第五章 判别分析
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第五章部分习题解答)

所以样品x=2.5判归 1. 判归G 因0.5218>0.3798>0.0984,所以样品 所以样品 判归
8
第五章 判别分析
5 − 3 设总体Gi 的均值为µ ( i ) (i = 1,2),同协差阵Σ. 1 ′µ (1) + a′µ ( 2 ) ), (其中a = Σ −1 ( µ (1) − µ ( 2) )), 记µ = (a 2 试证明(1)E(a′X | G1 ) > µ ; (2)E(a′X | G2 ) < µ . 1 (1) 1 (1) (2) ′X | G1) − µ = a′µ − (a′µ + a′µ ) = (a′µ(1) − a′µ(2) ) 解: E(a 2 2 1 (1) (2) −1 (1) (2) = (µ − µ )′Σ (µ − µ ) > 0, (因Σ > 0) 2 1 (1) (2) −1 (1) (2) 类似可证: E(a′X | G2 ) − µ = − (µ − µ )′Σ (µ − µ ) < 0,. 2 即 E(a′X | G1) > µ, E(a′X | G2 ) < µ .
第五章 判别分析
所以 q1 f1 ( x) = 0.1613, 类似可得 q2 f 2 ( x) = 0.0304, q3 f 3 ( x) = 0.1174,
所以样品x=2.5判归 1. 判归G 因0.1613>0.1174>0.0304,所以样品 所以样品 判归
7
第五章 判别分析
解三:后验概率判别法 解三 后验概率判别法, 后验概率判别法 计算样品x已知 已知,属 的后验概率: 计算样品 已知 属Gt的后验概率 qt f t ( x) P(t | x) = 3 (t = 1,2,3) ∑ qi fi ( x) 当样品x=2.5时,经计算可得 时 当样品
第5章 判别分析_1

'
def
2W ( X )
其中
W ( X ) ( X X * )' S 1 ( X (1) X ( 2) ) 1 (1) * X ( X X ( 2) ) 2
则判别准则还可以写为:
判 X G1 , 当W ( X ) 0时 判 X G2 , 当W ( X ) 0时
(2) < (1) ) , 令
(x )
(1) 2
2 1
(x )
( 2) 2
2 2
(1) 2 ( 2) 1 x 1 2
def
*
判 X G1 , x * 而按这种距离最近的判别准则为: 判 X G2 , x *
因只有一个指标,这时判别函数为:Y=Y(x)=x.此例中 * =79,因
表5.1 盐泉的特征数值 K· 3/Cl Br· 3/Cl K· 3/ 盐 10 10 10 (X1) (X2) (X3) 13.85 22.31 28.82 15.29 28.79 2.18 3.85 11.40 3.66 12.10 8.85 28.60 20.70 7.90 3.19 12.40 16.80 15.00 2.79 4.67 4.63 3.54 4.90 1.06 0.80 0.00 2.42 0.00 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10 3.40 2.70 7.80 12.31 16.18 7.50 16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43 2.31 5.02
判别分析是用于判别样品所属类型的一种统计分析方
法,是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类,求出判
第5章 判别分析

3.54
4.90 1.06 0.80 0.10 2.40 0.01 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10
7.50
16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43
( 当、 (1)、 2) 已知时,令 ( a 1 ( (1) 2)) (a1 , a2 , , a p )
则W ( X )=(X- ) a a1 ( x1 1 ) a2 ( 2 ) a p ( x p p ) 显然,W ( X )是x1,x2, ,x p的线性函数。 称W ( X )为线性判别函数。a称为判别系数。
(i )
线性判别函数为: ˆ W ( X ) ( X X ) 1 ( X (1) X ( 2 ) )
我们注意到: 当p 1时,若两个正态总体的分布分别为N ( 1 , 2 )和 2 不妨设1 2,这时W ( X )的符号取决于X 或X 。
2
第五章
判别分析
党耀国
经济与管理学院
Iamdangyg@
判别分析
5.1 判别分析的概念 5.2 距离判别法 5.3 费歇尔判别法 5.4 贝叶斯判别法 5.5 逐步判别法 5.6 实例分析
5.1 判别分析的概念
• 在生产、科研和日常生活中,我们经常需要根据观 测到的数据资料,对所研究的对象进行判别分类,即 是根据历史上划分类别的有关资料和某种最优准则, 确定一种判别方法,判定一个新的样品归属于哪一类。 例如某医院有部分患有肺炎、肝炎、冠心病、高血压、 糖尿病等病人的资料,记录了每个患者若干症状的指 标数据,现在想利用现有的这些资料数据找出一种方 法,使对于一个新的病人,当测得这些症状指标数据 时,能够判断其患有哪一种疾病。在经济学中,根据 人均国民收入、人均工农业总产值、人均消费水平等 多项指标来判断一个国家所处的经济发展阶段。在气 象预报中,根据已有的气象资料(气温、气压、湿度 等)来判断明天、后天是阴天还是晴天,是有雨还是 无雨。在地质学中根据以往对矿物勘探资料(矿石的 化学和物理性质和所含化学成分)的分析,判断某一 矿石把他应归于哪一类矿石。总之,在实际问题中需 要判别的问题几乎无处不在。
第11讲判别分析

协方差矩阵
9.0570 S1= 14.0055
14.0055 86.0570
21.7030 S2= 29.4205
29.4205 47.1680
15.3800 Sw= 21.7130
21.7130 66.6125
各样品到第一类和第二类的距离
d i( 1 ) x 1 7 .8 5 ,x 8 2 9 .1 4 2 0 0 . .0 13 2 9 0 0 0 . .0 0 2 4 2 3 6 4 x x 7 9 1 2 1 7 7 9 8 2 . .8 1 5 4 1 6 8 2 d i( 2 ) x 1 7 .4 0 ,x 4 2 9 .7 1 4 0 0 . .0 13 2 9 0 0 0 . .0 02 4 2 3 6 4 x x 7 9 1 2 1 7 7 9 8 2 . .4 7 0 1 1 6 4 4
N 1 10
N 2 10 N2错=3
13
APE R 1.67%
10 10
N1错=1 N2正=10
第一节 距离判别
在实际应用中,当假定正态总体且协差阵相等时,均值与协方差阵 要用估计值,即
d2x,G 1x1T ˆ1 1x1
d2x,G 2x2T ˆ2 1x2
解 W x : x T ˆ 1 1 2
ˆ1 2 6 2 2 4 4 3 , ˆ1 ˆ2 6 2 2 4 4 2
W (x ) (x 1 3 ,x 2 4 )1 3 4 1 1 1 4 2 4 x 1 2 x 2 4
判别 W x 函 x 数 1 2 2 : 1 21 2
第五章 判别分析

n a
H
n b
yi(a )y(a )2
yk(b )y(b )2组点内的判离别散函度数
i 1
k 1
1na
m
y(a) na
yi(a) cjxj(a)
i1
j1
y(b)n1bkn b1yi(b)jm 1cjxj(b)7
费歇尔准则: 使Q 达到最大、H 达到最小。
它的含义是: Q达到最大,表明 两组判别函数点的中 心距最大;H达到最 小,判别函数点的分 布最集中。满足以上 条件的判别函数可最 大限度地把A和B区 分开(如图所示)。
i, j = 1 ,2 ,…,m ; N = n1 + n2 +…+nG
由此,式(5-5)可以近似写为: 17
fg(X ) (2 S 1 )1 m /2 /2ex 1 2 p (X X g)TS 1 (X X g) (5-6)
把上式和Pg (Pg≈qg = n g /N)代入式(5-4)得: E g ( X ) q g f g ( X )( , g 1 ,2 , ,G )
章判别分析
§1两总体判别分析 §2多总体判别分析 §3逐步判别分析 §4应用算例简介
1
❖引言
地学领域内有很多属于归类判别的问题,如:储 层是否含油、岩样属于什么沉积相 、生油岩处于 什么演化阶段等,从定量角度看,它们都是对个体 进行归类判别的问题。
为叙述方便,将个体称为样品,个体所属的类称 为总体。在此基础上给出判别分析的一般概念:
判别分析:根据已知的G个总体中取出的G组样品 的观测值,建立总体与样品变量之间定量关系(判 别函数),并据此判别未知类属样品类别的一种多 元统计分析方法。
2
设ag(g=1,2,…,G)表示 G 个总体,每个总体中分 别有ng个样品,每个样品有m个变量。
第五章 判别分析(第1、2节 绪论、距离判别法)
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第二节 距离判别法
□ 马氏距离
设 p 维 欧 氏 空 间 R p 中 的 两 点 X ( X 1 , X 2 ,, X p ) 和
Y (Y1 , Y2 ,, Yp
氏距离,即
d ( X, Y) 2 ( X 1 Y1 ) 2 ( X p Yp ) 2 .
它是 X 的二次函数,相应的判别规则为
X G1 , X G2 ,
如果 如果
W *(X ) 0 W *(X ) 0
第二节 距离判别法
我们用p=1时的特殊情形,说明两总体协方差不等时的归类过程。假定两总体为正态总体: 并假定 ,这时 ,当观测值x满足条件: 时,
2 1 2 x 1 x 2 x 1 1 2 d 2 ( x) d1 ( x) ( x * ), 2 1 1 2
第二节 距离判别法
(2) 当 1 2 , 1 2 时,我们采用(*)式作为判别规 则的形式。选择判别函数为
W * ( X ) D 2 ( X , G1 ) D 2 ( X , G2 )
( X 1 )1 1 ( X 1 ) ( X 2 )21 ( X 2 )
这里
1 n1 (1) X (1) X i n1 i 1
( 2)
S ( X i( ) X ( ) )( X i( ) X ( ) ),
i 1
n
1, 2
第二节 距离判别法
此时,两总体距离判别的判别函数为 其中 X
*
ˆ ˆ W ( X ) ( X X * )
G2 : N (75,4)
P(1 | 2)
第二节 距离判别法
P(2 | 1) P(1 | 2) P(Y ) (Y ~ N ( 2 , 2 )) Y 2 2 2 2 ) P( Z ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 1 ( ) 2 从错判概率公式 可看出,当两个总体的均值相差甚微,即 越小, 1 2 P(2 |1) P(1| 2) 1 ( ) 错判概率变得越大,这时作判别分析没有意义。因此只有当两个总体的均值有显著性差异时,做判别 2 分析才有意义。 | 1 2 | P(
多元统计第五章判别分析

第一节 引言
在我们的日常生活和工作实践中,常常会遇到判别分析问题。
案例一:为了研究中小企业的破产模型,选定4个经济指标:总负债率、
收益性指标、短期支付能力、生产效率性指标。对17个破产企业(1类)和21
个正常运行企业(2类)进行了调查,得关于上述四个指标的资料。现有8个 未知类型的企业的四个经济指标的数据,判断其属于破产企业一类还是正 常运行企业一类? 案例二:根据经验,今天与昨天的湿度差x1及今天的压温差x2 (气压与温度
ˆ Σ
1 A , n 1
1,2,, k
三、判别分析的实质
设R1,R2,…,Rk是p维空间R p的k个子集,如果它们互
不 相交,且它们的和集为R p,则称R1,R2, …,Rk为R p的一 个划分。
在 两 个 总 体 的 距 离 判 别 问 题 中 , 利 用
W (X) (X μ)' α 可以得到空间 R p 的一个划分 R1 {X : W ( X) 0} R2 {X : W ( X) 0}
x2
-0.41 -0.31 0.02 -0.09 -0.09 -0.07 0.01 -0.06 -0.01 -0.14 -0.3 0.02 0 -0.23 0.05 0.11 -0.08 0.03 0 0.11 -0.27
x3
1.09 1.51 1.01 1.45 1.56 0.71 1.5 1.37 1.37 1.42 0.33 1.31 2.15 1.19 1.88 1.99 1.51 1.68 1.26 1.14 1.27
Σ 的一个联合无偏估计为
n
n2 1 和 X(2) Xi(2) n2 i 1 1 ˆ Σ ( A1 A2 ) n1 n2 2
(北大)第五章判别分析

5
北大数学学院
第五章 §5.1 距离判别法
距离判别的基本思想是: 样品和哪个总体距离最近,就判它 属哪个总体.
距离判别也称为直观判别法. 我们在具体讨论距离判别法之前,应给 出合理的距离的定义.
6
北大数学学院
第五章 §5.1 距离判别法
马氏距离 已知有两个类G1和G2,比如G1是设备A生产的产 品,G2是设备B生产的同类产品.设备A的产品质量高 (如考察指标为耐磨度X),其平均耐磨度μ1=80,反映 设备精度的方差σ2(1)=0.25;设备B的产品质量稍差, 其平均耐磨度μ2=75,反映设备精度的方差σ2(2)=4.今 有一产品X0,测得耐磨度x0=78,试判断该产品是哪 一台设备生产的? 直观地看, x0 与μ1(设备A)的绝对距离近些,按距 离最近的原则是否应把该产品X0 判断为设备A生产 的?
24
第五章 §5.1 距离判别法
北大数学学院
两总体判别: Σ1=Σ2 时的判别方法(m=1时的错判率)
用这种判别法会发生错判,如X来自G1,但却落入D2, 被判为属G2 .错判的概率为下图中阴影左半部分 的面积,并记为P(2|1).类似有P(1|2).
分界点μ=77.5
25
第五章 §5.1 距离判别法
23
北大数学学院
第五章 §5.1 距离判别法
两总体判别: Σ1=Σ2 时的判别方法(m=1)
考察m=1的特殊情况,并设两总体为正态总体,其分 布已知为N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)(两总体的方差相同,记为 σ2 ),这时判别函数为
其中
不妨设μ 1>μ x>μ或x<μ.
2
,则a为正数,W(x)的符号取决于
(l , j 1,2, , m)
《判别分析》课件

在金融领域的应用
信用评分
利用判别分析模型,通过借款人 的特征和历史表现,预测其未来 违约风险,为金融机构提供信贷
决策依据。
市场风险评估
判别分析用于评估金融市场风险 ,通过分析市场数据和变量,预 测市场走势,帮助投资者做出合
理决策。
投资组合优化
利用判别分析对投资组合进行优 化,通过评估不同资产的风险和 回报,为投资者提供最佳资产配
对判别分析的未来展望
改进算法
针对判别分析的假设严格问题,未来研究可以尝试改进算法,放宽 假设条件,使其更适用于实际数据。
结合其他技术
可以考虑将判别分析与其它机器学习算法相结合,如神经网络、支 持向量机等,以提高分类性能和泛化能力。
拓展应用领域
随着大数据时代的到来,判别分析在各个领域的应用越来越广泛,未 来可以进一步拓展其应用领域,解决更多实际问题。
在市场营销中,判别分析可用于市场 细分,根据消费者的购买行为、偏好 和需求等因素,将市场划分为不同的 细分市场,帮助企业制定更加精准的 市场策略。
广告投放优化
通过判别分析对广告投放效果进行评 估和优化,基于历史数据和实时监测 数据,分析不同广告渠道和创意的表 现,提高广告投放的效率和效果。
06 判别分析的案例分析
金融领域的判别分析案例
信用风险评估
利用判别分析对银行客户进行信用风险评估,根据客户的历 史表现和其他相关信息,预测其未来违约的可能性,帮助银 行制定更加精准的信贷政策。
股票市场预测
通过判别分析对股票市场走势进行预测,基于历史数据和市 场信息,构建预测模型,以指导投资者进行投资决策。
1. 单变量判别函数
基于单个特征的判别函数。
2. 多变量判别函数
判别分析

多元统计分析
2.判别分析的数学描述 假设有K个总体:G1,G2,…GK,它们的分布 函数分别为F1,F2,…FK,每个Fi觉为p维分 布函数,现在抽到一个新样品X(0)要判断它 来自哪一个总体?
多元统计分析
3.分类
1、按判别的组数来分,有两组判别分析和多组 判别分析 2、按区分不同总体所用的数学模型来分,有线 性判别和非线性判别 3、按判别对所处理的变量方法不同有逐步判别、 序贯判别。 4、按判别准则来分,有费歇尔判别准则、贝叶 斯判别准则
Plots:统计图: Plots
Combined-groups Combined-groups:根据前两个典则判别函数,对所有组生成一张综合散点图;如果只有 一个判别函数,则显示条图; Separate-groups:根据前两个典则判别函数,对每组生成一张散点图。如果只有一个判 Separate-groups 别函数,则显示条图; Territorial map:分类区域散点图,即将平面图划分为与组数相同的区域,每一组占据 map 一个区域,在图中显示分组的组心与组界,只有一个判别函数时不显示。
多元统计分析
Stepwise Method子对话框介绍
如果在主对话框中选择Use stepwise method,则Method Method…按钮被 Method 激活,打开Stepwise Method子对话框
多元统计分析
逐步判别分析方法的四部分
Method: Method:逐步判别分析方法: Wilds’lambda 默认选择项) ⊙ Wilds lambda (默认选择项):在每一步,将具有最小的Wilds’lambda值的变量选入模型; variance:在每一步,将具有最小的未被解释的组间方差的变量选入模型; ○ Unexplained variance distance:在每一步,将具有最小近邻组间最大的Mahalanobis距离的变量选入模型; ○ Mahalanobis distance ratio:在每一步,将在“成组最小F比率”项取值最大的变量选入模型; ○ Smallest F ratio Rao’s V:在每一步,将具有最大Rao’s V增量的变量选入模型; ○ Rao s V V to enter 0: V值的最小增量,系统默认为0。 Criteria:逐步判别停止判据: Criteria value(默认选择项) ⊙ Use F value(默认选择项):使用F值: Entry 3.84 Removal 2.74:系统默认当变量的F值>=3.84时将变量加入到判别模型中,否 则不能加入;或者当变量的值F值<=2.71时,才将变量从模型中移出,否则保留变量。注意Entry 的值必须小于Removal的值,否则模型中无变量。 F:使用F值的概率: ○ Use probability of F Entry:0.05 Removal:0.01系统默认加入变量的F值概率的默认值是5%;移出变量的F值概率 是10%,注意Entry 的值必须小于Removal的值,否则模型中无变量。 Display: 显示内容 steps(默认选择项) Summary of steps(默认选择项):显示逐步选择变量过程中每一步的各变量的统计量及显著水平,包括 Wilks’lambda值、F-to-Remove(移出变量的F值)、 F-to-Enter(移入变量的F值)、D.f(自由 度)、Sig.(P值)、Tolerance(容许度)等。 distances:显示组间的F比值矩阵 □ F for pairwise distances
第五讲 判别分析

天行健,君子以自强不息。
地势坤,君子以厚德载物。
常用的判别方法
一 距离判别 二 Fisher判别 三 Bayes判别
四 逐步判别
天行健,君子以自强不息。
地势坤,君子以厚德载物。
距离判别
1.
2.
判别准则 根据各类的 ng 个样本,求出每类的中 心坐标 再根据新样品离开每个类中心的距离 远近作出它属于哪一类的判断
天行健,君子以自强不息。
地势坤,君子以厚德载物。
20
10
0
-10
U
1
X2
-20 -20 -10 0 10
0
天行健,君子以自强不息。
X1
地势坤,君子以厚德载物。
20
10Leabharlann D2---非雨区U(x1,x2)
新样本点
0
-10
D1---雨区
X2
-20 -20 -10 0 10 20
X1
天行健,君子以自强不息。 地势坤,君子以厚德载物。
i 1
1, 2
此时,两总体距离判别的判别函数为
ˆ ( X) α ˆ ( X X) W
1 (1) (2) ˆ 1 ( X(1) X(2) ) 。这样,判别规则为 ˆ Σ 其中 X ( X X ) , α 2 ˆ ( X) 0 X G1 , 如果 W (4.7) ˆ ( X) 0 X G , 如果 W 2
天行健,君子以自强不息。 地势坤,君子以厚德载物。
图4.1
天行健,君子以自强不息。
地势坤,君子以厚德载物。
第二、 设有量度重量和长度的两个变量 X 与 Y , 以单位分别 为 kg 和 cm 得到样本 A(0,5) ,B(10,0) , C (1,0) ,D(0,10) 。 今按照欧氏距离计算,有
第5章判别分析

第5章判别分析判别分析(discriminantanalysis)是在已知样品分类的前提下,将给定的新样品按照某种分类准则判入某个类中,它是研究如何将个体“归类”的一种统计分析方法.这里的判别规则通常是以已有的数据资料或者现有的部分样品数据作为所谓的“训练样本”建立起来的,并用来对未知类别的新样品进行判别.这种统计方法在实际中很常用,例如医生在掌握了以往各种病症(如肺炎、肝炎、冠心病、糖尿病等)指标特点的情况下,根据一个新患者的各项检查指标来判断该病人有哪类病症;又如在天气预报中,利用已有的一段时期某地区每天气象的记录资料(阴晴雨、气温、风向、气压、湿度等),建立一种判别准则来判别(预报)明天或未来多天的天气状况;再如研究人员依照国家划分不同地区经济类型的数量标准,根据某个地区的GDP、人均收入、消费水平等相关指标判断该地区属于哪一种经济类型等.当然,我们要求判别规则在某种意义下是最优的,例如样品距所属类别的距离最短,或样品归属某个类别的概率最大,或错判平均损失最小等.判别分析与聚类分析的主要区别在于:作聚类分析时,人们事先并不知道所讨论的样品应该分成几类,完全根据样品数据的具体情况来确定;而作判别分析时,样品的分类事先已经明确,需要做的主要工作是利用训练样本建立判别准则,对新样品所属类别进行判定.判别分析的方法很多,本章主要介绍常用的三种,即距离判别、Fisher判别和Bayes判别,并介绍它们在R中的实现过程.5.1 距离判别5.1.1 距离距离是判别分析中的基本概念,距离判别法根据一个样品与各个类别距离的远近对该样品的所属类别进行判定.第4章中列举了六种距离,其中常用的是欧氏距离和马氏距离.设和是两个随机向量,有相同的协方差矩阵Σ,则α与y之间的马氏距离定义为:(5.1)特别地,当∑=I时,马氏距离就是通常的欧氏距离.在判别分析中,马氏距离更常用,这是因为欧氏距离对每一个样品同等对待,将样品x的各分量视作互不相关,而马氏距离考虑了样品数据之间的依存关系,从绝对和相对两个角度考察样品,消除了变量单位不一致的影响,更具合理性.这里以二维情形下一个简单的图形做直观的解释:如图5-1所示,设大椭圆和小椭圆分别表示两个总体G₁和G₂的置信度均为1-α的置信区域,尽管样品x到总体G₂的欧氏距离比到总体G₁的欧氏距离更短,但x却包含在总体G₁的置信椭圆内,同时位于总体G₂的置信椭圆外,说明若用马氏距离这种“标准化”距离来度量的话,样品x到总体G₁的距离更近,应该把样品x判入总体G₁.图5-1欧氏距离与马氏距离的选择示意图5.1.2 两个总体的距离判别设有两个总体G₁和G₂,其均值分别为μ₁和μ₂,有相同的协方差矩阵Σ,对于给定的一个样品x,要判断它属于哪一个总体.如果将样品x到两个总体G₁和G₂的距离d(x,G₁)和d(x,G₂)分别规定为x与μ(i=1,2)的马氏距离,那么,直观的方法i是分别计算样品x到两个总体G₁和G₂的马氏距离d(x,μ₁)和d(x,μ₂),再根据这两个距离的大小来判断x的归属:当d(x,μ₁)<d(x,μ₂)时,判x属于总体G₁;当d(x,μ₁)>d(x,μ₂)时,判α属于总体G₂;当d(x,μ₁)=d(x,μ₂)时,x可以属于总体G₁和G₂中的任何一个,通常把x判入总体G₁.因此判别准则可描述为:由于马氏距离与马氏距离的平方等价,为方便起见,以下考虑两个马氏距离的平方的差(5.2)令,并记(5.3)于是判别准则等价于这个判别准则取决于W(x)的值,通常称W(x)为判别函数,由于它是x的线性函数,又称其为线性判别函数,称a为判别系数.线性判别函数W(x)使用最方便,在实际中应用也最广泛.特别地,当p=1,G₁和G₂的分布分别为N(μ₁,o²)和N(μ₂,o²),μ₁,μ2,o²均为已知,且μ₁<μ₂时,则判别系数为,判别函数为.判别准则为:在实际应用中,总体的均值和协方差矩阵一般是未知的,可由样本均值和样本协方差矩阵分别进行估计.设是来自总体G₁的样本,是来自总体G₂的样本,μ₁和μ₂的一个无偏估计分别为:协方差矩阵Σ的一个联合无偏估计为:式中,此时,判别函数为,其中.这样,判别准则为:应该注意,当μi≠μz,Z₁≠Z₂时,我们仍可采用式(5.2)的变式作为判别函数,即(5.4)它是x的二次函数,相应的判别规则为:最后要强调的就是作距离判别时,μ₁和μ₂要有显著的差异才行,否则判别的误差较大,判别结果没有多大意义.【例5.1】已知某种昆虫的体长和翅长是表征性别的两个重要体形指标,根据以往观测值,雌虫的体型标准值为,雄虫的体型标准值,它们的共同的协方差矩阵为.现捕捉到这种昆虫一只,测得它的体长和翅长分别为7.2和5.6,即,试判断这只昆虫的性别.解:由已知条件,可由式(5.3)计算得所以可判断这只昆虫是一只雄虫.在R中可编写一个简单的程序计算W(x)(注意W(x)=[d²(x,μ₂)-d²(x,μ₁)]/2).>W2equal=function(x,mu1,mu2,S){(mahalanobis(x,mu2,S)-mahalanob is(x,mu1,S))/2}>mu1=c(6,5);mu2=c(8,6);S=matrix(c(9,2,2,4),nrow=2);x=c(7.2,5.6 )>W2equal(x,mu1,mu2,S)[1]-0.053125所以应判断这只昆虫是一只雄虫.若又捕捉到另一只同类昆虫,其体长和翅长数据为,则可继续计算如下:>x=c(6.3,4.9>W2equal(x,mu1,mu2,S)[1]0.225应将其判断为一只雌虫.当雌虫和雄虫的协方差矩阵不相同时,可由式(5.4)来计算W*(x),再根据计算结果作出判别.假定雌虫和雄虫总体数据对应的协方差矩阵分别为和那么可编写R程序如下:>W2unequal=function(x,mu1,mu2,S1,S2){mahalanobis(x,mu2,S2)-mah alanobis(x,mu1,S1)}>mu1=c(6,5);mu2=c(8,6);S1=matrix(c(9,2,2,4),nrow=2);S2=matrix( c(6,22,3),nrow=2)>x=c(7.2,5.6>W2unequal(x,mu1,mu2,S1,S2)[1]-0.07696429这里仍然用了最初那只昆虫的体长和翅长数据,结果仍然判断它是一只雄虫.两总体的距离判别还可使用自编程序“DDA2.R”,用法参见本章附录1.5.1.3 多个总体的距离判别设有k个总体G₁,G₂,…,Gk ,其均值和协方差矩阵分别是μ₁,μ₂,…,μg和Σ₁,Σ₂,…,Σk,而且Σ₁= Σ₂= … = Σk = Σ.对于一个新的样品x,要判断它来自哪个总体.该问题与两个总体的距离判别问题的解决思路一样,计算新样品x到每一个总体的距离,即式中,.故可以取线性判别函数为:相应的判别规则为:与二维情形类似,当μ₁,μ₂,…,μk和Σ均未知时,可以通过相应的样本均值和样本协方差矩阵来替代.另外,各总体的协方差矩阵Σ₁,Σ₂,…,Σk,不完全相同时也可以仿照二维情形讨论(参阅参考文献[10]).多总体的距离判别可使用本章附录所给出的R程序“DDAM.R”,使用方法可参见本章附录2后的说明.5.2 Fisher判别Fisher于1936年提出了该判别法,这是判别分析中奠基性的工作.该方法的主要思想是通过将多维数据投影到一维直线上,使得同一类别(总体)中的数据在该直线上尽量靠拢,不同类别(总体)的数据尽可能分开.从方差分析的角度来说,就是组内变差尽量小,组间变差尽量大.然后再利用前面的距离判别法来建立判别准则.Fisher判别法属于确定性判别法,有线性判别、非线性判别和典型判别等多种常用方法.以下主要介绍线性判别法.5.2.1两总体Fisher判别先考虑有两个总体G₁和G₂的情形,判别法的思想是将高维空间中的点投影到一维直线y上,使得由总体G₁和G₂产生的y尽可能分开,在此基础上再利用前面的距离判别法来建立判别准则.我们用一个简单的图形(见图5-2)来说明其原理.如图5-2所示,二维平面上有两类点,小圆点属于总体G₁,大圆点属于总体G₂,按照原来的横坐标x₁和纵坐标x₂,很难将它们区分开,但若把它们都投影到直线y上,则它们的投影点明显分为两组,同类的点聚集在一起,容易区分;又若把它们投影到与直线y垂直的直线上,则它们的投影点混杂在一起,难以分开.可见,投影直线的选取不一样,数据点的分类效果就大不相同,这提示我们要去寻找分类效果最好的投影直线y,使得在该投影直线上,同一类别的点的投影点尽量靠拢,不同类别的点的投影点尽量分开.显然,直线y是x₁和x₂的线性组合,即y=c₁x₁+c₂x₂.一般,在p维情况下,x的线性组合为:(5.5)图5-2投影直线选取示意图式中,a为p维实向量.设总体G₁和G₂的均值分别为μ₁和μ₂,它们有共同的协方差矩阵Σ,那么线性组合的均值为:(5.6)方差为:(5.7)显然,使得μ1y 与μ2y的距离越大的线性组合越好,所以考虑比值(5.8)现在的问题简化为:如何选取a,使得式(5.8)达到最大.定理5.1设x为p维随机向量,,当(c≠0为常数)时,式(5.8)达到最大.特别地,当c=1时,线性函数(5.9)称为Fisher线性判别函数(证明略).取(5.10)在μ₁≠μ₂的条件下,容易证明,于是可得Fisher判别准则如果记,则判别准则等价于需要指出的是:当总体的均值和协方差矩阵未知时,通常用样本均值和样本协方差矩阵来估计.设和,分别是来自总体G₁和G₂的样本,就可以分别用和估计μ₁和μ₂,用来估计Σ,这里.5.2.2多总体Fisher判别如果变量很多或有多个总体,通常要选择若干个投影,即若干个判别函数来进行判别.设有k个总体G₁,G ₂,…,Gx,它们有共同的协方差矩阵Σ,均值分别为μ₁,μ₂,…,μk,令(5.11)考虑p维随机向量x的线性组合,a为p维实向量,则均值和方差分别为:(5.12)注意到(5.13)考虑比值(5.14)问题等价于:如何选择a,使得式(5.14)达到最大.为了方便起见,设.定理5.2设λ₁,λ₂,…,λs(λ₁≥λ₂≥…≥λs>0)为Σ-¹G的s个非零特征值,s≤min(k-1,p),e₁,e₂,…,e为相应的特征向量且满足,那么当a₁=e₁s时,式(5.14)达到最大,称为第一判别函数,而a₂=e₂是在约束条件之下使得式(5.14)达到最大值的解,称为第二判别函数,如此下去,as =es是在约束条件之下使得式(5.14)达到最大值的解,称为第s个判别函数(证明略).当总体的均值和协方差矩阵未知时,通常用样本均值和样本协方差矩阵来估计,与两总体的Fisher判别方法类似,也可以建立多个总体的Fisher判别准则,但形式比较复杂,这里不再讨论.【例5.2】在R软件的内置档案中自带了著名的鸢尾花(iris)数据,该数据框有5列:Sepal.Length(花萼长度),Sepal.Width(花萼宽度),Petal.Length(花瓣长度),Petal.Width(花瓣宽度)和Species(品种).品种又分为setosa(刚毛鸢尾花),versicolor(变色鸢尾花)和virginica(弗吉尼亚鸢尾花).每个品种各有50行,即数据框共有150行.解:先读取iris数据,再用程序包MASS中的线性判别函数lda()作判别分析,R程序如下:>data(iris)>irisSepal.Length Sepal.Width Petal.LengthPetal.Width Species1 5.1 3.5 1.4 0.2setosa2 4.9 3.0 1.4 0.2setosa......50 5.0 3.3 1.4 0.2setosa51 7.0 3.2 4.7 1.4versicolor52 6.4 3.2 4.5 1.5versicolor......100 5.7 2.8 4.1 1.3 versicolor101 6.3 3.3 6.0 2.5 virginica102 5.8 2.7 5.1 1.9 virginica......150 5.9 3.0 5.1 1.8 virginica>attach(iris) #把数据变量的名字放入内存,这样能直接使用各列数据>library(MASS) #加载MASS程序包,这是必须的,否则找不到1da()函数>1d=lda(Species~Sepal.Length+Sepal.Width+Petal.Length+Petal.Wi dth)#也可以用命令iris.lda=lda(iris[,1:4],iris[,5]),注意第5列是品种,取作因变#量y>1dCall:lda(Species~Sepal.Length+Sepal.Width+Petal.Length+Petal.WidthPriorprobabilitiesofgroups:setosa versicolor virginica0.3333333 0.3333333 0.3333333Groupmeans:Sepal.Length Sepal.Width Petal.LengthPetal.Widthsetosa 5.006 3.428 1.4624.260Versicolor 5.936 2.770 4.2601.326Virginica 6.588 2.974 5.5522.026Coefficientsoflineardiscriminants:LD1 LD2Sepal.Length 0.8293776 0.02410215Sepal.Width 1.5344731 2.16452123Petal.Length -2.2012117 -0.93192121Petal.Width -2.8104603 2.83918785Proportionoftrace:LD1 LD20.9912 0.0088以上输出中包括lda()所用的公式、先验概率、各组均值向量、第一及第二线性判别函数的系数、两个判别式对区分各总体贡献的大小等.可以在R中使用help(lda)查看该函数的详细用法.需要指出的是,R中有内置函数predict(),可以对原始数据进行回判分类,从而可以将lda()的输出结果与原始数据真正的分类进行对比,考察误差的大小.R程序及结果如下:>Z=predict(ld)>newG=Z$class>cbind(Species,newG,Z$x) #Z$x给出了Z中两个判别函数相应的值Species new GLD1 LD21 1 1 8.0617998 0.3004206212 1 1 7.1286877 -0.786660426 ......70 2 2 -1.0904279 -1.62658349671 2 3 -3.7158961 1.04451442172 2 2 -0.9976104 -0.490530602 ......83 2 2 -0.8987038 -0.90494003484 2 3 -4.4984664 -0.88274991585 2 2 -2.9339780 0.027379106133 3 3 -6.8001500 0.580895175134 3 2 -3.8151597 -0.942985932 135 3 3 -5.1074897 -2.130589999 ......149 3 3 -5.8861454 2.345090513150 3 3 -4.6831543 0.332033811 这里Species是原始类别,newG是回判类别,LD1和LD2分别是第一和第二线性判别函数的值.我们还可以用table()函数来列表比较,R程序及结果如下:>tab=table(newG,Species)>tabSpeciesnewG setosa versicolor virginicasetosa 50 0 0Versicolor 0 48 1virginica 0 2 49由结果可以看出,对150个原始数据的预测中,只有3个错误,误差率为2%,其中有2朵versicolor鸢尾花(71号和84号)被误认为是virginica鸢尾花,有1朵virginica鸢尾花(134号)被误认为是versicolor鸢尾花.5.3 Bayes判别上面讲的几种判别分析方法计算简单,易于操作,比较实用.但是这些方法也有明显的不足之处.一是判别方法与总体各自出现的概率的大小无关;二是判别方法与错判之后所造成的损失无关.Bayes判别法就是为了解决这些问题而提出的一种判别方法,它假定对研究对象已经有了一定的认识,这种认识可以用先验概率来描述,当取得样本后,就可以利用样本来修正已有的先验概率分布,得到后验分布,再通过后验分布进行各种统计推断.Bayes判别法属于概率判别法,判别准则是以个体归属某类的概率最大或错判总平均损失最小为标准.5.3.1两总体的Bayes判别设有两个总体G₁和G₂,它们的概率密度函数分别为f₁(x)与f₂(x),其中x是一个p维随机向量,Ω为x的所有可能取值构成的样本空间,R₁为x的根据某种规则被判入总体G₁的取值全体的集合,那么R₂=Ω-R₁就为x的根据同样规则被判入总体G₂的取值全体的集合.设样本α来自总体G₁(形式记为x∈G₁),但被判入总体G₂的概率为:又记x来自总体G₂(形式记为x∈G₂),但被判入总体G₁的概率为:类似地,x来自总体G₁被判入G₁,来自总体G₂被判入G₂的概率可分别记为:又设总体G₁和G₂出现的先验概率(priorprobabilities)分别为p₁和pz,且p ₁+p₂=1,于是同理假设L(j|i)(i,j=1,2)表示x来自总体Gi而被误判入总体Gj引起的损失,显然有L(1|1)=L(2|2)=0,将上述误判概率与误判损失结合起来,可以定义所谓的平均误判损失(expected cost of misclassification,ECM)为:(5.15)一个合理的判别选择是极小化ECM.可以证明(见参考文献[10]):极小化ECM 所对应的样本空间2的划分为:(5.16)因此,可以将式(5.16)作为Bayes判别的判别准则.当两总体服从正态分布时,设,可分两种情形讨论.若Σ₁=Σ₂=Σ,则两总体的密度函数为:此时式(5.16)等价于(5.17)式中(5.18)(5.19)由此可见,对于两正态分布总体的Bayes判别,其判别式(5.17),(5.18)和(5.19)可以看成两总体距离判别的推广,当p₁=pz,L(1|2)=L(2|1)时,β=ln1=0,这正是距离判别,这里的W(x)也与两总体距离判别的W(x)完全一致,参见式(5.3).若Σ₁≠Σ₂,可仿照上面对式(5.16)作推广,参见参考文献[12].5.3.2多总体的Bayes判别从上面的讨论可知,Bayes判别的本质就是寻找一种适当的判别准则,使得平均误判损失ECM达到最小.在两总体情形下,由式(5.15)可知,若假设所有错判损失相同,即设L(2|1)=L(1|2)=C,那么要ECM尽量小,相当于要p₁P(1|1)+p₂P(2|2)尽量大,这有助于理解多总体Bayes判别所用的判别准则.设有k个总体G₁,G₂,…,Gx,其各自的分布密度函数为f(x),f2(x),…,fk(x),相应的先验概率分别为p₁,p₂,…,pk,并假设所有的错判损失相同,对待判样品x,相应的判别准则为:(5.20)以下只对G₁,G₂,…,Gk均为正态总体,即进行讨论.当k个总体的协方差矩阵都相同,即时,总体Gi 的密度函数为:计算函数在计算过程中,协方差矩阵Σ可用其估计式代替.当k个总体的协方差矩阵不全相同时,总体Gj的密度函数为:则相应计算函数在计算过程中,协方差矩阵Σj可用其估计式代替.判别准则式(5.20)等价于【例5.3】(数据文件为eg5.3)表5-1是某气象站预报有无春旱的数据资料,x₁和x₂是两个综合性预报因子.表中给出了有春旱的6个年份数据和无春旱的8个年份数据.它们的先验分布用各组数据出现的比例(6/14,8/14)来估计,并假设误判损失相等,试用Bayes判别法对数据进行分析.表5-1某气象站有无春旱的数据资料解:先在eg5.3中选取G,x1,x₂三列数据,然后复制,回到R命令窗口中输入如下命令后再确定,就可将复制的数据读入R.R程序及结果如下:>d5.3=read.table("clipboard",header=T)>attach(d5.3)>library(MASS)>1d=1da(G~x1+x2,prior=c(6,8)/14)>1dCall:lda(G~x1+x2,prior=c(6,8)/14)Prior probabilities of groups:1 20.4285714 0.5714286#若先验概率未知,可以先设为均匀分布,即prior=c(0.5,0.5) Groupmeans:x1 x21 25.31667 -2.4166672 22.02500 -1.187500Coefficients of linear discriminants:LD1x1 -0.6312826x2 1.0020661再用函数predict()对原始数据进行回判分类,并与lda()的输出结果进行对比,R程序及结果如下:>Z=predict(1d)>newG=Z$class>cbind(G,newG,Z$x)#Z$x为判别函数的值G newG LD11 1 1 -1.14755452 1 1 -1.10648313 1 1 -3.28592944 1 2 -0.22668045 1 1 -1.68965906 1 1 -3.89116217 2 2 1.85959468 2 2 1.4737896......13 2 2 1.358561514 2 2 1.7002528>tab=table(G,newG)>tabnewgG 1 21 5 12 0 8>sum(diag(prop.table(tab)))[1] 0.9285714程序输出说明,第一组样本中只有第4号样本被误判入第二组,第二组样本回判全部正确,回判符合率为92.857%.我们还可以用命令Z$post计算后验概率:>Z$post1 21 0.9386546174 6.134538e-022 0.9303445828 6.965542e-023 0.9999448424 5.515761e-05......13 0.0038092358 9.961908e-0114 0.0012325974 9.987674e-015.4案例分析与R实现案例5.1(数据文件为case5.1)表5-2中列出了1994年我国30个省、直辖市、自治区影响各地区经济增长差异的制度变量数据,分为两组.其中,x₁为经济增长率(%);x₂为非国有化水平(%);x₃为开放度(%);x₄为市场化程度(%).借助R 软件,分别用两总体的距离判别法、Fisher判别法和Bayes判别法进行判别分析,并对江苏、安徽和陕西三个待判地区作出判定.(注:样本号为28,29,30的待判样品的类别先暂定为2,待实际判别分析后再确定,这样做的好处是录入和处理数据较为方便.)表5-2 1994年我国30个省、直辖市、自治区影响各地经济增长差异的制度变量数据解:(1)距离判别法.要读入Excel数据,先在case5.1中选取数据区域D1:H31(注意:要连待判数据一起选),然后复制,回到R命令窗口中输入如下命令后再确定,就可将复制的数据读入R.然后把本章附录中两总体距离判别程序“DDA2.R”放到当前工作目录下,再载入R并执行,还可以用var(classG1)和var(classG2)分别计算两个训练样本的协方差矩阵,结果发现它们明显不相等.R程序及结果如下:>case5.1=read.table("clipboard",header=T) #将已复制到剪贴板中的数据读入R>attach(case5.1) #把数据变量名字放入内存>classG1=case5.1[1:11,2:5] #选取训练样本1>classG2=case5.1[12:27,2:5] #选取训练样本2>newdata=case5.1[28:30,2:5] #选取待测样本用于后面判定>source("DDA2.R") #载入自编程序DDA2.R>DDA2(classG1,classG2) #执行程序DDA2.R1 2 ... 8 9 10 11 12 13 (24)25 26 27blong 1 1 ... 1 1 2 1 2 2 (2)2 2 2回代判别的结果说明只有第10号样本“广西”被错判入第二组,判别符合率为26/27=96.3%.最后对江苏、安徽和陕西三个样本进行判定(样本号为28,29,30),数据已包含在newdata中,R程序为:>DDA2(classG1,classG2,newdata)#对待判样本newdata进行判定1 2 3blong 1 2 2输出结果第一行中的1,2,3分别表示江苏、安徽和陕西三个待测样本(样本号为28,29,30),判别结果是江苏被判入第一组,安徽和陕西均被判入第二组.(2)Fisher判别法也是先要读入数据,在case5.1中选取数据区域D1:H28(注意:这里不选待判数据,因为lda()函数要使用已有的各列数据作为变量来建立判别模型),然后复制,回到R命令窗口中输入如下命令后再确定,就可将复制的数据读入R.R 程序及结果如下:>case5.1=read.table("clipboard",header=T)>attach(case5.1)>library(MASS)>1d=1da(G~x1+x2+x3+x4)>ldCalllda(G~x1+x2+x3+x4)Prior probabilities of groups:1 20.4074074 0.5925926Groupmeans:x1 x2 x3 x41 15.73636 65.02818 25.149091 74.3502 11.56250 40.10625 9.228125 58.105Coefficients of linear discriminants:LD1x1 -0.06034498x2 -0.01661878x3 -0.02532111x4 -0.08078449以上输出结果中包括lda()所用的公式、先验概率、各组均值向量、第一线性判别函数的系数.再用predict()函数对原始数据进行回判分类,将lda()判别的输出结果与原始数据真正的分类进行对比.R程序及结果如下:>Z=predict(ld) #预测判定结果>nevG=Z$class #新分类>cbind(G,newG,Z$x) #合并原分类、新分类及判别函数值G newG LD11 1 1 -0.636598122 1 1 -0.85792242....9 1 1 -3.8115753710 1 2 0.1086677611 1 1 -0.65403492....26 2 2 2.2650082627 2 2 1.52288285>tab=table(G,newG) #原分类和新分类列表比较>tabnevGG 1 21 10 12 0 1>sum(diag(prop.table(tab))) #计算判别符合率[1] 0.962963可见,只有第一组中的第10号样品“广西”被错判入第二组,与距离判别法结果一致.还可以用命令sum(diag(prop.table(tab)))计算判别符合率.最后对三个待判样本进行判定.先要读入待判样本数据,在case5.1中选取待判样本数据区域D1:H31(注意:要连待判数据一起选),然后复制,回到R命令窗口中输入如下命令后再确定,将复制的数据读入R.在其基础上选取待判样本数据.R程序及结果如下:>case5.1=read.table("clipboard",header=T)>newdata=case5.1[28:30,2:5] #选取待判样本用于下面判别>predict(ld,newdata=newdata)$class[1] 1 2 2Levels: 1 2$posterior1 228 0.87303785 0.126962229 0.48273895 0.517261130 0.01957491 0.9804251$xLD128 -1.187448129 -0.348841830 1.2655298说明:由$class可以看出28号样本被判人第一组,29,30号样本被判入第二组,结果与距离判别法一致;$x给出了线性判别函数的值.(3)Bayes判别法Bayes判别法和Fisher判别法类似,不同的是在使用函数lda()时要输入先验概率.它们的先验概率用各组数据出现的比例(11/27,16/27)来估计(默认情形),并假设误判损失相等.同Fisher判别法的分析过程一样,先复制数据,读入R,具体操作及结果如下:>case5.1=read.table("clipboard",header=T)>attach(case5.1)>library(MASS)>1d=lda(G~x1+x2+x3+x4,prior=c(11/27,16/27))>ldCall:lda(G~x1+x2+x3+x4,prior=c(11/27,16/27))Prior probabilities of groups:1 20.4074074 0.5925926Groupmeans:x1 x2 x3 x41 15.73636 65.02818 25.149091 74.3502 11.56250 40.10625 9.228125 58.105Coefficients of linear discriminants:LD1x1 -0.06034498x2 -0.01661878x3 -0.02532111x4 -0.08078449>Z=predict(ld)>newG=Z$class>cbind(G,newG,Z$x)G newG LD11 1 1 -0.636598122 1 1 -0.85792242....9 1 1 -3.8115753710 1 2 0.1086677611 1 1 -0.65403492....26 2 2 2.2650082627 2 2 1.52288285>tab=table(G,newG)>tabnewGG 1 21 10 12 0 16>sum(diag(prop.table(tab))[1] 0.962963判别结果与距离判别法、Fisher判别法一致.另外,Bayes判别法对三个样本数据的判别过程和判定结果也与Fisher判别法相同.习题5.1在定理5.1的假设下,证明:当μ₁≠μ₂时,有μ₁y-μ₂>0及μ2y-μy<0成立.5.2(数据文件为ex5.2)根据经验,今天的湿温差x₁和气温差x₂是预报明天下雨或不下雨的两个重要因子,试就表5-3中的数据建立Fisher线性判别函数进行判别.又设今天测得x₁=8.1,x₂=2.0,问:应该预报明天是雨天还是晴天?表5-3 雨天和晴天的湿温差x₁和气温差x₂续前表5.3(数据文件为ex5.3)某企业生产的产品,其造型、性能和价位及所属级别如表5-4所示.试利用表中数据,使用Fisher判别法和Bayes判别法进行判别分析.表5-4 某企业产品的造型、性能、价位及级别等指标序号造型性能价位级别13342872286577337775614164379153446841617556827487851286562692944796021037542731188874531256733631338567631477288435.4(数据文件为ex5.4)在研究砂基液化问题中,选了七个因子.今从已液化和未液化的地层中分别抽了12个和23个样本,其中1类表示已液化类,2类表示未液化类.试用距离判别法对原来的35个样本进行回代分类并分析误判情况.表5-5 砂基液化原始分类数据编号类别x1 x2 x3 x4 x5 x6 x71 1 6.6 39 1.0 6.0 6 0.12 202 1 6.6 39 1.0 6.0 12 0.12 203 1 6.1 47 1.0 6.0 6 0.08 124 1 6.1 47 1.0 6.0 12 0.08 125 1 8.4 32 2.0 7.5 19 0.35 756 1 7.2 6 1.0 7.0 28 0.30 307 1 8.4 113 3.5 6.0 18 0.15 758 1 7.5 52 1.0 6.0 12 0.16 409 1 7.5 52 3.5 7.5 6 0.16 4010 1 8.3 113 0.0 7.5 35 0.12 180续前表编号类别T1 T2 Z3 Z4 T5 Z6 T711 1 7.8 172 1.0 3.5 14 0.21 4512 1 7.8 172 1.5 3.0 15 0.21 4513 2 8.4 32 1.0 5.0 4 0.35 7514 2 8.4 32 2.0 9.0 10 0.35 7515 2 8.4 32 2.5 4.0 10 0.35 7516 2 6.3 11 4.5 7.5 3 0.20 1517 2 7.0 8 4.5 4.5 9 0.25 3018 2 7.0 8 6.0 7.5 4 0.25 3019 2 7.0 8 1.5 6.0 1 0.25 3020 2 8.3 161 1.5 4.0 4 0.08 7021 2 8.3 161 0.5 2.5 1 0.08 7022 2 7.2 6 3.5 4.0 12 0.30 3023 2 7.2 6 1.0 3.0 3 0.30 3024 2 7.2 6 1.0 6.0 5 0.30 3025 2 5.5 6 2.5 3.0 7 0.18 1826 2 8.4 113 3.5 4.5 6 0.15 7527 2 8.4 113 3.5 4.5 8 0.15 7528 2 7.5 52 1.0 6.0 6 0.16 4029 2 7.5 52 1.0 7.5 8 0.16 4030 2 8.3 97 0.0 6.0 5 0.15 18031 2 8.3 97 2.5 6.0 5 0.15 18032 2 8.3 89 0.0 6.0 10 0.16 18033 2 8.3 56 1.5 6.0 13 0.25 18034 2 7.8 172 1.0 3.5 6 0.21 4535 2 7.8 283 1.0 4.5 6 0.18 455.5(数据文件为ex5.5)表5-6是某金融机构客户的个人资料.对一个金融机构来说,对客户信用度的了解至关重要,因为利用这些资料,可以挖掘出许多重要的信息,建立客户的信用度评价体系.所选8个指标:x₁为月收入;x₂为月生活费支出;x₃是虚拟变量,住房的所有权属于自己的为“1”,租用的为“0”;x₄为目前工作的年限;x₅为前一个工作的年限;x₆为目前住所的年限;x₇为前一个住所的年限;x₈为家庭赡养的人口数;G为信用度级别,信用度最高为“5”,信用度最低为“1”.试对表5-6中的数据进行Fisher判别分析;又若一位新客户的8个指标分别为(2500,1500,0,3,2,3,4,1),试对该客户的信用度进行评价.表 5-6某金融机构客户的个人信用度评价数据序号x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 G1 1000 3000 0 0.1 0.3 0.1 0.3 4 12 3500 2500 0 0.5 0.5 0.5 2 1 13 1200 1000 0 0.5 0.5 1 0.5 3 14 800 800 0 0.1 15 1 3 1续前表序号x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 G5 3000 2800 0 1 2 3 4 3 16 4500 3500 0 8 2 10 1 5 27 3000 2600 1 6 1 3 4 2 28 3000 1500 0 2 8 6 2 5 39 850 425 1 3 3 25 25 1 310 2200 1200 1 6 3 1 4 1 311 4000 1000 1 3 5 3 2 1 412 7000 3700 1 10 4 10 1 4 413 4500 1500 1 6 4 4 9 3 414 9000 2250 1 8 4 5 3 2 515 7500 3000 1 10 3 10 3 4 516 3000 1000 20 5 15 10 1 517 2500 700 10 5 15 5 3 55.6(数据文件为ex5.6)为了研究中小企业的破产模型,选定4个经济指标:x₁为总负债率(现金收益/总负债);x₂为收益性指标(纯收入/总财产);x₃为短期支付能力(流动资产/流动负债);x₄为生产效率性指标(流动资产/纯销售额).对17个破产企业(1类)和21个正常运行企业(2类)进行了调查,得如下资料(见表5-7).试对表5-7中的数据进行Bayes判别分析并对8个待判样品类别进行判定.表5-7 中小型企业破产模型经济指标续前表附录附录1(两总体G₁和G₂距离判别的R程序“DDA2.R”)DDA2<-function(TrnG1,TrnG2,TstG=NULL,var.equal=FALSE){if(is.null(TstG)==TRUE)TstG<-rbind(TrnG1,TrnG2)if(is.vector(TstG)==TRUE)TstG<-t(as.matrix(TstG))elseif(is.matrix(TstG)!=TRUE)TstG<-as.matrix(TstG)if(is.matrix(TrnG1)!=TRUE)TrnG1<-as.matrix(TrnG1)if(is.matrix(TrnG2)!=TRUE)TrnG2<-as.matrix(TrnG2);nx<-nrow(TstGblong<-matrix(rep(0,nx),nrow=1,byrow=TRUE,dimnames=list("blong ",1:nx))mu1<-colMeans(TrnG1);mu2<-colMeans(TrnG2)if(var.equal==TRUE||var.equal==T){S<-var(rbind(TrnG1,TrnG2))w<-mahalanobis(TstG,mu2,S)-mahalanobis(TstG,mu1,S)}else{S1<-var(TrnG1);S2<-var(TrnG2)w<-mahalanobis(TstG,mu2,S2)-mahalanobis(TstG,mu1,S1)}for(iin1:nx){if(w[i]>0)blong[i]<-1elseblong[i]<-2}blong在该程序中,输入变量TrnG1和TrnG2分别表示来自总体G₁和G₂的训练样本,其输入格式是数据框或矩阵(样本按行输入);输入变量TstG是待测样本,其输入格式是数据框、矩阵(样本按行输入)或向量(一个待测样本).如果不输入TstG(默认值),则待测样本为两个训练样本之和,即计算训练样本的回判情况.输入变量var.equal是逻辑变量,var.equal=TRUE表示两个总体的协方差矩阵相同,否则(默认值)为不同.函数的输出是由“1”和“2”构成的一维矩阵,“1”表示待测样本属于G₁类,“2”表示待测样本属于G₂类.当两总体样本协方差矩阵相同时,该程序的使用命令为:DDA2(classG1,classG2,var.equal=TRUE).当两总体样本协方差矩阵不相同时,该程序的使用命令为:DDA2(classG1,classG2),附录2(多总体距离判别的R程序“DDAM.R”)DDAM<-function(TrnX,TrnG,TstX=NULL,var.equal=FALSE){if(is.factor(TrnG)==FALSE){mx<-nrow(TrnX);mg<-nrow(TrnG)TrnX<-rbind(Trnx,TrnG)TrnG<-factor(rep(1:2,c(mx,mg)))}if(is.null(TstX)==TRUE)TstX<-TrnXif(is.vector(TstX)==TRUE)TstX<-t(as.matrix(TstX))elseif(is.matrix(TstX)!=TRUE)TstX<-as.matrix(TstX)if(is.matrix(TrnX)!=TRUE)TrnX<-as.matrix(TrnX)nx<-nrow(TstX)blong<-matrix(rep(0,nx),nrow=1,dimnames=list("blong",1:nx))g<-length(levels(TrnG))mu<-matrix(0,nrow=g,ncol=ncol(Trnx))for(iin1:g)mu[i,]<-colMeans(TrnX[TrnG==i,])D<-matrix(0,nrow=g,ncol=nx)if(var.equal==TRUE|var.equal==T){for(iin1:g)D[i,]<-mahalanobis(Tstx,mu[i,],var(TrnX))}else{for(iin1:g)D[i,]<-mahalanobis(Tstx,mu[i,],var(Trnx[TrnG==i,]))}。
《应用多元分析》第三版(第五章 判别分析)
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§5.2 距离判别
❖ 一、两组距离判别 ❖ 二、多组距离判别
一、两组距离判别
❖ 设组π1和π2的均值分别为μ1和μ2,协差阵分别为Σ1和 Σ2(Σ1,Σ2>0) ,x是一个新样品(p维),现欲判断它 来自哪一组。
25
1.01
0.4
26
1.45
0.26
27
1.56
0.67
28
0.71
0.28
29
1.5
0.71
30
1.37
0.4
31
1.37
0.34
32
1.42 0.43
33
0.33
0.18
34
1.31
0.25
35
2.15
0.7
36
1.19
0.66
37
1.88
0.27
38
1.99
0.38
39
1.51
0.42
40
1.68
❖ 1. Σ1=Σ2=Σ时的判别 ❖ 2. Σ1≠Σ2时的判别
1. Σ1=Σ2=Σ时的判别
❖ 判别规则:
x x
1 2
, ,
若d 2 x,1 d 2 x, 2 若d 2 x,1 d 2 x, 2
❖
令W
x
a
x
μ
,其中
μ
1 2
μ1
μ2
,
a Σ 1 μ1 μ2 ,则上述判别规则可简化为
x x
1, 2,
若W x 0 若W x 0
❖ 称W(x)为两组距离判别的(线性)判别函数,称a为
chap05 判别分析
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∑q
l
= 1.则判别D1 , D2 ,, Dk
k k
所造成的误判损失的期望 — —平均误判损失为:
g ( D1 ,, Dk ) =
∑ q ∑ l P( j | i) = ∑∑ q l P( j | i).
i ij i ij i =1 j =1 i =1 j =1
Bayes判别就是使平均误判损失g ( D1 ,, Dk )达到 最小的一个判别{D1 , D2 ,, Dk }.
多元统 计分析
第五章 判别分析
一,判别分析的基本概念 二,Bayes判别准则 判别准则 两个类的Bayes判别 三,两个类的 判别 个类的Bayes判别 四,k个类的 个类的 判别 五,Fisher判别准则 判别准则 六,用SPSS做判别分析 做判别分析
转向练习
多元统 一,判别分析的基本思想 计分析 让我们来看几个建模比赛的题目: 让我们来看几个建模比赛的题目: 1,AMCM-89A:蠓虫分类 , : 2,CUMCM-00A:DNA序列分类 , : 序列分类
Dl = {x | ql f l ( x) > q j f j ( x), j ≠ l , j = 1,2,, k}, l = 1,2, k .
多元统 计分析
Dl = {x | ql f l ( x) > q j f j ( x), j ≠ l , j = 1,2,, k}, l = 1,2, k .
第5章判别分析fisher判别等
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Discriminant analysis
判别分析
用于判别样本所属类型的统计分析方法 基因识别:根据某一DNA序列的核苷酸组分、信号特 征等指标,判别是否编码蛋白序列? 医学诊断:某一病人肺部存在阴影,判别:
肺结核?良性肿瘤?肺癌? 人类考古学:根据头盖骨的特征,判别:民族、性别、 生活年代? 股票分析预测: 气象分析预测: 自然灾害分析预测: ……
p k 1
(
x (1) ki
x (1) i
)(
x (1) kj
x
(1) j
)
s(2) ij
1 q 1
q
(
x(2) ki
k 1
x (2) i
)(
x(2) kj
x
( j
2)
)
i, j 1,2,..., n i, j 1,2,..., n
Discriminant analysis
Discriminant analysis
判别分析问题 设有k个m维的总体G1, G2, …, Gk, (1). 它们的分布特征已知,可以表示为F1(x), F2(x), …,
Fk(x) (2). 或者知道来自各个总体的样本(训练样本)。 对于给定的一个未知样本X(检测样本),判别X属于
哪个总体。 多元的、复杂的、高度综合的统计分析问题
ss12((1ll1))
s(l) 12
s(l) 22
... ....
s(l) 1n
s(l) 2n
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 x2
应用多元统计分析习题解答_第五章(1)

第五章 聚类分析5.1 判别分析和聚类分析有何区别?答:即根据一定的判别准则,判定一个样本归属于哪一类。
具体而言,设有n 个样本,对每个样本测得p 项指标(变量)的数据,已知每个样本属于k 个类别(或总体)中的某一类,通过找出一个最优的划分,使得不同类别的样本尽可能地区别开,并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品(或变量)进行量化分类的问题。
在聚类之前,我们并不知道总体,而是通过一次次的聚类,使相近的样品(或变量)聚合形成总体。
通俗来讲,判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类,而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
5.2 试述系统聚类的基本思想。
答:系统聚类的基本思想是:距离相近的样品(或变量)先聚成类,距离相远的后聚成类,过程一直进行下去,每个样品(或变量)总能聚到合适的类中。
5.3 对样品和变量进行聚类分析时, 所构造的统计量分别是什么?简要说明为什么这样构造?答:对样品进行聚类分析时,用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为 (一)闵可夫斯基距离:1/1()()pq qij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值,分为 (1)绝对距离(1q =)1(1)pij ik jk k d X X ==-∑(2)欧氏距离(2q =)21/21(2)()pij ik jk k d X X ==-∑(3)切比雪夫距离(q =∞)1()max ij ik jkk pd X X ≤≤∞=-(二)马氏距离(三)兰氏距离对变量的相似性,我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向,因此用相关性进行衡量。
21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jkij k ik jk X X d L p X X =-=+∑将变量看作p 维空间的向量,一般用(一)夹角余弦(二)相关系数5.4 在进行系统聚类时,不同类间距离计算方法有何区别?选择距离公式应遵循哪些原则?答: 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离,用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第五章部分习题解答)
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特征向量时等号成立 .
又S 1B ( X (1) X (2) )( X (1) X (2) )S 1与
D 2 ( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )
有相同的特征值 .故1 D2;
18
第五章 判别分析
以下来验a就 证是D2对应的一个特征: 向量 S1BaS1(X(1) X(2))(X(1) X(2))S1(X(1) X(2))
应用多元统计分析
第五章部分习题解答
第五章 判别分析
5-1 已知总体Gi (m=1)的分布为: N((i),i2) (i=1,2) ,按
距离判别准则为(不妨设μ(1)>μ(2),σ1<σ2)
xx G G21,,若 若x**或 xx**,,
其中
解:
*
1(2) 1
2(1) 2
试. 求错判概率P(2|1)和P(1|2).
2
PU a PU b
(1) 2
(2) 1
(1) 1
(2) 2
.
.
(b) (a)
4
第五章 判别分析
5-2 设三个总体的分布分别为: G1为N(2,0.52), G2为
N(0,22),G3为N(3,12).试问样品x=2.5应判归哪一类? (1) 按距离准则; (2) 按Bayes准则 q1q2q31 3,L(j|i) 1 0,,ii jj
所以 q1f1(x)0.16,1类 3 似可得 q2f2(x)0.03,0q34f3(x)0.11,74
因0.1613>0.1174>0.0304,所以样品x=2.5判归G1.
7
第五章 判别分析
解三:后验概率判别法,
计算样品x已知,属Gt的后验概率:
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欧氏距离在处理统计问题时的缺点:要求坐标各分量的度量 一致、波动幅度一致。
1936年,印度统计学家Mahalanobios引入统计距离概念, 也称为“马氏距离”
设Q点坐标固定,P点坐标相互独立变化。用s12,s22,…,sm2 表示P的m个坐标的n次观测的样本方差,则P到Q的统计距 离 2 2 2
t 1 j 1 t 1 j 1 def k nt k nt
a TBa 若k 个总体均值有显著差异,则比值 (a) T 应充分大. a Aa
def
a T Aa
问题转化为求a使得Δ(a)达到最大。为使解唯一,变为条件 极值问题:求a使得Δ(a)在条件 aTAa = 1 达到最大。
2
线性判别函数的求法
2 dm (X,G) (X μ)T Σ 1(X μ)
设两总体G1、G2,它们的均值向量为μ1和μ2,协方差阵都为 Σ,则总体G1和G2之间的马氏距离定义为
2 dm (G1, G2 ) (μ1 μ2 ) T Σ 1(μ1 μ2 )
马氏距离满足距离的三条公理
(1) 非负性
(2) 对称性
已知a在条件 aTAa = 1下使Δ(a) 达到最大的方向,称u(X) = aTX为线性判别函数。利用拉格朗日乘数法求条件极值。 令L(a) = aTBa-λ(aTAa-1) = 1,又令 dL/da = 2(B- λA)a = 0,可得 Ba=λAa,即 A-1Ba =λa。这说明λ是A-1B 的特征值,a是相应的特征向量。进一步, Δ(a) = aTBa =λaTAa =λ
2 误判率的交叉确认估计法
每次剔除一个样品,利用其余n1+n2-1个样本建立判别 准则,再用所建立的判别准则对删除的样品做判别,对样 本中每个样品都做上述分析,以其误判的比例来作为误判 概率的估计。具体步骤: (1) 从总体G1开始,剔除其中的一个样品,用剩余的n1-1 个样品为G1的样本, G2的样本不变,建立判别函数; (2) 用建立的判别函数对剔除的样品作判别; (3) 重复(1)(2),对G2也作如此处理,其误判样品个数分别 记为n12*、n21*。 n12 n 21 ˆ (4) 交叉误判率的估计 a* n1 n 2
第一节 距离判别法
第二节 以直线划分的判别法
第三节 以曲线划分的判别法
第四节 费歇尔判别法
第五节 逐步判别法
§1 距离判别法
1.1 统计距离 设m维空间上两点P(x1,x2,…,xm)与Q(y1,y2,…,ym),P与Q的 欧氏距离:
d(P,Q) = [(x1-y1)2+(x2-y2)2 +…+ (xm-ym)2]1/2
1
1 2
d ( x, k ) zz ( x x(k ))sk ( x x(k ))
• 判别原则: • 二、马氏距离导出的二次曲线判别
• 例3.研究某年全国各地区农民家庭收支的分布规 律,根据抽样调查资料进行分类,共抽取28个省、 市、自治区的六个指标数据。先采用聚类分析, 将28个省、市、自治区分为三组,其中北京、上 海、广州3个城市属于孤立样本单位,未归属于已 分的三组中,现采用曲线判别法来判定北京、上 海、广州归属于哪个组。原始数据见 spssex/ex603
3 Fisher判别准则 (一) 两个总体的Fisher判别准则 易知两总体的组间离阵B的秩为1,故A-1B只有一个非零 特征值λ,对应的特征向量为b。线性判别函数u(X) = bTX, 相应的判别效率
(1) 若 d(X,G1) ≥ d(X,G2) ,则 X ∈ G2; (2) 若 d(X,G2) ≥ d(X,G1) ,则 X ∈ G1; 实际问题中,μ1、μ2、Σ1、Σ2往往未知,分别用其样本 均值和样本方差来估计,则马氏距离的估计值分别为
-1 ˆ2 dm (X,G1 ) (X X (1)) T S1 (X X (1)) ˆ d2 (X,G ) (X X (2)) T S-1(X X (2))
问题最终转化为求A-1B的最大特征值。
设A-1B的正特征值λ1≥λ2≥…≥λr>0,相应的特征向量 a1,a2,…,ar。ui(X) =aiTX为第i个线性判别函数,当第1个线 性判别函数不能很好地区分多个总体时,可再利用第2、第 3、…线性判别函数。Δ(a) 也称为判别效率。 前q个线性判别函数的累计判别能力(q≤r) Pq = (λ1+…+λq) / (λ1+ … +λr)
注:一般地,总体差异越大,判别准则越有效。
§2 以直线划分的判别法
• 一、判别的基本思想 • 把观测到的n个样本看作p维空间的n个点,以 某种方法将p维空间划分为互不相交的q个区域, 每个区域对应着一个类,对于给定的新样本点, 必然要落入其中某个类中。 • 对于满足类内样本点接近、类间样本点疏远的 性质,可以通过统计量来表现。
1 k ˆ ΣS (nj 1)Sj n k j 1
其中 n nk
j 1
k
1.3 判别准则的评价
当一个判别准则提出后,还要研究其优良性,即要考 察误判概率。 1 误判率回代估计法
设 (X1(1),X2(1) ,…,Xn1(1) ) 与(X1(2) ,X2(2) ,…,Xn2(2) ) 是分别来 自总体G1、G2的样本,以全体样本作为n1+n2个新样本, 逐个代入已建立的判别准则中,判别其归属,这个过程为 回代。用n12、n21分别表示将本属于G1的样本误判为G2的 个数、将本属于G2的样本误判为G1的个数,误判率的回 代估计 ˆ n n 21 a 12 n1 n 2
m 2 2
距离判别准则为 ∧ ∧ (1) 若 d(X,G1) ≥ d(X,G2) ,则 X ∈ G2;
(2) 若 d(X,G2) ≥ d(X,G1) ,则 X ∈ G1;
∧
∧
1.2
多个总体的距离判别
设k个m元总体G1、…、Gk,它们的均值向量为μ1、…、 μk,协方差阵分别为Σ1、...、Σk。设X = (x1, x2, … , xm)是 一待判样品,马氏距离为
d(P,Q)≥0,等号成立的充要条件是P = Q;
d(P,Q) = d(Q,P); d(P,Q)≤d(P,R) + d(R,Q)。
(3) 三角不等式
设两个m元总体G1、G2,它们的均值向量为μ1和μ2,协 方差阵分别为Σ1、Σ2。设X = (x1, x2, … , xm)是一待判样品, 距离判别准则为
第五章 判别分析
在一些自然科学和社会科学的研究中,研究对象用某种 方法已划分为若干类型,当得到的一个新的样品数据(通常 是多元的),要确定该样品属于已知类型中的哪一类,这样 的问题属判别分析。 判别分析是根据观察或测量到若干变量值,判断研究对 象如何分类的方法。实际上是根据表明事物特点的变量值和 它们所属的类求出判别函数,根据判别函数对未知所属类别 的事物进行分类的一种分析方法。 分类: 1、按判别的组数来分,有两组判别分析和多组判别分析 2、按区分不同总体所用的数学模型来分,有线性判别和非 线性判别 3、按判别对所处理的变量方法不同有逐步判别、序贯判别。 4、按判别准则来分,有费歇尔判别准则、贝叶斯判别准则
• 将各组样本均值投影到某条直线上,得 到各组样本均值在该直线的投影坐标, 投影坐标值距离越远越容易判断待判样 本属于哪个组。
b
a
1 k nt ( t ) 1 X X j , X ( t ) n t 1 j1 nt 组间离差平方和
B0 n t ( a X a X) a
当k个总体协方差矩阵相等时,Σ1=Σ2=...=Σk= Σ。判别函 数为 Wij(X) = 0.5[d2(X,Gi)-d2(X,Gj)]
= [X-0.5(μi+μj)]T Σ-1 (μi-μj)
距离判别准则为
(i , j = 1,…,k)
对所有的j≠i,当Wij(X)>0时,则判X ∈ Gi; 当Wij(X)=0时,则判X ∈ Gi或X∈ Gj。 实际问题中,μ1、…、μk、Σ往往未知,分别用其样本均 值和样本方差来估计
y0 n1 n2
如果 y( A) y( B) ,则判定准则为: y>y0,x属于A 组; y<y0,x 属于B组 如果 y( A) y( B) ,则判定准则为:y>y0,x属于B组; y<y0, x属于A组
• 例1:为研究某地区育龄妇女的生育状况,根据生 育峰值年龄,一胎生育率,二胎生育率、多胎生 育率及总和生育率5项指标,将12个已知样本点 分为两组,根据已知样本建立判别函数,并判定 另外3个待判个体属于何组。数据见 spssex/ex601
(x1 y 1 ) (x 2 y 2 ) (x m y m ) D(P,Q) 2 2 2 s1 s2 sm
设X、Y是从均值向量为μ、协方差阵为Σ的总体G中抽取的 两个样本,X与Y两点间的马氏距离定义为
2 dm (X,Y) (X Y)T Σ 1(X Y)
X与总体G的马氏距离定义为
1 k nt ( t ) 1 X X j , X ( t ) n t 1 j1 nt
B0 n t ( a X a X) a
T (t ) T 2 t 1 k nt k T
X (j t ), t 1,.Leabharlann ., k j 1k
nt
nt (X X) (X X) a a TBa
y 1.035x1 4.117x2 1.544x3 2.008x5
• 三、三个类别情形的判别 • 1、三条线都有通过所有点的重心 • 2、三条线相交组成一个三角形
§3 以曲线划分的判别法
• 一、判别原理 • 马氏距离: • 判别函数:
2
dij (M ) [(xi x j )s 1 ( xi x j )]
d2 (X,Gi ) (X μi ) T Σ-1(X μi ) (i 1,...,k)