第6章 环境判别分析

%对应历史数据的分组编号!!
group=[1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2]‘; %是11x1的列向量
%指定模型类型
type='linear';
%调用函数classify() ;
class= classify(Sample,Training,group,type) ;
%程序输出结果 class= 1 1 2
2.48
1.98 1.55
1.10
1.05 1.07
1.60
1.47 1.52
4
3 3
矿井编 号
（续表）
X1 X2 X3 X4 X5 X6 等级
11
12 13 14 原 始 样 本 15
85.10 6.87
86.54 7.91 84.68 8.07 84.10 9.13 82.34 8.63
25.2
1 2

总体协方差矩阵和它的逆矩阵为：
1.2135 0.3317 Σ 0.3317 1.7979 1 0.8678 0.1601 Σ 0.1601 0.5857 1 Σ ( 1 2) 1.0817 5.3240 '
26.5
30.7 28.9 29.6 28.5
1.14
0.56 0.87 0.96 0.48
0.81
0.79 0.45 0.58 0.74
1.20
1.89 0.78 0.98 1.17
2
1 1 1 1
序号 训 练 样 本
G1 第 1组 SO2 污染 G2 第 2组 HCI 污染 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 待判样本 X
叶色指数 植株生长指数
9.6 9.3 8.7 8.8 8.5 10.2 11.3 9.8 7.2 8.5 9.6 9.2 19.6 19.9 18.6 18.9 19.6 30.3 28.7 25.6 27.6 29 30 19
x G1 d(x, G1) d(x, G 2 ) x G2 d(x, G1)d(x, G2) (6.1) 待判 d(x, G1)=d(x, G2)
•
当总体G1和G2为正态总体且协方差矩阵相等时， 距离选用马氏距离，即：
1 d (x, G1) (x μ1)'1 (x μ1) 1 d (x, G2) (x μ2)'1 (x μ2)
解答：本题的训练样本共11个，分2组。 待判样本为3个。利用Matlab函数classify() 对3个待判样本进行判别分析，发现样本1， 2， 3 分别属于第1，1 ，2组。即样本1， 2 是遭受SO2污染，而样本3是遭受HCI污染。 具体结果如下： 观测样本 1 2 3 判别结果 第1组 第1组 第2组
序号
G1 第 1组 SO2 污染 G2 第 2组 HCI 污染 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 待判样本 X
叶色指数
9.6 9.3 8.7 8.8 8.5 10.2 11.3 9.8 7.2 8.5 9.6 9.2
植株生长指数
19.6 19.9 18.6 18.9 19.6 30.3 28.7 25.6 27.6 29 30 19
2 3
8.6 11.2
19.6 30.3
解法一、直接根据公式计算判别函数W(x) （书p143-144） 解法二、Matlab函数 classify; Matlab 程序模板

解 将第一组记为G1，第二组记为G2。经过计算， 各类样本的指数均值为：
1 n μ1 xi x (8.9800 19.3200 ) n1 i1 1 n μ 2 yi y (9.4333 28.5333 ) n 2 i1 μ (9.2067 23.9267)
(6.2) (6.3)
这里，1,2,1,2分别为总体G1和G2的均值、
协方差矩阵。 , 分别为1,2的逆矩阵。 回顾: 向量与矩阵运算的规则!
1 1 Σ Σ 1 2
概括上述法则，可直观地描述为: 未知所属总体的样本 x ，离哪个总体较近，就 判x属于哪个总体，即算出样本x到总体G2和 G1的距离差,即 w(x)=d(x,G2)-d(x,G1)
若差值为正，则样本 x 属于 G1 ，否则， x 属于 G2 。

于是判别规则(6.1)可以表示为：
x G1 W(x) 0 x G2 W(x) 0 待判 W(x)= 0
(6.5)

其中，称W(x)为判别函数，由于它是x的线性函 数，又称线性判别函数。
线性判别的应用最为广泛，本章的大部分内容是 讨论线性判别函数及其应用。
class = classify(sample,training,group) classifies each row of the data in sample into one of the groups in training. sample and training must be matrices with the same number of columns. group is a grouping variable for training.

2. 距离判别的基本步骤总结
（i）估计总体G1, G2的均值与协方差
（ii）根据总体G1, G2的均值与协方差计算判
别函数W(x)
（iii）根据判别函数W(x)的符号（>0,<0,=0）
确定样本x到底是属于G1，G2还是不确定。
四. 判别分析举例
例1（书P143例6.1）
已知两组分别受到SO2和HCI污染的植物 样本，试根据这两组已知样本对3个新测 的植物样本进行判别，确定它们到底是 受到受到SO2还是HCI污染？
24.0 26.1 27.9 27.4
1.63
1.75 1.50 1.48 1.35
1.09
1.00 0.86 0.91 0.97
1.59
1.41 1.39 1.28 1.35
3
3 2 2 2
16
17 18 19 20
80.25 9.87
10.0 5 12.3 78.98 0 11.2 73.56 8 10.8 70.14 7 75.68
（续表） 序号 1
待判样本 (X)
叶色指数 植株生长指数 9.2 8.6 11.2 19 19.6 30.3
2 3
二、判别分析的概念、原理、分类
1. 描述性定义： 判别分析是在根据历史分类 数据或分类标准，建立分类判别模型并根据判 别模型对新的观测样本进行分类判别。
统计定义：设有k个总体G1, G2, …, Gk, 希望建立一个准则（模型），使得对 任意一个样本x, 依据这个准则（模型） 可以判断其属于那个总体。
第6章 环境判别分析 （Discriminant Analysis）
一、引例：书P143例6.1
已知两组分别受到SO2和HCI污染的植物样本如下，试 根据这两组已知样本对新样本的污染类型进行判定。
序号 G1 第 1组 SO2 污染 G2 第 2组 HCI 污染 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 叶色指数 9.6 9.3 8.7 8.8 8.5 10.2 11.3 9.8 7.2 8.5 9.6 植株生长指数 19.6 19.9 18.6 18.9 19.6 30.3 28.7 25.6 27.6 29 30
2. 判别分析的基本原理
按照一定的判别准则，建立一个或多个判别 函数；根据历史数据资料确定判别函数中的 待定系数，确定判别函数。 根据判别函数对待判样本的类别进行判定。
3. 判别分析的分类
（1）根据判别的组数，可以分为两组
判别分析和多组判别分析；
（2）根据判别函数的形式，可以分为线
性判别和非线性判别 （3）根据判别式处理变量的方法， 可以分为逐步判别、序贯判别等； （4）根据判别标准，可以分为 距离判别、Fisher判别、Bayes判别法等
Training=[9.6 9.3 8.7 8.8 8.5 10.2 11.3 9.8 7.2 8.5 9.6 19.6 19.9 18.6 18.9 19.6 30.3 28.7 25.6 27.6 29 30];
%待判样本数据( Sample data): 新的观测 样本数据，共3个待判样本 Sample=[9.2 8.6 11.2 19 19.6 30.3];
1 2 3 4 原 始 样 本 5 6 7
X1
97.3 8 98.1 0 96.4 5 95.3 0 94.8 7 93.1 5 91.5 7 90.7 8 87.6 9 89.3 4
X2
2.12 3.65 3.14 3.87 4.03 5.35 4.89
X3
21.5 19.5 18.0 22.0 23.1 22.7 22.2
解法二、Matlab函数
classify;
Matlab
Matlab函数classify()


Syntax
class = classify(sample,training,group) class = classify(sample,training,group,'type') class = classify(sample,training,group,'type',prior) [class,err] = classify(...) [class,err,POSTERIOR] = classify(...) [class,err,POSTERIOR,logp] = classify(...) [class,err,POSTERIOR,logp,coeff] = classify(...)
从而判别函数：
1 W ( x) ( x μ)'Σ ( μ1 μ2)
1.0817 x1 9.2067 5.3240 x 2 23.9267
将3个待判的样本数据分别代入到上面的判别函 数中，可以分别求得函数值为： W1=26.2223，W2=22.3789，W3=-31.7753 W10，W20，W3 <0，根据判别函数的定 义，可以判定样本1、样本2属于G1，样本3属 于G2。
）
）
(Training (Sample
待 判 样 本
2 3
8.6 11.2
19.6 30.3

class = classify(sample,training,group,'type') allows you to specify the type of discriminant function.


type is one of the following:
linear’ diaglinear quadratic diagquadratic
例6.1的Matlab程序
%训练样本数据（Training data）：历史 数据，第1组5个样本，第2组6个样本， 两组拼在一起共11个样本！
例2：书P153例6.3
南方矿业集团下属企业的3个矿井的安全评价： 根据南方矿区的特点和历史经验，采取的评价 因素为6个指标，原始样本数据和对应的安全评 级见下表。 现在3个新样本（矿井）的数据已 经取得，请根据原始样本数据和对应的安全评 级对3个矿井进行评级。
历史数据及对应的安全评级
矿井编 号
X4
2.87 3.35 3.50 2.56 2.01 2.32Βιβλιοθήκη Baidu2.21
X5
1.40 1.31 1.20 1.25 1.17 1.19 1.13
X6
1.83 2.24 1.94 2.50 1.79 1.72 1.68
等级
5 5 5 5 4 4 4
8
9 10
5.87
6.17 7.32
23.8
25.9 24.3
三、距离判别分析 （本章重点，以两总体为例，P140）
1.基本原理：对两个总体 G1, G2 和待判样本 x, 先定义一个样本到总体 的距离d(x,G1), d(x,G2), 然后根据距 离的大小决定x到底属于哪个样本。

设有两总体G1和G2，x是一个p维的样本，若能定 义样本x到总体G1和G2的距离d(x, G1)和d(x, G2) ， 则可用如下的规则进行判别：若样本x到总体G1的 距离小于到总体G2的距离，则认为样本x属于总体 G1 ；反之，则认为样本x属于总体G2 ；若样本x到 总体G1和G2的距离相等，则让它待判。这个准则 的数学模型可描述为：