大学物理第3章习题解答1

v0 sin t g
所以，人跳跃后增加的距离为：
m v0 sin x vt u m mg
3-17 质量为m的质点在外力F的作用下沿ox轴运动，已知t=0时 质点位于原点，且初始速度为零。设外力F随距离线性地减小， 且x=0时，F=F0；当x=L时，F=0。试求质点从x=0运动到x=L处 的过程中力F对质点所作功和质点在x=L处的速率。
Wf m mg l xsin
故有：
(2)
由式(1)(2)可解得：
m 1 m 3
3-27 如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一 冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不 计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。 解：由系统的机械能守恒，有： mgR mv2 2 mgRcos (1) 根据牛顿定律，冰块沿径向 的动力学方程为： mgcos FN mv2 R (2) 冰块脱离球面时，支持力FN 0 ， 由式(1)(2)可得冰块的角位置 arccos 2 3 48.2 冰块此时的速率为： v gRcos 2Rg 3 v 的方向与重力 P 方向的夹角为 90 41.8
1 1 mv2 2mgl mvh2 2 2 (2)
m2 m2 2 v 2 16 2 gl 4 2 vh m m
(3)
mvh2 mg FT l
(4)
为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高 F 点时，摆线中的张力T 0 ，则
mvh2 mg l
也可以选择不同的系统，例如把A、B两船(包括传递的 物体在内)视为系统，同样能满足动量守恒，也可列出 相对应的方程求解。
3-14 质量为m 的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水 平面成 角的速度 v0 向前跳去。当他达到最高点时，他将物体 以相对于人为 u 的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体， 他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点） 解：取如图所示坐标，把 人与物视为一系统，当人跳跃 到最高点处，在向左抛物的过 程中，满足动量守恒，以地面 为参照系：
3-29 如图所示，质量为m、速度为 v 的钢球，射向质量为m的 靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处 于静止状态，但可在水平面作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹 簧后，弹簧的最大压缩距离。
解：设弹簧的最大压缩量为 x0 ， 小球与靶共同运动的速度为 v1 ， 由动量守恒定律有： mv m mv1 (1) 又由机械能守恒定律，有：
v1 ห้องสมุดไป่ตู้ 2gh
(1)
(2)
在缓冲过程中，人受重力和安全带冲力的作用，根据动量 定理，有：
F Pt mv mv
2
1
( F mg)t 0 (mv ) 1
由(1)(2)可得安全带对人的平均冲力大小为：
m 2 gh m v1 F mg mg 1.14103 N t t
第三章 习题
3-1 对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关； （2）质点组总动能的改变与内力无关； （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。 下列对上述说法判断正确的（ C ） (A) 只有 (1) 是正确的 (C) (1)、(3) 是正确的 (B) (1)、(2) 是正确的 (D) (2)、(3) 是正确的
解2：从整个过程来讨论。 根据动量定理有：
Ft2 mgt1 mgt2 0
1 2 h gt 2
t1 2h g
t2 0.50s
mg 3 F t1 m g 1.1410 N t2
3-13 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相 遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停 m s 1 了下来，而B船以3.4 的速度继续向前驶去。A、B两船原 0.5 10 有质量分别为3 kg ，求在传递重物前两船的 1.0 和3 kg 10 速度。（忽略水对船的阻力。）
Wf 0.25mg 0.25mg l x
(1)
根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作 的功应等于系统机械能增量，故有：
Wf E Ek EP
由于矿车返回原位时速度为零，故 Ek 0 ；而
E p mgl xsin mg (l x) sin
3-3 对功的概念有以下几种说法： （1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所 作功的代数和必为零。 下列对上述说法判断正确的（ C ） (A) (1)、(2) 是正确的 (B) (2)、(3) 是正确的
v 解：设A、B两船原有速度分别为: v A ， B 。传递重物 v ， m 后船的速度分别为： v 。被搬运重物的质量以 表示。 A B
分别对系统I、II应用动量守恒定律，则有:
mA mvA mvB [(mA m) m]vA mB mvB mvA [(mB m) m]vB
3-5 如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后 而 C 穿出。以地面为参考系，下列说法中正确的说法是（ ） （A）子弹减少的动能转变为木块的动能
（B）子弹—木块系统的机械能守恒
（C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功
（D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热
v
M
f
s
m
m mv0 cos mv mv u
m u 得：v v0 cos m m
v 式中 v 为人抛物后相对地面的水平速率， u 为抛出物对 地面的水平速率.
人的水平速率的增量为:
m v v v0 cos u m m
而人从最高点到地面的运动时间为：
f
M
m
s
3-6 一架以 3 102 m / s 的速率水平飞行的飞机，与一只身长为 0.20m，质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机 具有相同的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略 不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被 飞机速率相除来估算），根据本题计算结果。你对于高速运动 的物体（如飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体 （如飞鸟、小石子）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体 会？ 以飞鸟为研究对象，以飞机运动方向为x轴正向。 解: 由动量定理得： F t m v 0 式中 F 为飞机对鸟的平均冲力，而身长为20cm的飞鸟 与飞机碰撞时间约为 t l v ，由此代入上式可得： F mv2 l 2.25105 N 鸟对飞机的平均冲力为：F F 2.25105 N
负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反。
从计算结果可知， .25105 N 的冲力大致相当于一个22t的 2 物体所受的重力，可见，此冲力是相当大的。若飞鸟与发 动机叶片相撞，足以使发动机损坏，造成飞行事故。
3-8 Fx 30 4t （式中的单位为N，t的单位为s）的合外力作用 在质量m=10kg的物体上，试求：(1)在开始2s内此力的冲量I； (2)若冲量I=300 N s ，此力作用的时间；(3)若物体的初速度 1 为 v1 10m s ，方向与Fx 相同，在t=6.86s时，此物体的速度v2 。
3-20 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水， 由于水桶漏水，每升高1.0m要漏去0.20kg的水。求水桶被匀速 地从井中提到井口，人所作的功。
解：水桶在匀速上提过程中，a=0， 拉力与水桶重力平衡，有： FP0 在图示所取坐标下，水桶重力随位 置的变化关系为： P m g 0.2 gy 人对水桶的拉力的功为： dW F dr (mg 0.2gy)dy
W
10
0
10 F dy mg gydy 882J
0
3-24 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m ，从与 水平成倾角 30.0 斜面上的点A由静止下滑。设斜面对车的阻 力为车重的0.25倍，矿车下滑距离 l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿 斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货， 然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货。试 问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？ 解：取沿斜面向上为x轴正 方向，弹簧被压缩到最大形变 时弹簧上端为坐标原点O。选取 O点位置处为重力势能和弹性势 能共同的零点。 矿车在下滑和上行的全过程中，按 题意，摩擦力所作的功为：
3-9 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护， 最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0m，安全 带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。 解1：以人为研究对象，按两个阶段进行讨论。 在自由落体运动过程中，人跌落至2m处时的速度为：
(C) 只有 (2) 是正确的
(D) 只有 (3) 是正确的
3-4 如图所示，质量分别为M1和M2的物体A和B，置于光滑桌 面上，A和B之间连有一轻弹簧。另有质量为m1和m2的物体C 和D分别置于物体A和B之上，且物体A和C、B和D之间的摩擦 系数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹 簧被压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、 C、D以及弹簧组成的系统，有（ ） D (A) 动量守恒，机械能守恒 (B) 动量不守恒，机械能守恒 (C) 动量不守恒，机械能不守恒 (D) 动量守恒，机械能不一定守恒 C A D B
2 解：(1)由分析知：I (30 4t )dt 30t 2t 2 0 68N s 0 2
(2) 由 I 300 30t 2t 2 ，解此方程可得：
t 6.86 s (另一解不合题意已舍去)
(3)由动量定理，有： I mv2 mv 1
m 由(2)可知 t 6.86 s 时，将 I 、 及v1 代入可得： I mv1 v2 40 m s 1 m
2 m v 5 gl m
(5)
将（5）代入（3），可得弹丸所需速率的最小值为：
F0 解：由分析知 F F0 x ，则在x=0到x=L过程中作功， L
F W Fdx F0 0 0 0 L
L L
FL x dx 0 2
由动能定理有： W 1 mv 2 0
2
得x=L处的质点速率为：v F0 L m 此处也可用牛顿定律求质点速率，即： F0 dv dv F0 x m mv L dt dx 分离变量后，两边积分也可得同样结果。
(1) (2)
由题意知 v 0 , v 3.4m s 1 代入数据后，可解得： A B
mB mv B vA 0.40m s 1 mB mmA m m2
mA mmB vB vB mA mmB m m2
3.6m s 1
1 2 1 1 2 2 mv m mv1 kx 2 2 2 (2)
由式(1)(2)可得： mm x v k m m
3-30 以质量为m的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v 减 少到 v 2。已知摆锤的质量为 m ，摆线长度为 l ，如果摆锤能 在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值 应为多少？ 解：由水平方向的动量守恒，有： v mv m mv (1) 2 又摆锤在垂直平面内作圆周运动的 过程中，满足机械能守恒，故有