冀教版初三数学知识点
(完整版)冀教版初三数学知识点
初三上册23 章数据分析23.1 平均数和加权平均数1、一般地，我们把n个数x1, x2,..., x n的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作x ，读作“x拔”，即x 1 (x1 ... x n ).n2、已知n个数x1, x2 ,..., x n ，若w1, w2 ,..., w n为一组正数，则把x1w1 x2 w2 ... x n w nx1,x2,...,x n的加权平均数，w1 w2 ...w n1 12 2 n n叫做n 个数w1 , w2 ,..., w n分别叫做这n 个数的权重，简称权。
23.2 中位数和众数1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。
23.3 方差设n 个数据x1, x2 ,..., x n 的平均数为x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是(x1 x)2,(x2 x)2,...,(x n x)2。
偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用s2表示，即2 1 2 2 2s (x1 x) ( x2 x) ... (x n x)n当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。
因此，方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小。
23.4 用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。
但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。
因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。
24 章一元二次方程24.1 一元二次方程1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程，叫做一元二次22方程。
冀教版九年级数学 24.1 一元二次方程(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
例1 [ 月考·石家庄 ] 下列方程：① x2－2x＋2=0；② x2＋ 2x＋3=x( x＋1)；③ 2x＋3y=6；④( a2＋2) x2－2x＋ 3=0. 其中一定 是一元二次方程的有 ____1____个 .
∵ a2 ≥ 0，∴ a2+2>0，即 a2+2恒为正，不能为0.
感悟新知
2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是 2.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
警示误区 1. 原方程中等号两边都必须是整式，而不是整理合
并之后等号两边是整式. 2. 最高次数是 2 的项的系数的取值范围不明确的方
程不一定是一元二次方程，如： (m－2) ·x2＋3x －8=0不一定是一元二次方程 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别 . 解：①不是整式方程，故不是一元二次方程； ②原方程变形得 x+3=0，未知数的最高次数不是 2，故不是一元二次方程； ③方程中含有两个未知数，故不是一元二次方程； ④方程符合一元二次方程的“三要素”，是一元 二次方程 .
感悟新知
感悟新知
知2－讲
特别提醒 a≠ 0 是方程 ax2+bx+c=0 是关于x 的一元二次
方程的前提；反之，如果方程 ax2+bx+c=0 是关于 x的一元二次方程，则必隐 含 a≠ 0 这一条件.
感悟新知
2. 特殊形式 特殊形式
ax2 +bx= 0 ( a ≠ 0， b ≠ 0)
ax 2 +c= 0 ( a ≠ 0， c ≠ 0)
感悟新知
冀教版九年级圆的知识点总结归纳
冀教版九年级圆的知识点总结归纳圆是几何中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。
在冀教版九年级数学教材中，关于圆的知识点和性质进行了详细的介绍和探究。
本文将对冀教版九年级数学教材中关于圆的知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和理解圆的概念和性质。
一、圆的定义与相关概念在学习圆之前，我们首先要了解圆的定义和相关概念。
1. 圆的定义：圆是平面上到一定点距离相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、弧、弦、直径等。
3. 相关概念：直径、半径、弧长、弦长、圆心角、圆周角等。
二、圆的性质及相关定理1. 圆的性质：(1) 圆上任意两点与圆心连线的长度相等；(2) 圆的半径相等；(3) 圆上的任意弧都小于或等于半圆；(4) 圆上的任意弧所对的圆心角相等；(5) 圆上的任意弧所对的弧长与圆心角大小成正比。
2. 相关定理：(1) 弧长定理：圆的弧长与圆心角的大小成正比；(2) 弧度制与角度制的转换关系：1弧度= 180° / π ；(3) 圆心角定理：位于同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等；(4) 弦切定理：切线与弦的关系。
三、圆的应用1. 圆的面积计算：圆的面积公式为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
2. 相关应用题：(1) 已知圆的半径，如何求圆的周长和面积；(2) 如何判断一个点在圆内或外；(3) 如何判断两个圆的位置关系。
四、圆的构造1. 构造圆的方法：(1) 已知圆心和半径，可以利用圆规和直尺来画出一个圆；(2) 已知圆上的三个点，可以通过连线构造出圆。
2. 相关构造题：(1) 如何通过点和直线构造圆；(2) 如何通过两个不同的点构造圆。
五、圆的证明题在九年级数学教材中，我们还会遇到一些关于圆的定理的证明题，如三角形内切圆和外接圆的性质证明等。
对于这类题目，我们需要灵活运用所学知识，利用图形特点和定理推理，进行证明。
综上所述，圆是数学中一个重要且广泛应用的几何概念，掌握圆的相关知识点和性质对于我们理解几何学和应用数学非常重要。
冀教版九年级数学知识点
冀教版九年级数学知识点九年级数学知识点空间与图形图形的认识：1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。
②面与面相交得线，线与线相交得点。
③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。
②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。
②圆可以分割成假设干个扇形。
角线：①线段有两个端点。
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线只有一个端点。
③将线段的两端无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
④经过两点有且只有一条直线。
比拟长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。
②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。
②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比拟：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。
②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。
始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。
③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
③平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直。
初三数学复习资料有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。
冀教版初三数学知识点
冀教版初三数学知识点学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。
任何科目学习方法其实都是一样的，不断的记忆与练习，使知识刻在脑海里。
下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点，希望对大家有所帮助。
九年级下册数学知识点归纳圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹初三下册数学知识点总结2021一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
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初三上册23章 数据分析23.1平均数和加权平均数一般地, 我们把n 个数的和与n 的比, 叫做这n 个数的算术平均数, 简称平均数, 记作, 读作“x 拔”, 即)....(11n x x nx ++=- 已知n 个数, 若为一组正数, 则把叫做n 个数的加权平均数, 分别叫做这n 个数的权重, 简称权。
23.2中位数和众数1、一般地, 将n 个数据按大小顺序排列, 如果n 为奇数, 则把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数, 则把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
一般地, 把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。
一组数据的众数可能不止一个, 也可能没有众数。
23.3方差设n 个数据的平均数为, 各个数据与平均数偏差的平方分别是。
偏差平方的平均数叫做这组数据的方差, 用表示, 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=---222212)(...)()(1x x x x x x n s n当数据分布比较分散时, 方差较大；当数据分布比较集中时, 方差较小。
因此, 方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。
23.4用样本估计总体由于抽样的任意性, 即使是相同的样本容量, 不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时, 差异可能还较大。
但是当样本容量增大时, 样本的平均数的波动变小, 逐渐趋于稳定, 且与总体的平均数比较接近。
因此, 在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理, 我们也用样本的方差估计总体的方差。
24章 一元二次方程24.1一元二次方程1.只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数为2的整式方程, 叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为其中, 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数, 是常数项。
一元二次方程的解也叫做这个方程的根。
24.2解一元二次方程配方法: 通过配方, 把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方, 另一边为常数, 当常数为非负数时, 利用开平方, 将一元二次方程转化为两个一元一次方程, 从而求出原方程的根。
冀教版九年级数学中考知识点函数的梳理
函数是数学中的重要概念，也是初中数学中比较基础的知识点。
在冀教版九年级数学中，函数的学习涉及到函数的定义、函数的表示方法、函数的性质与应用等内容。
以下是对这些知识点进行的详细梳理。
一、函数的定义：函数的定义是理解函数的关键，一般分为叙述性定义和数学表达式定义两种形式。
1.叙述性定义：函数是一种对应关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
叙述性定义常用“自变量与因变量的关系”来描述。
2.数学表达式定义：函数可以用数学形式的公式或方程来表示，一般形式为y=f(x)。
其中，x被称为自变量，y被称为因变量，f(x)表示函数的运算规则。
二、函数的表示方法：1.函数的图像表示法：函数的图像用平面直角坐标系中的曲线来表示。
对于y=f(x)，可以通过选择一些自变量的值，代入函数中求得相应的因变量的值，并在坐标系中绘制出这些点，然后用光滑的连接曲线将它们连接起来。
2.函数的列表表示法：将其中一函数的自变量和因变量的对应关系列成表格。
表格中的每一行代表一个自变量和因变量的对应关系，可以用{x,f(x)}的形式表示。
3.函数的解析式表示法：可以用一个代数式来表示函数。
代数式表示自变量与因变量的关系，通常以y=f(x)的形式表示。
也可以用函数关系式或方程、不等式的形式表示。
三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入值。
值域是指函数所有可能的输出值的集合。
2.奇偶性：定义在对称区间上的函数，如果对于每一个x，f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数；若对于每一个x，f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数；若函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为既非奇函数又非偶函数。
3.单调性：函数在一个区间上的单调性有增也有减，称为该区间上的函数为非单调函数；若在一个区间上只有增或只有减，则称这个区间上的函数为单调函数；若函数在任一区间上都是递增的，则称这个函数为递增函数；若函数在任一区间上都是递减的，则称这个函数为递减函数。
九年级上册数学冀教版圆的知识点
九年级上册数学冀教版圆的知识点圆是数学中的一个基础概念，也是九年级上册数学冀教版中的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍圆的定义、性质以及一些相关定理，以帮助大家更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的定义圆是平面上一组与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆可以用符号“O” 表示。
二、圆的性质1. 圆的半径相等的两条弦相等。
证明：对于圆O，假设弦AB和弦CD的长度相等，即AB=CD。
连接AO、BO、CO、DO。
由圆的定义可知，AO=BO=CO=DO，所以△AOB≌△COD。
根据三角形的性质可知 AB=CD。
2. 相等弧所对的圆心角相等。
证明：设圆弧AB和圆弧CD等长，即 AB=CD，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知 AO=BO=CO=DO，同时根据圆的定义可知 AO=CO，BO=DO。
故有△AOB≌△COD，所以∠AOB=∠COD。
3. 在同一个圆中，离圆心较远的弧所对的圆心角比离圆心较近的弧所对的圆心角大。
证明：设弧AB较长，弧CD较短，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知AO=BO=CO=DO，但由于CD<AB，所以∠COD<∠AOB。
三、相关定理1. 直径定理直径是圆上任意两点之间的最长线段，也是通过圆心的两条弦之一。
直径是圆上最特殊的一条弦，有一个重要的定理与之对应：圆上的任意弦若与直径垂直，则该弦是直径。
证明：设弦AC与直径BD垂直，连接BC和AD。
根据圆的性质可知AB=CD，并且∠BAC=∠BDC=90°，所以△ABC≌△CBD。
由此可知AC=BD，即弦AC与直径BD相等，所以弦AC是直径。
2. 弦割定理在同一个圆内，若有两条弦AB和CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED。
证明：连接OA、OB、OC、OD。
根据圆的性质可知OA=OC，OB=OD，所以△OAE≌△OCE，△ABE≌△CDE。
冀教版初中数学九年级知识点
第二十三章 数据分析1、平均数一般地，我们把 n 个数 x 1，x 2，…，x n 的和与 n 的比，叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 x ，读作“x 拔”.()n x x x n x 211+=平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”.加权平均数：已知n 个数n x x x 21,，若n ωωω,,,21 为一组正数，则把nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211叫做n 个数的加权平均数。
⑴数据的权能够反映数据的相对“重要程度”， 加权平均数的分母恰好为各权的和.，⑵平均数可看做是权数相同的加权平均数.新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。
)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。
2、众数与中位数众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.当一组数据中某数据多次重复出现时，常可以用众数作为这组数据的数值的一个代表值.中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。
如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、方差 方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小.极差：最小值最大值x x -4、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估第二十四章 一元二次方程1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
冀教版九年级数学中考知识点函数的梳理
冀教版九年级数学中考知识点函数的梳理第9讲 平面直角坐标系与函数( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x ＝0，y ＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )． （5）点M （x,y ）平移的坐标特征：M （x,y ） M 1(x+a ,y )M 2(x+a ,y+b )xy第四象限 (＋，－)第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)第一象限 (＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第10讲一次函数b＞0 b＜0 b>0 b<0 b＝0三、知识清单梳理（1）意义：从反比例函数y ＝kx(k ≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k 的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S △AOC =S △OPE ＞S △BOD .第12讲 二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用。
冀教版初中数学知识点
冀教版初中数学知识点数学是一门重要的学科，对于初中学生来说，掌握好数学知识点是非常重要的。
在冀教版初中数学教材中，有许多重要的知识点需要我们掌握和理解。
本文将对冀教版初中数学知识点进行详细介绍。
一、有理数有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数、零等。
在冀教版初中数学中，我们需要掌握有理数的四则运算、绝对值、比较大小等基本概念和方法。
同时，我们还需要了解一些有理数的性质，如加法逆元、乘法逆元等。
二、代数式与多项式代数式是由数、字母、连接符号和运算符号组成的式子。
多项式是由若干个代数式及其运算所组成的式子。
在冀教版初中数学中，我们需掌握多项式的基本性质和运算法则，如加法、减法、乘法等。
同时，我们还需要理解多项式的因式分解及其应用。
三、线性方程与一元一次方程线性方程是具有形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知值，x是未知数。
一元一次方程是线性方程的一种特殊情形。
在冀教版初中数学中，我们需了解解一元一次方程的基本概念和解法，如等式的变形、等式通性及方程的等价变形等。
四、直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角为90°。
勾股定理是描述直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的定理。
在冀教版初中数学中，我们需要学会判断直角三角形，掌握勾股定理的基本内容，如计算直角三角形的边长、判断直角三角形是否存在等。
五、平面图形平面图形是指在一个平面上所组成的图形，如三角形、四边形、多边形等。
在冀教版初中数学中，我们需要掌握平面图形的基本概念及性质，例如计算各种图形的周长、面积等。
同时，我们还需要了解平面图形的分类及其性质，如对称性、相似性等。
六、比例与类比比例是指两个具有相同单位的量之间的相对大小关系。
类比是指对两个对象或事物之间的相似关系进行对比和推理。
在冀教版初中数学中，我们需要掌握比例的基本概念及运算法则，如比例的求解、比例的倍数及比例的应用等。
同时，我们还需要理解类比的概念及类比的推理方法。
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14.1 平方根
次根式的化简，会进行二次根式的
★★
14.2 立方根 14.3 实数
混合运算
5、掌握轴对称的性质，会运用轴 4 4
2
2
14.4 近似数
对称性质解决问题，能用等腰三角
14.5 用计算器求平方根与立方根
形，等边三角形的性质和判定解决
第 15 章、二次根式
有关问题
15.1 二次根式
★
15.2 二次根式的乘除运算
元法，能选择适当的方法解二
元一次方程组，会运用二元一 2 2 2 2
次方程组解决简单的实际问题
2、了解相交线的概念及性质，
掌握平行线的性质与判定，能
运用平移的知识解决简单问题
3、理解整式乘除法的运算法
则，会进行简单的整式乘除法 2 4 2 4 运算，选择适当的方法进行因
式分解
4、会解一元一次不等式和由
年级 学科
重点
学习内容
第一章、有理数
1.1 正数和负数
1.2 数轴
1.3 绝对值与相反数
1.4 有理数的大小
1.5 有理数的加法
★ 1.6 有理数的减法 1.7 有理数的加减混合运算
1.8 有理数的乘法
1.9 有理数的除法
1.10 有理数的乘法
七年
1.11 有理数的混合运算
级上
1.12 计算器的使用
33 2 4
17.4 直角三角形全等的判定
17.5 反证法
第 18 章、数据的收集与整理
1、会列频数分布表，画频数
八年
18.1 统计的初步认识
级下
★★★ 18.2 抽样调查
分布直方图和频数折线图，能
利用统计图表解决简单的表示
冀教版九年级下数学知识点
冀教版九年级下数学知识点在九年级下册的数学教材中，涉及到了许多重要的数学知识点，下面就让我们来一起回顾一下这些知识点。
一、平行线与相交线平行线与相交线是几何中非常重要的概念。
在图形的研究中，我们经常会遇到平行线与相交线的关系。
两条平行线之间的夹角是相等的，而相交线之间的夹角则可以用一系列角的关系来表示。
通过研究这些关系，我们可以更加深入地理解和掌握几何图形的性质。
二、多边形的性质在九年级下册的数学教材中，我们学习了许多关于多边形的性质。
多边形是由多条线段组成的封闭图形，例如三角形、四边形等。
我们通过研究多边形的边长、角度以及对称性等性质，可以更好地理解和刻画多边形的特点。
同时，这些性质也为我们后续学习更高级的几何知识奠定了基础。
三、平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种非常重要且实用的工具。
通过平面直角坐标系，我们可以用坐标的形式来表示平面上的点。
这使得我们可以方便地进行计算、分析和研究。
在九年级下册的数学教材中，我们学习了如何在平面直角坐标系中画图、表示点的坐标、计算两点之间的距离等技巧。
这些技巧为我们后续学习函数、图形的变换等内容打下了坚实的基础。
四、函数及其图像函数是数学中非常重要的一个概念。
在九年级下册的数学教材中，我们初步学习了函数及其图像的相关知识。
函数描述了两个变量之间的对应关系，通过函数的图像我们可以更加直观地了解函数的性质和特点。
学习函数的过程中，我们学习了如何将对应关系表示为函数表达式、如何根据函数表达式绘制函数的图像等技巧。
这些知识对于我们理解数学中的变量关系、解决实际问题非常有帮助。
五、立体几何除了平面几何外，立体几何也是九年级下册的数学教材中的一项重要内容。
立体几何涉及到了空间中的图形和体积等概念。
我们学习了如何计算各种形状的立体体积，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
通过学习立体几何，我们可以更好地理解和应用空间中的图形知识，例如建筑设计、物体包装等方面。
通过以上的回顾，我们可以看到九年级下册的数学教材中包含了许多重要的数学知识点。
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b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a≠0） • 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 • ③代数式一定是整式 • 练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5 x² ， • y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数？
例:解下列方程
∴ x=-2±3
解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x1=1, x2=-5
• 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程
3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
翼教版数学九年级知识点
翼教版数学九年级知识点第一章：整式与分式一、整式的概念及基本运算整式是指只包含有限个项的代数式。
整式的基本运算包括加法、减法、乘法。
二、最简整式最简整式是指没有可约项，且各项的次数都最低的整式。
三、多项式的乘法公式多项式的乘法公式包括平方公式、差平方公式、完全平方公式等。
四、整式的除法整式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式的运算过程。
五、分式的概念及基本运算分式是指一个整式除以另一个非零整式所得到的代数式。
分式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
第二章：方程与不等式一、一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1次的方程。
二、一元一次方程的解一元一次方程的解是指使方程成立的未知数的值。
三、一元一次方程的应用问题一元一次方程的应用问题是指通过列方程、解方程，求解与实际问题相关的未知数的值。
四、二次方程二次方程是指未知数的最高次数为2次的方程。
五、二次方程的解二次方程的解包括两种情况：一元二次方程有实数解和一元二次方程无实数解。
六、二次方程的应用问题二次方程的应用问题是指通过列方程、解方程，求解与实际问题相关的未知数的值。
七、不等式的概念及解集表示不等式是指表示两个数量之间大小关系的代数式。
解集是指使不等式成立的变量的取值范围。
八、一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1次的不等式。
九、一元一次不等式的解集表示一元一次不等式的解集表示有数轴表示、区间表示等多种形式。
第三章：函数一、函数的概念及函数基本性质函数是指每一个自变量对应唯一一个因变量的关系。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性等。
二、一次函数一次函数是指函数的表达式为y=kx+b的函数形式。
三、一次函数图像与性质一次函数的图像是直线，具有斜率和截距等性质。
四、二次函数二次函数是指函数的表达式为y=ax^2+bx+c的函数形式。
五、二次函数图像与性质二次函数的图像是抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等性质。
初三数学知识点冀教版
初三数学知识点冀教版初三数学知识点归纳三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
九年级上册数学复习知识点考点1：确定事件和随机事件考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。
考点2：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。
冀教版初中数学概念定理公式识记清单
冀教版初中数学概念定理公式识记清单下面是冀教版初中数学中的一些重要概念、定理和公式的识记清单。
一、数的概念：1.自然数：从1开始的正整数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可以表示为两个整数的比值的数。
4.实数：包括有理数和无理数。
二、代数式的概念与常见属性：1.代数式：用字母和数字以及运算符号构成的数学表达式。
2.简化代数式：化简代数式的结果。
3.同类项：含有相同字母部分的代数项。
4.同类项的加减法：相同项的系数相加（或相减），写出新的同类项。
5.提公因式：将代数式中的公因式提到括号外。
6.合并同类项：将同类项加减合并得到一个代数式。
三、线段的中点及其性质：1.线段的中点：线段上距离两端点相等的点。
2.线段的中点性质：连接线段两端点与中点的线段长度相等。
四、圆的概念与性质：1.圆：平面内所有与给定点的距离相等的点构成一个圆。
2.圆心：圆的中心点。
3.圆周：圆上的所有点构成的轨迹。
4.圆的半径：连接圆心与圆周上任意一点的线段，长度为半径。
5.圆的直径：通过圆心并且两端点在圆周上的线段，长度为直径。
6.圆的弦：在圆上任意两点之间的线段。
7.圆的切线：与圆只有一个交点且与圆的切点处垂直的直线。
五、面积和体积的概念与计算公式：1.矩形的面积公式：面积=长×宽。
2.正方形的面积公式：面积=边长×边长。
3.三角形的面积公式：面积=1/2×底边长×高。
4.平行四边形的面积公式：面积=底边长×高。
5.梯形的面积公式：面积=1/2×(上底+下底)×高。
6.圆的面积公式：面积=π×半径的平方。
7.球的体积公式：体积=4/3×π×半径的立方。
8.圆柱的体积公式：体积=底面积×高。
9.矩形长方体的体积公式：体积=长×宽×高。
六、平方根与立方根：1.平方根：一个数的平方等于给定的数，这个数就是这个数的平方根。
冀教版初中数学九年级知识点
第二十三章 数据分析1、平均数一般地，我们把 n 个数 x 1，x 2，…，x n 的和与 n 的比，叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 x ，读作“x 拔”.()n x x x n x 211+=平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”.加权平均数：已知n 个数n x x x 21,，若n ωωω,,,21 为一组正数，则把nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211叫做n 个数的加权平均数。
⑴数据的权能够反映数据的相对“重要程度”， 加权平均数的分母恰好为各权的和.，⑵平均数可看做是权数相同的加权平均数.新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。
)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。
2、众数与中位数众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.当一组数据中某数据多次重复出现时，常可以用众数作为这组数据的数值的一个代表值.中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。
如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、方差 方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小.极差：最小值最大值x x -4、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估第二十四章 一元二次方程1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
冀教版九年级数学各单元必考知识点汇编
冀教版九年级数学各单元必考知识点汇编第一章有理数1. 有理数概念及其表示方法2. 有理数的大小比较3. 有理数的加、减、乘、除法及其运算规律4. 分数的性质及其运算5. 分数和小数的相互转化6. 有理数的绝对值7. 有理数的混合运算8. 有理数的应用问题第二章整式与因式1. 代数式概念2. 整式的概念和基本形式3. 恒等式和方程4. 幂的概念及其运算5. 乘方公式（同底数幂的乘方）6. 因数与倍数7. 因式分解8. 最大公因数与最小公倍数9. 分式的概念及其简化第三章一次函数与一次方程1. 函数的概念2. 点与坐标3. 直线的解析式4. 一次函数的概念及其图象5. 函数关系与函数表示法6. 常数项为0时的一次函数7. 一次方程及其应用8. 解一次方程的基本方法9. 解一元一次方程组的基本方法第四章几何图形初步1. 直线、线段、射线、角、平行线、垂线2. 三角形的定义和分类3. 直角三角形及其性质4. 等腰三角形及其性质5. 等边三角形6. 直线和平面的垂直关系7. 直线和平面的平行关系8. 点、线、面的投影第五章空间图形初步1. 立体图形初步2. 空间直角坐标系3. 空间直线的位置关系4. 空间角的概念和计算5. 球的概念及其应用第六章数据的收集、整理、概述与分析1. 等差数列的概念和公式2. 平均数的概念和计算方法3. 中位数的概念和计算方法4. 众数的概念和计算方法5. 茎叶图、条形图、折线图、饼图的画法和简单分析6. 统计量（极差、方差、标准差）的概念及其计算方法此文档是各单元必考的数学知识点汇编，旨在为九年级学生提供复习指南和备考方向。
请同学们根据此文档制定复习计划，以不断巩固数学基础，提升运算能力和解题技巧。
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④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。
26章解直角三角形
锐角三角函数
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
3、比例的基本性质
如果 ，那么 。
如果 ，那么 （ ）
特别地，如果 ，即 ，就把b叫做a,c的比例中项。
如果 ，那么
4、黄金分割
在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点， 称为黄金比。黄金比
每条线段上的黄金分割点都有两个。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定
相似三角形的判定定理
(1)两角对应相等的两个三角形相似。
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(3)三条边对应成比例的两个三角形相似。
(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质
一元二次方程根与系数关系
如果一元二次方程 的两根分别为 ，那么 。
一元二次方程的应用
25章图形的相似
比例线段
1、如果选用同一度量单位，量得线段 和 的长度分别为 和 ，我们就把 和 的比叫做线段 和 的比，记作 ，或 。
2、在四条线段 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。
用样本估计总体
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。
24章一元二次方程
2、对于一元二次方程 ：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根。
我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式。
3、当 时，一元二次方程 的两实数根可以用 求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。
平行线分线段成比例
（1)基本事实
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
（2）推论1
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
相似三角形的性质定理
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的应用
相似多边形和图形的位似
（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
一元二次方程
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为 其中， 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。
解一元二次方程
1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
解直角三角形
1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、一些特殊角的三角函数值
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
3、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。
我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。
为方便起见，今后将 分别记作 。
锐角三角函数的计算
（3）推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
在△ABC中，DE∥BC，
相似三角形
（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。
（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似
2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。
方差
设n个数据 的平均数为 ，各个数据与平均数偏差的平方分别是 。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用 表示，即
此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。
（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。
（3）位似图形的画法
确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；
选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；
冀教版初三数学知识点
初三上册
23章数据分析
平均数和加权平均数
1、一般地，我们把n个数 的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，读作“x拔”，即
2、已知n个数 ，若 为一组正数，则把
叫做n个数 的加权平均数， 分别叫做这n个数的权重，简称权。
中位数和众数
1、一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。