近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}a

B 、{}e a ,

C 、{}3,a e

D 、

{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群

A 、G 为整数集合，*为加法

B 、G 为偶数集合，*为加法

C 、G 为有理数集合，*为加法

D 、G 为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

A 、a*b=a-b

B 、a*b=max{a,b}

C 、 a*b=a+2b

D 、a*b=|a-b|

4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）

A 、12σ

B 、1σ2σ

C 、22σ

D 、2σ1σ

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群

B 、不一定是群

C 、一定是群

D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶

B、3 阶

C、4 阶

D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个

B、5个

C、6个

D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数

B、奇数

C、4的倍数

D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,≤）

B、（Z,≥）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））

D、(P(A),⊆)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)

B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)

D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则

()

[]=

-a

f

f1----------。

3、区间[1，2]上的运算}

,

{min b

a

b

a=

的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果e

a n=，那么m与n存在整除关系为--------。