振动计算力学公式

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振动计算力学公式

振动计算力学公式一、简谐振动（Simple Harmonic Motion）简谐振动指的是一个物体在一个平衡位置附近做低幅度的周期性振动。

简谐振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位。

2. 速度（Velocity）：v = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v表示速度。

3. 加速度（Acceleration）：a = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a表示加速度。

4. 动能（Kinetic Energy）：K = 0.5 * m * v^2其中，K表示动能，m表示质量。

5. 势能（Potential Energy）：P = 0.5 * k * x^2其中，P表示势能，k表示弹性系数。

6. 总机械能（Total Mechanical Energy）：E = K + P其中，E表示总机械能。

7. 振动周期（Vibration Period）：T = 2π/ω其中，T表示振动周期。

二、阻尼振动（Damped Vibration）阻尼振动指的是振动过程中受到了阻尼力的影响，导致振幅逐渐减小。

阻尼振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，β表示阻尼系数，ωd表示阻尼角频率，t表示时间，φ表示相位。

2. 速度（Velocity）：v = -A * β * e^(-βt) * cos(ωdt + φ) - A * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)其中，v表示速度。

3. 加速度（Acceleration）：a = A * (β^2 * e^(-βt) *cos(ωdt + φ) + 2β * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)) - A *ωd^2 * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，a表示加速度。

振动力学3

A
i
，则
R
M
i
i i
T

i T
K
i
2 i
为第 i 阶固有频率的平方值
若任选一个列阵作为假设模态，一般不是实际模态，但能表示为简正模态的线性组合
a jNj N a
j 1
n
a 为系数 a j 1,2,, n 构成的列阵
例题1：用瑞利法估计系统的基频上限。
解：考虑离固定基座愈远的物体的等效弹簧刚度愈小，位移愈大。近似取
1 1.4 1.8
T
T
2 k 1 1.4 1.8 1 T 0 K R T M 1 T m 1 1.4 1.8 0 0
k k k 2 2 , 2 , 3 m 2m 5m
2 1
1
12

1 1 1 8m 2 2 12 2 3 k
k 1 0.3535 m
1 0.3730
k m
精确解
课堂练习： P123-5.1
作业： P123- 5.2
第二节瑞利法和里茨法
1 k 0.6 0.4 0.8 1.4 1.8 1.48k 9.44m 1 m 1 1.4 3.6 1.4 1.8
1 0.3959
k m
与基频的精确值
1 0.3730
k m 相比，相对误差约为6%
k k , 2 1.3642 m m
1
1 2 2 1.8 ， 1 2 1
代入 K T K , M T M 得

《力学》机械振动

A2 A1
A1 A2
x1
T
o
- A2 -A1
t x2
2 1
注意

2
即x2比x1超前
2
22
领先、落后以< 的相位角来判断
同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1
x2
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相
a > 0
减速
a > 0
加速
9
四、描述简谐振动的特征量--周期、振幅、相位
1、周期T: 物体完成一次全振动所需时间。
频率f:
物体在单位时间内完成振动的次数。 1 f T
2 2f T
2
角频率:
k 对弹簧振子： m
T 2
m k
1 f 2
k m
2. 振幅 A: 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的 10 绝对值。
加速度
2
d x 2 a 2 A cos( t ) dt
也是简谐振动
8
2
a(t ) A cos( t )
x.v.a.
A A A
2
a
o
x
T t
A A 2A
> 0
< 0
< 0
> 0
a < 0
减速
a < 0
加速
谐振动频率相同 X 2
= ( t + 2)- ( t + 1) = 2- 1
A 初相差（1）（2）
0
-A/2 -A/2 -A

振动力学—随机振动

T 2 T 2
1 2 xk t x dt Tlim T
xt x 2 dt
34
五、确定随机变量的概率分布函数和概率密度
函数
除某些特殊情况外，确定随机变量的概率分布函数和概率密度函数都比较困难。在随机振动中经常遇见的正态分布过程和某些各态历经过程，却可以用一定的程序来计算。
2 k

T 2 T 2
x t dt
x 2 t dt
1 E X lim T T
2 x E X x 2

T 2 T 2
1 x t dt lim T T

T 2 T 2
T 2 T 2

1 lim T T
X t x k t
x k t ：样本函数
对于随机现象，我们感兴趣的往往不是各个样本本身，而是力图从这些样本得出总体的统计特性。 7
5-3 随机过程的数字特征
8
一、集合平均 . 平稳过程
⑴ 随机过程 X t 的所有样本函数 x k t 在时刻 t1 的值 x1 t1 ，x2 t1 ，构成一个随机变量 xk t1 记为X t1

二次矩：
2 E X x2 p x dx x 2
32
二次中心矩：
E X x
2

x x 2 pxdx x2
2

2 x
x x p x dx x p x dx 2x xp x dx x2 p x dx
X t1
取值于区间 a, b 的概率为：

振动计算力学公式

振动台力学公式1、求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1）式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ）m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式2.1 A=ωv ……………………………………………………公式（2）式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ）ω=2πf （角速度）其中f 为试验频率（Hz ）2.2 V=ωD ×10-3………………………………………………公式（3）式中：V 和ω与“2.1”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值2.3 A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4）式中：A 、D 和ω与“2.1”，“2.2”中同义公式（4）亦可简化为： A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式3.1 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA 28.6 ………………………………………公式（5）式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。

3.2 速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f D V 28.6103⨯=- …………………………………公式（6）式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。

3.3 加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7）式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。

拉格朗日方程-振动

DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数）
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长，因此它的约束方程为零，自由度为3。
1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目与自由度相等。
约束
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
势能
分析力学基础 3 动能和势能
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
其中，[ K ]为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。
m12
m
21
1 2
m 2 l 1 l 2 cos ( q 2 q 1 )
当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近泰勒级数的第一项：
1 m12 m 21 2 m 2 l1 l 2
则系统的动能可写成
V
1 2
(m 1
m2)
l
2 1
q

第5章线性振动的近似计算方法

2 1.3213 k / m 3 2.0286 k / m
取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型，即：
[1, 2, 2.5]T
代入瑞利商公式：
R() 0.142857 k
m
1 0.3780
k m
2024年8月7日与精确值相比，相对误差1.34%
R(
)
T T
1
1 fii mi
1
i1 i2 12 22
1
n2
对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远
大于基频，因此左端可只保留基频项，有：
2024年8月7日《振动力学》
1
12
1
12
1
22
1
n2
邓克利法
得到的基频是精确值的下限。
8
线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
n
i 1
1
i2
1
12122源自1线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
作用力方程的特征值问题： Kφ 2Mφ
位移方程的特征值问题： Dφ φ D=FM
特征值： 12 22 n2
1 2 n
关系： i 1/ i2 位移方程的最大特征根： 1 1/ 12
（基频）对应着系统的第一阶固有频率
位移方程的特征方程： D I 0
aT Λa aT Ia
n
a 2j
2 j
j 1
n
a 2j
j 1
分析证明：
12 R( ) n2
若将瑞利商右端分子内的所有 j 换为 1
n
n
由于 1 是最低阶固有频率，因此： R()
a
2 2
j1

力学环境试验基础知识

什么称为力，力的单位？使物体获得加速度或变形，位移对另一个物体的作用称之为力，牛顿=1 公斤米 /秒方什么是应力，应力单位是什么？物体单位面积上受到的作用力称之为应力，单位N/CM 方。

什么称之为力矩？力和力臂的乘积为力矩单位 M=F.R正弦振动定义可以用时间的正弦函数和余弦函数表示其位移变化的运动叫做正弦振动，公式X （t ）=A随机振动的定义随机振动是瞬时值在任何瞬间不能确定的振动什么是加速度加速度是速度随时间的变化率什么是加速度谱密度即单位频率上的均方加速度值，单位用表示， g 是重力加速度， HZ 是每秒多少周的带宽。

什么是正弦振动的频率和周期物体或质点在单位时间（ 1s）内振动的次数为频率，物体或质点来回往复运动一次所经历的时间 T 称为振动周期。

什么是共振频率当外界激振频率与结构试件的固有频率一致时结构发生共振，对应于振动最大的频率为共振频率，反共振是指一个迫振系统，如果激振频率作稍微变化引起响应增加，这点称之为反共振点。

什么是均方根加速度给定时间间隔 T 内，加速度变化量X（t ）的均方根值冲击的特性是什么冲击的特性是冲击作用下产生的加速度幅值大，持续作用时间短，短至几毫秒时间。

简单冲击波形三要素加速度峰值持续时间波形什么是电压、电流电流是有规则的流动称之电流，单位是安培电压是正极和负极之间的电位差叫做电压，计量单位伏特欧姆定律的定义I =U/R 通过电路的电流 I ，等于该部分电路两端的电压 U 除以该部分电路的电阻 R什么叫电阻，用什么单位计量？电路中某两点间在一定电压作用下决定电流强度的物理量，称为电阻。

电阻也可以理解为物体对电流通过时呈现的阻力，计量单位是欧姆，电阻并联：R =什么是电容，计量单位？电容是储存电荷的能力叫做电容器量，简称电容，用C 表示。

计量单位：法拉、微法拉、微微法拉电容器并联时，总电容等于各个电容之和。

串联是，总电容的倒数等于各个电容倒数之和，而较其他任何一个电容器的电容为小。

1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件

F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝＋非齐次微分方程通解
齐次微分方程通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1：建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)

2024大学物理力学第八章机械振动

动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。

动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。

运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。

势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。

能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。

当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。

同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。

同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。

相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。

02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

简谐力公式

简谐力公式
在我们研究简谐振动时，简谐力是一个重要的概念。

简谐力是指作用在振动系统上的周期性力，其大小和方向随时间作周期性变化。

简谐力的公式可以表示为：
F = -kx
其中，F 表示简谐力，x 表示振动系统的位移，k 是一个常数，称为弹性系数，它反映了振动系统恢复原状的能力。

弹性系数k 与振动系统的质量m 和自然频率ω 有关系：k = mω。

在这个公式中，负号表示简谐力的方向与位移的方向相反，这是由于恢复力作用原理决定的。

当振动系统的位移增大时，简谐力减小，反之亦然。

简谐力在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

例如，在弹簧振动、电磁振动、声波传播等方面，简谐力的知识具有重要指导意义。

简谐振动的研究还应用于桥梁、建筑、机械等结构的抗震设计中，以减小地震对建筑物的影响。

简谐振动具有以下基本特征：
1.振动系统的位移随时间作周期性变化。

2.振动速度也随时间作周期性变化，但振动速度的零点与位移的零点不一定重合。

3.振动加速度是位移的一阶导数，呈抛物线形状。

4.振动能量以波动形式向四周传播，振动能量的传播速度与振动频率无关，而与弹性系数和质量有关。

了解简谐力的公式及其应用，有助于我们更好地理解振动现象，并在实际工程中发挥重要作用。

3拉格朗日方程及振动

三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。

现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。

（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。

即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。

将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。

现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。

现仅讨论与路径无关的情况。

这对于理解物体运动的本质是很有意义的。

如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。

由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。

显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。

如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。

势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。

在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。

现我们来看两者的关系。

首先来定义势能的概念。

所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。

显然，势能具有相对的意义。

选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。

振动筛动力学及参数计算20140319

选矿厂辅助设备
第六讲
振动筛动力学及参数计算
2014年 3 月 19日
一、振动筛动力学分析
㈠、单不平衡重激振的圆振动筛动力学分析 1．振动系统的受力分析
当振动筛工作时，不平衡重质量m
的重心不仅随机体一起作平移运动(牵连
运动)，而且还绕激振器的传动轴回转中
心线作回转运动(相对运动)，所以质量m
重心的绝对位移为
3）机械消振机械消振法是在振动筛上安装一种专门的激振器。该激振器在振动筛启动或停机过
程中，只有当转速高于系统的自振频率时，才产生离心惯性力，以激励振动筛正常工作。启动时转速没有超过系统自振频率以前，或在停机时转速降到接近系统自振频率以前，激振器的不平衡重，就处于靠近回转中心的位置。因此，该消振法，在筛分机通过共振区时，基本上没有强迫振动的激振力，所以，就不产生一般振动筛通过共振区的振幅异常增大的现象。
胶和钢板的摩擦系数，一般取0.8；N－阻尼器弹簧产生的正
压力；X0－筛箱的临界位移。
若已知K和μ，只要选择临界位移X0，就可由下式算出阻尼器
需要的弹簧压力：
N KX 0

设阻尼器的弹簧刚度为k，则阻尼器弹簧的压缩量为：
lN k
阻尼消振法，具有结构简单，使用可靠，既可以减小振动筛启动和停机时的过大振幅；又可以有效地限制振动筛的横向振动，从而大大提高了筛分机的寿命和减小了作用于基础的动负荷，所以阻尼消振法有很大的使用价值。

y2 Ay2
1
若弹簧的刚度K很小，即当Kx〈〈(M+m)ω2和Ky〈〈(M+m)ω2时，
则Ax=Ay=A，即得圆振动筛的运动方程式：x2+y2=A2
此时，筛箱的振幅可写成如下形式： ⒊ 筛箱出现共振时的转数np

振动计算力学公式

力学第二版习题答案第九章

第九章基本知识小结⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - c φ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 ,02022=+x dt x d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。

⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221A m kA E E p k ω==+。

⒋两个简谐振动的合成⒌阻尼振动的动力学方程为 022022=++x dt dx dtx d ωβ。

其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT ’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。

⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos202022=++；其稳定解为 )cos(0ϕω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/ωβωω+-=f A 2202ωωβωϕ--=tg 当2202βωω-=时，发生位移共振。

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。

已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。

问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。

解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsin φ因为是微小摆动，sin φ≈φ,∴τ= - mgh φ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。

振型截断法振动力学重要知识

(
)eii
(t
)
sin
di
(t
)
d
而表示系统的阻尼矩阵的表达式为：
C
s i1
2ii
M pi
(Mi )(Mi )T
(5.92)
2.振型加速度法
已知强迫振动的振动方程为：
Mx Kx P(t)
上式可变为：
x K-1P(t) K-1Mx
重点辅导
(5.93)
4
将式（5.89）代入上式，并结合下式： K-1MΦL ΦLΔL-1
Cp
Cpl
0
0 0
其中
(5.90)
Cpl diag 211M p1 222M p2 … 2ssM ps (5.91)
这时，第i (i=1,2，……，s)个主坐标的响应式为：
重点辅导
3
i
(t)
eiit
[i
(0)
cos
dit
i
(0)
iii di
(0)
di
t 0
Qi
ΦH ηH
n
ii
i s 1
n
i
i s 1
iT P0 sin t K pi (1 i2 )
n
(
i s 1
K
pi
1
(1重点辅i2导)
iiT
)P(t)
17
为
对于低频激振力，当
ΦH ηH
n
(
1
K is1 pi
iiT
i
)P(t)
(i=s+1,s+2,…，n)时，上式近似
FHP(t)
(5.103)
M K
pi pi
iT Mi i2M pi

振动学知识点总结归纳

振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。

当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。

1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。

自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。

1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。

振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。

1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。

动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。

二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。

单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。

2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。

自由振动的特点是振幅不变，频率固定。

2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。

受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。

2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。

阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。

2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。

通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。

三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

68振动理论及应用多自由度系统的振动和单自由度的概念类似可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线频率响应曲线共振现象69振动理论及应用多自由度系统的振动例38在两自由度标准mk系统中设mk在第一个质量上作用有干扰力f70振动理论及应用71振动理论及应用多自由度系统的振动39图示系统xsint当为基频的0707倍时车体w72振动理论及应用多自由度系统的振动代入数据求得固有频率为28297机车振动频率为0707070718041276利用前面的方法求得振幅为73振动理论及应用多自由度系统的振动当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动由单自由度系统振动理论知道可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解
0
0
m2
则方程为
x1 x2
l3 48EI
2 5
5 m1
16
0
0 m2
x1 x2
0 0
15
振动理论及应用
若写为力方程形式
[K]
[R]1
48EI 7l 3
16 5
5
2
则方程为
第3章多自由度系统的振动
m1
0
0 m2
x1 x2
48EI 7l 3
16 5
5
2
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。
[R]－1{x} {F} [M ]{x} [C]{x}

振动计算力学公式

振动台力学公式1、求推力（F ）的公式F= (m °+m 什m 2+ ,, ) A,,,,,,,,,, 公式(1) 式中：F —推力（激振力）（N ） m 0—振动台运动部分有效质量（kg ） m i —辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（ kg ） A —试验加速度（m/s ?）2、加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式式中：A D 和3与“ 2.1”，“2.2 ”中同义公式（4）亦可简化为:A=」D250式中：A 和D 与“ 2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以：A - fD ,这时A 的单位为m/s 2 25定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式3.1加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f =AA-Vyjyyyyyyyyyyyyy6.28V式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率2.1 A= 3 v ，””，”,”,”,,,,,, 式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ）3 =2n f （角速度）其中f 为试验频率（Hz ）-32.2 V =3DX10，”，””，””，””式中：V 和3与“ 2.1 ”中同义D —位移（mm p ）单峰值2 -32.3 A= 3 DX 10公式（公式（公式（2)3)公式（ 5）3.2速度与位移平滑交越点频率的计算公式3.3加速度与位移平滑交越点频率的计算公式根据“ 3.3”，公式（7）亦可简化为:4.1线性扫描比较简单:公式（式中：S1 —扫描时间（s 或min ）V i —扫描速率（Hz/min 或Hz/s ）4.2对数扫频： 4.2.1倍频程的计算公式,f H L g fn=，”,，””，””公式（9）Lg2式中：n —倍频程（oct ）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ）4.2.2扫描速率计算公式Lg f H /Lg2 R= --------L”，””，”，公式（ 10）T式中：R —扫描速率（oct/min 或）f V JDV 103 6.28D公式（ 6）式中：f V _D —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（ V 和D 与前面同义）I AI03f A-D：（2二）2 D公式（ 7)式中：f A-D —加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（ A 和D 与前面同义）f A-D 5 - A的单位是m/s 24、扫描时间和扫描速率的计算公式8）f H -f L —扫描宽带，其中 f H 为上限频率, f L 为下限频率（ Hz )f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ） T —扫描时间423扫描时间计算公式式中：T —扫描时间（min 或s ）n —倍频程（oct ）R —扫描速率(oct/min 或 oct/s )5、随机振动试验常用的计算公式 5.1频率分辨力计算公式：式中：△ f —频率分辨力（Hz ）f max —最咼控制频率 f max 是厶f 的整倍数5.2随机振动加速度总均方根值的计算（1）利用升谱和降谱以及平直谱计算公式 PSD 2(g /Hz)功率谱密度曲线图（a ）A 2=W •△ f=W X (f 1-f b ) ,,,,,,,,T=n/R ，””公式（11)max△ f=N公式（12)平直谱计算公式f bf 1f 2 f(Hz)f bA 1= | w( f )dffam 1口1弋「卜”升谱计算公式f 1「f2＞」式中：m=N/3 N 为谱线的斜率(dB/octive )A 1=f2w(f)df 二竺丄f1m-1若N=3则n=1时，必须采用以下降谱计算公式A3=2.3w i f i lg -gmis= .. AA 2A2:w=w b =w 1=0.2g /Hz f a =10Hz w a f w b 谱斜率为3dB , w 1^w 谱利用升谱公式计算得： A1： w b f bm 1 利用平直谱公式计算得 : A 2=w X 利用降谱公式计算得： A 3w-1 f 1 m-1加速度总均方根值:设 f b =20Hz -6dB 降谱计算公式公式( 13-1)f i =1000Hz f 2=2000Hz ."f a 1 0.2x20 一 1- 1- 「10们 120丿 1.5(f 1-f b ) =0.2 X (1000-20)=196 0.2 1000 -------------- x 2 -1‘1000 曽 - 「 <2000丿 =100利用加速度总均方根值公式计算得：g mis=..人―A 2—A 3 =・1.5 • 196 - 100 =17.25PSD 2(g /Hz)(2)利用平直谱计算公式：计算加速度总均方根值 A 1为升谱 A 3为降谱 A 2为平直谱为了简便起见，往往将功率谱密度曲线图划分成若干矩形和三角形，并利用上升斜率(如3dB/oct ）和下降斜率（如-6dB/oct ）分别算出w a 和^2,然后求各个几何形状的面积与面积和, 再开方求出加速度总均方根值g rms^ A^A , A 2 A 3 A s （g ）,,公式（13-2）注意：第二种计算方法的结果往往比用升降谱计算结果要大，作为大概估算可用，但要精确计算就不能用。