第四章-等参元和数值积分

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

1 1 1 ������1 = 1 ������������, ������ = ������������, ������ = ������ ������, ������ = 2 3 4 4 4 4 4������ ������
������ = ������1
4
������2
������3
������4
4
1 1 ������2 = 1 ������������, ������ = ������ ������, ������ = 3 4 4 4 4������ ������
������ = 1 − ������, ������ = 1 − ������, ������ = 1 + ������, ������ = 1 + ������
8 8
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
其中������������ 参见8节点Serendipity四边形单元的插值函数。
������ 及������ 为局部坐标,各节点的局部坐标为 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1), 5(0,1), 6(-1,0), 7(0,-1), 8(1,0)
同济大学土木工程学院研究生课程 《有限单元法》
第四章
等参元和数值积分
授课教师Βιβλιοθήκη Baidu吴明儿教授 2015年春
4.1 引言
为了将建立于局部的自然坐标内的单元及插值函数用 于实际工程问题和物理问题的分析,需要将规则形状 的单元转化为其边界为曲线或曲面的相应的单元。
在有限元法中最普遍采用的变换方法是等参变换,即 单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结 点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的 单元称为等参元。
0 ������ ������������ ������ ������������ ������ ������
= ������������������
������5 ������6 ������7 ������8 ������5 ������6 ������7 ������8 ������5 ������6 ������7 ������8
������ =
������ 4
������������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������
4
������ 4
������������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������
������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ = ������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������
= ������−1
J 为雅克比矩阵 ������������ ������������ ������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
������
������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
2、导数之间的变换
函数������������ 对������的偏导数为 ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 对于其他两个坐标(������, ������ ),可写出类似的表达式。将它们 集合成矩阵形式,则有
������ 及������ 为局部坐标,各节点的局部 坐标为 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1)
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于一般形状的 8 节点四边 形单元,按逆时针方向标记 节点编号 1 、 2 、 … 、 8 ,单 元形状用下式表示:
单元特性矩阵计算:数值积分方法
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于一般形状的 4 节点四边 形单元,按逆时针方向标记 节点编号1、2、3、4,单元 形状用下式表示 ( 双一次拉 格朗日多项式):
������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������1 ������2 ������3 ������4 ������1 ������2 ������3 ������4
1、4节点及8节点等参单元
4 4
������ =
������������ ������������ , ������ =
������ 1 4������������, ������
������������ ������������
J 可以写成显式形式,表 ������1 = 示为局部坐标 ������, ������ 的函数。
4
������ = 1 − ������, ������ = 1 − ������, ������ = 1 + ������, ������ = 1 + ������
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
������1 ������2 ⋮ ������������
计算插值函数对整体坐标的微分。考虑插值函数由局部 坐标表示: ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
表示成矩阵形式
������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = ������ ������������ ������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������
=
1−������ − 4 1−������ − 4
1−������ 4 1−������ 4
1+������ 4 1+������ 4
1+������ − 4 1+������ − 4
������1 ������2 ������3 ������4
������1 ������2 ������3 ������4
= ������−1
������称为雅可比矩阵,可记作������(������, ������, ������)/������(ξ, η, ζ),������ −1 是������的逆矩阵
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
2、导数之间的变换
������可以显示地表示为自然坐标的函数
′ ������N1 ������������ ′ ������ ������, ������, ������ ������N1 ������ ≡ = ������ ξ, η, ζ ������������ ′ ������N1 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N������ ⋯ ������������ ������1 ′ ������2 ������N������ ⋯ ⋮ ������������ ������������ ′ ������N������ ⋯ ������������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
单元内位移由节点位移������������ 以及������������ 以及插值函数表示:
8 8
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
表示单元内位移的插值函数与表示单元形状的插值函数选 用同一函数,这种单元称为等参单元。
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于平面问题 ������������ ������ ������ ������������ 0 ������ ������ = ������������ = ������������������ ������ ������ ������������ ������ 其中 ������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������ ������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������ ������ = ������1 ������2 ������3 ������4
相关文档
最新文档