, 磁道之间的宽度必须大于m,