02-04级群论试题

2 2 2 s2 sq n。
三（30 分）如右图(a)所示，矢量 a1、a2、a3 为正三角形 中的三个单位矢量，O 为正三角形中心，满足 a1＋a2＋ a3＝0。 1． 选择三个矢量中的任意两个作为基， 给出点群 C3v 各 群元的表示矩阵。 2． 写出 C3v 群的特征标表， 判断 1 中得到的表示是否可
a2
o
ey a1
o
ex
a3 (a) (b)
约。 3． 按图(b)所示的正交单位基矢量 ex、ey 作为表示空间的新基，求联系这两套基{ex, ey}与{a1, a2}的变换矩阵 T：(ex ey)＝(a1
T11 T12 a2) T 。 21 T22
4． 用相似变换 T 求出以 ex、ey 为基的 C3v 各群元的表示矩阵。 四（30 分）D3 点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第 1 小题的结 果）将群空间 VD3 的 6 个自然基 e、d、f、a、b、c 组合成对称化的新基(不考虑正交归一)， 并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可） 。
物理学院 2002 级研究生《群论》期末试卷 （2003 年 1 月）
姓名 学号 成绩
一. （25 分） (1) 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群、陪集和类。试写出平面正三角 形对称群即二面体群 D3 的所有群元、类分割和所含的所有子群，并用其中一个子群写出 D3 群的左、右陪集串分割。 (2) 什么是群的同态和同构，两者之间有何区别？二面体群 D3 与什么群同态，写出其同态核 以及相应的商群。 (3) 对于正三角形 ABC 对称群 D3 ，写出三角形的一个顶点 A 的 D3 轨道 CA、以及 D3 对 A 点 的迷向子群 GA、 迷向子群 GA 的左陪集及相应的轨道点， 左陪集数目与轨道 CA 上的轨道 点数目有什么关系？ (4) 证明：阶为 n 的有限群 G 同构于 n 阶置换群 S n 的一个子群。 二． （25 分） (1) 简述什么是群表示、等价表示和不可约表示。 (2) 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理，有限群的不等价不可约表示的维数和群的 阶有什么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。 (3) 写出 3 阶循环群 Z 3 的左正则表示和右正则表示、以及 Z 3 的群函数空间的基底。 (4) 已知二面体群 D2 C2 C2 ，为两个轴互相垂直的 2 阶转动群 C 2 的直积，试用群表示的直 积求 D2 群的不等价不可约表示和特征标表，检验特征标的第一和第二正交关系；用求出的 不可约表示随意构造一个 D2 的 4 维表示，并用特征标方法检验它是一个可约表示。 三．(20 分) (1) 简答第一类点群和第二类点群有何区别，如何用第一类点群确定第二类点群。 (2) 试列举出所有类型的第一类点群和第二类点群、其群元构成、及其标记符号，简述如何确 定第一类点群的共轭类。 (3) 写出二面体群 D4 、D5 和四面体群 T 的所有群元和共轭类分割，求出与之相应的第二类点 群及其熊夫利符号。 四．(30 分) (1) 写出 3 阶置换群 S 3 的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求 S 3 的所 有共轭类所包含的元素（即 S 3 的类分割） 。 (2) 画出 S 3 群的所有杨图和每个杨图的所有标准盘，求出每个标准盘的杨算符，并用其中的 一个检验杨算符是 S 3 的群代数的本质幂等元。 (3) 求出 S 3 群的所有不等价不可约表示。 （可用杨算符方法，亦可直接写出其半正则表示或标 准表示，三种方法任选一种求出即可。 ） (4) 试求二维酉群 U (2) 在二阶张量表示空间上的一维 2 级不可约表示。
D3 群乘法表
ห้องสมุดไป่ตู้
e a b c d f
e e a b c d f
a a e f d c b
b b d e f a c
c c f d e b a
d d b c a f e
f f c a b e d
五． （选做题）设一量子体系的哈密顿群为点群 D4 ，波函数 xf ( r ), yf ( r ), zf ( r ) 对应该体系的 一个三重简并能级。 1． 求该能级所包含的不可约表示，属于偶然简并还是必然简并？ 2． 讨论在 C 4 对称性的微扰作用下该能级的简并分裂情况。
物理学院 04 级研究生群论试题 （2005 年 1 月）
一（30 分） 1. 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数 目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。 2. 简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群 D4 和 D5 的所有群元及 共轭类分割；写出由 D4 得到的第二类点群和其熊夫利符号。 3. 简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方 法；求出 Sn 群的杨图[1n]对应的不可约表示。 二（10 分）对于一个任意 n 阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表 示的维数为 s1 , s2 , , sq ，试证明 s1
物理学院 2003 级研究生《群论》期末试卷
一（25 分） 1. 一个集合构成群必须具备哪四个要素？简述什么是子群、陪集和类并举例说明。 2. 什么是群的同态和同构？试举例说明群的同态，并就所举例子写出同态核和相应的商群。 3. 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。 二（25 分） 1. 简述什么是群表示和有限群表示的正交性定理， 有限群的不等价不可约表示和群的阶有什 么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。 2 2. 设正三角形三个顶点的坐标为 r （其中 i 1, 2, 3 ） 1, r 2, r 3 , 试以函数 i ( r ) exp( | r ri | ) 为表示空间的基底，求二面体群 D3 的群表示；该表示包含有哪些不可约表示。用特征标 投影算符方法求出该函数空间的对称化基函数，并写出 D3 群在该函数空间新基底下的群 表示（写出各类中的一个元素的表示矩阵即可） 。 附 D3 群的特征标表： 1{e} 2{d} 3{a} A1 1 1 1 A2 1 1 -1 A3 2 -1 0 三（20 分） 1． 如何由第一类点群确定第二类点群，请列举出所有类型的点群(说明群如何构成即可，不 一定写出群元)；写出 C6、D8 群的所有群元和共轭类分割；与 C6、D8 群同构的第二类点群 有哪些，写出它们的熊夫利符号。 2． 求二面体群 D6 的所有不等价不可约表示及特征标表。 四（22 分） 1. 将置换群 S6 的一个元素(1245)(4326)写为没有公共数码的轮换形式， 写出其轮换结构(ν) 并计算该置换所属类的元素个数；由与(ν)相应的杨图[λ]计算其对应不可约表示的维数； S6 群共有多少个不等价的不可约表示。 2. 求置换群 S3 的所有不等价不可约表示及特征标表。 （求不可约表示时，写出群中各共轭类 的一个元素的表示矩阵即可。 ） 五（8 分） (任选一小题) 已知一个量子系统的哈密顿算符的群为 C4v,该群的特征标表如下： 1{e} 1{ C 2 } 2{ C 1 } 2{ IC2 } 2{ IC'2 } 4 4 A1 1 1 1 1 1 A2 1 1 1 -1 -1 A3 1 1 -1 1 -1 A4 1 1 -1 -1 1 A5 2 -2 0 0 0 1. 试问该系统由不可约表示 A5 标记的能级在对称性为 C4 群的微扰的作用下能级如何分裂， 写出分裂后能级所属的不可约表示。 2. 试求该系统由不可约表示 A2 标记的能级在含时电偶极矩微扰的作用下能否跃迁到由 A3 标 记的能级。