第四章-等参元和数值积分

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《有限元基础及应用》课程大纲

《有限元基础及应用》课程大纲

《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标(一)总体目标:有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法,是现代数字化科技的一种重要基础性原理。

将它应用于科学研究中,可以成为探究物质客观规律的先进手段;将它应用于工程技术中,可成为工程设计和分析的可靠工具。

有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课,有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析,以及生产服务的重要工具。

通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理;掌握大型有限元分析软件(ANSYS)的使用;有限元方法的实际应用:能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息,在准确进行力学分析的基础上,可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断,以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。

内容由浅入深,通俗易懂,结合实践应用分析,培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。

(二)课程目标:课程目标1:掌握有限元方法的基本原理,分析过程和步骤,形函数的构造方法,以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧;课程目标2:掌握有限元分析方法,具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散,最后得到高精度低成本的数值模拟结果;课程目标3:利用有限元原理和应用软件(ANSYS),能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息(位移、应力和应变),并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性,具有分析和解决工程实际问题的能力;课程目标4:掌握大型商用有限元软件(ANSYS)对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。

能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。

(三)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。

等参单元

等参单元

等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中,m是用以进行坐标变换的单元节点数,Ni’是 用于坐标变换的形函数,它也是用局部(自然)坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元

等参变换的条件
由微积分学知,两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0,等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下,面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3

V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1


1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1

A
g ( x, y, z )dS e
1 1

1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。

等参单元及其应用

等参单元及其应用

等参单元及其应用摘要本文主要讲述等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。

等参单元的数值积分方法,等参单元刚度矩阵的数值积分方法及确定积分阶的原理。

全积分、减缩积分单元讨论和评价。

线性等参单元和非协调元,全积分、减缩积分线性等参单元和非协调元有关问题的分析讨论。

关键词等参单元; 数值积分; 应用1.引言用有限元法划分单元时,单元的节点数越多,单元精度越高。

因此在这一点上,矩形单元优于简单三角形单元,六面体单元优于四面体单元。

但单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体,且网格中单元大小无法过渡。

所有上述单元都是直线边界,处理曲边界几何体误差较大。

解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制,使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元,如果再增加边中间节点,还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。

任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法,必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标,采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。

这类单元称为等参单元。

等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。

2.等参单元的数值积分方法2.1 高斯数值积分的基本概念一维高斯数值积分公式:i ni i H x f dx x f I )()(111∑⎰=-== 其中:积分点-i x ,积分点数目,积分阶-n ,权重系数-i H结论:n 阶高斯积分公式对 2n-1 次多项式被积函数可求得精确积分! 同理,对二维高斯积分:),(),(111111i i j n i nj i F H H d d F I ηξηξηξ∑∑⎰⎰==--==积分公式对ξ,η方向最高方次为 2n-1 的多项式可求得精确值。

2.2 减缩积分的原理实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数,这种积分方案称为减缩积分。

有限元课件第4讲等参元和高斯积分

有限元课件第4讲等参元和高斯积分

关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ,2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1

等参数单元

等参数单元

(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上,利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件,进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元(Isoparametric elements)简称等参元,是根据特 定方法设定的一大类单元,不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元,一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界,准确地模拟结构形状;另一方面,等参元一般 具有高阶位移模式,能够较好地反映结构的复杂应力分布情况,即 使单元网格划分比较稀疏,也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是:首先导出关于局部坐标系(Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系)的规整形状的单 元(母单元)的高阶位移模式,然后利用形函数多项式进行坐标变 换,得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 (子单元),其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等,位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数,这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程,将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x

3001《固体力学》专业综合

3001《固体力学》专业综合

(3001)《固体力学》专业综合考试内容:一、结构力学1. 静定与静不定杆系结构内力求解-力法;2. 杆系结构的位移解法(直接刚度法);3.薄壁工程梁理论;4. 结构力学中的能量原理及其应用。

包括应变能及余应变能、虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、卡氏定理、单位载荷定理、叠加原理与位移互等定理。

二、弹性力学1. 平面问题的基本理论。

包括平面问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程、及应力函数、逆解法与半逆解法等;2. 平面问题的直角坐标解答。

包括多项式解答、矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布荷载等;3. 平面问题的极坐标解答。

包括极坐标中的平衡微分方程、几何方程、物理方程、轴对称应力和相应的位移等;4. 空间问题的基本理论。

包括空间问题的平衡微分方程、主应力与应力主向、几何方程、物理方程、轴对称问题及球对称问题的基本方程等;5. 弹性力学中的变分解法。

弹性体的位移变分方程及最小势能原理,基于最小势能原理的近似解法,应力变分方程及最小余能原理,基于最小余能原理的近似解法。

三、有限元方法及应用1.有限元法中的变分原理。

包括最小位能原理、最小余能原理、广义变分原理、修正变分原理等。

2. 有限元方法的一般性原理和表达格式; 3. 单元和插值函数的构造;4. 等参元和数值积分。

四、结构振动理论1.单自由度系统自由振动。

包括能量法,无阻尼自由振动,有阻尼衰减振动。

2.单自由度系统强迫振动。

包括简谐激励下的响应,强迫振动的复指数解法,频响函数与频域分析。

3.多自由度系统的振动。

包括拉格朗日方程,实模态分析,复模态分析,假设模态法。

参考书目:1. 结构力学基础,黄其青,王生楠编,西安:西北工业大学出版社2. 飞行器结构力学,王生楠主编,西安:西北工业大学出版社3. 弹性力学,吴家龙编著,北京:高等教育出版社4. 有限元法中的变分原理,王生楠编,西安:西北工业大学出版社5. 有限单元法王勖成编著,北京:清华大学出版社,20036. 振动理论及应用方同,薛璞著,西安:西北工业大学出版社。

四、 弹性力学有限元法基本原理(三)

四、 弹性力学有限元法基本原理(三)


该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接
构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广,再用形
函数性质进行验证。 • 为了突破这类单元几何上的限制,得到实用的单元,必须引
入等参变换。
第二节 等参单元
• 问题的提出
从前面介绍的各种二、三维单元看出,这些单元可能有两个方面 的约束: 第一是单元的精度,显然单元的节点数越多,单元精度越高。因 此在这一点上,矩形单元优于简单三角形单元,六面体单元优于四面 体单元; 第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能 模拟任意形状几何体,且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元
n
n
n
n

显然,只要形函数满足性质 满足。
N
i 1
n
i
1 ,等参单元的完备性就得到
六、等参单元力学特性分析
• 等参单元特性分析的所有公式的导出原理与前面介绍的其它单元相同。

等参单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵均用自然坐标描述。应变 矩阵中涉及到形函数对总体x,y,z坐标求导数时,须进行坐标变换。

该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完全三次多项式。
插值基函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号,8个节 点形函数为:
1 (1 i )(1 i )( i i 1)(i 1,2,3,4) 4 1 N i (1 2 )(1 i )( i 5,6) 2 1 N i (1 2 )(1 i )(i 7,8) 2 Ni
一、等参单元的概念
• 图4-3为一个4节点任意四边形单元(Q4),单元有8个自由度。将矩 形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 • 但在建立单元位移模式时产生了新的问题:

力学课程——精选推荐

力学课程——精选推荐

⼒学课程课程名:理论⼒学(I)Theoretical Mechanics (I)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤,介绍处理⼒学问题的基本⽅法。

核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。

作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程,学习理论⼒学务必达到以下要求:准确理解基本概念,熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤,学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。

理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分,也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。

在《理论⼒学(I)》中,主要讲述⽜顿⼒学内容,包括:点的运动学、刚体运动学、复合运动、⼏何静⼒学、质点动⼒学、质点系动⼒学、刚体动⼒学。

课程包括基本理论⼒学实验。

先修要求:微积分、⼤学物理教材及参考书:李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰,《理论⼒学》,清华⼤学出版社/Springer出版社;⾼云峰、李俊峰,《理论⼒学辅导与习题集》,清华⼤学出版社/Springer出版社。

课程名:理论⼒学(II)Theoretical Mechanics (II)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤,介绍处理⼒学问题的基本⽅法。

核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。

作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程,学习理论⼒学务必达到以下要求:准确理解基本概念,熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤,学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。

理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分,也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。

在《理论⼒学(I)》中,主要讲述分析⼒学内容,包括:分析⼒学基本概念、变分原理、拉格朗⽇⽅程、哈密顿⽅程。

先修要求:微积分、⼤学物理、理论⼒学(I)教材及参考书:李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰,《理论⼒学》,清华⼤学出版社Springer出版社;⾼云峰、李俊峰,《理论⼒学辅导与习题集》,清华⼤学出版社/Springer出版社;⾃编补充讲义。

3-6-等参元-数值积分

3-6-等参元-数值积分

1)保证精度
2)保证总刚K 为非奇异矩阵

①若 A B C D
~ ~ ~ ~ ~
则 A 秩 min B 秩、 秩、 秩 C D
~ ~ ~


②若 A B C
~ ~ ~ ~
则 A 秩 B 秩 C 秩
~ ~
考察单刚积分计算
考察总刚
例:
清华教材推荐:
等参元的收敛性
设结点位移
3-8 应力计算结果的整理
1.绕结点平均法
(a)对内绕点 ~ 5 : j i / 6 1
j ~ i 1
6
(b) 根据内结点应力利用外 插值公式计算 0 、 6 效果良好,
~ ~
反映了实际应力。
2.两单元平均法
(a)以相邻单元应力的平均 值作为公共边中点的应 力
(b)用外插法求边界单元边 中点的应力值。 注:为进行外插,“内 点”数不应小于 3
1 1时 1 2 A (1 2 ),若为一次式 0 N A1
1 1时 1 (1 ) 2 A5 (1 2 ),若为一次式 5 N A1
1 2
1 4
1 1时 1 2 A6 (1 2 ), 若为一次式 6 0 N A1
坐标的对应关系,即:
母元上任意一点可得到子元中唯一一点相对应
将母元:坐标映射到子元
得到一个斜角坐标 一局部坐标, 子元: 两组坐标 原xy坐标为整体坐标
二. 子单元的位移函数
单元位移场与单元形状 用相同的函数,并用相 同的 结点参数个数来描述 等参元。
三.八结点等参数单元
选取位移模式
由结点位移ui , v i 可确定a i , bi 则有

第4章 插值与基函数(下)

第4章  插值与基函数(下)

10
4
向均为不完全二次插值。完全的三二次插值有
点,故现在要加7个限制条件。
去掉
插值多项式仍唯一。
公项,
在ξ=1,η=1, ζ=1三平面上,除1,9,13,17四点外, 其余16点都已包括,这样再过9,13,17三点作一平
面,其方程

类似方法得全部基函数(注意:按上页图示编号情况下)
(4.67)
需要说明的问题:
(3.70)求权系数,便可使积分式(3.68)有2n-1阶代
数精确度。
下面来试求几个积分点和权系数:
,则根为 ,
般表为
(4.68) 称积分点, 称权系数。
f(x)
衡量积分公式好坏的标准称 代数精确度。
f(x4)
代数精确度m——即该公式对 m阶多项式精确成立,如几个积
f(x1) f(x2) -1 o
f(x3) +1 分点给定,则由几个点可唯一 x
x2 x3
x1
x4
确定一个n-1次多项式,它就是 Lagrange插值多项式。
8点元六面一般说不是平面,而是两族直线交织成的
直信面。但剖分时不需知道这些面的准确形状,剖分
时只要有大致形状即可。
2.20结点等参单元
ζ
5
内部插值有更高精确度,
15 12 8 20
7
11 6 18
1
2
边界上对曲面边界的逼近
更好,在每边中点给一个
η
16
17 O
9 ξ 13 14
19
3
插值条件。 不完全的三二次多项式插 值,所谓三点是指三个方
(4.54)
(四)任意四边形剖分与等参数单元 1.等参数单元(isoparametric element)的定义 已述的三角形剖分简便、灵活、对边界逼近好, 但应力精度差。

有限元课件第4讲等参元和高斯积分

有限元课件第4讲等参元和高斯积分

高斯积分的计算方法
1 一维积分
通过一维高斯积分公式, 将定积分转化为有限个节 点上的数值积分。
2 二维积分
通过二维高斯积分公式, 将二维平面上的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
3 三维积分
通过三维高斯积分公式, 将三维空间中的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
高斯积分在有限元分析中的应用
等参元和非等参元
1 等参元
等参元使用相同数目的自由度描述几何和插 值,适用于规则和光滑变形的分析。
2 非等参元
非等参元使用不同数目的自由度描述几何和 插值,适用于非规则和大变形的分析。
高斯积分基本原理
1
节点和权重
2
高斯积分采用节点和权重的概念,通过
特定的节点和权重系法
应力分析
高斯积分方法可以计算复杂结构的应力分布, 帮助工程师评估结构的强度和稳定性。
流体流动
高斯积分方法可以求解流体流动方程,分析空 气动力学、水力学和流体力学问题。
热传导
高斯积分方法可以模拟热传导过程,预测工件 的温度分布和热传导性能。
电磁场
高斯积分方法可以计算电磁场的分布和力线, 用于分析电磁场和电磁设备。
总结和要点
1 有限元方法
2 等参元和非等参元
有限元方法是一种计算工程问题的数值分析 方法,通过离散化和数值积分求解连续问题。
等参元适用于规则和光滑变形的分析,非等 参元适用于非规则和大变形的分析。
3 高斯积分基本原理
高斯积分通过节点和权重的计算,实现对函 数定积分的数值近似。
4 高斯积分的优点
高斯积分能够提供精确的计算结果,同时具 有高效计算的特点。
高斯积分是一种数值积分方法,用于近 似计算基于数学函数的定积分。

有限元方法概述

有限元方法概述
北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程

工程数学 计算方法(数值分析) 随机过程 矩阵论 运筹学(最优化方法) 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异,数学科学地位不断提
高,在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化,现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高,对研究生的论文 质量至关重要。
X
北京航空航天大学
(2)单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移-第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
北京航空航天大学
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示,杆的长度为L, 截面积为A,弹性模量为 E,单位长度的重量为q, 杆的内力为N。 试求:杆的位移分布,杆 的应变和应力。
北京航空航天大学
材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题,可以建立起基本方程与 边界条件,如下: 平衡方程: 几何方程: 物理方程: 边界条件:

2020年博士研究生招生考试初试考试大纲【模板】

2020年博士研究生招生考试初试考试大纲【模板】

2020年博士研究生招生考试初试考试大纲科目代码: 3001科目名称:机械结构的有限元法适用专业:机械工程参考书目:《有限单元法》王冒成,**大学出版社,2003《有限单元法及其工程应用》叶金铎、李林安、杨秀萍等编著,**大学出版社,2012《弹性力学基础及有限单元法》任学平,高耀东主编,**大学出版社,2007考试时间: 3小时考试方式:笔试总分: 100分考试范围:一、有限单元法的理论基础:包括加权余量法和变分原理;弹性力学的基本方程和变分原理。

二、弹性力学有限元方法的原理和表达式:包括弹性力学平面问题的有限元格式;广义坐标有限元;有限元解的性质和收敛准则;轴对称问题的有限元。

三、单元和插值函数的构造、等参元和数值积分:包括一维、二维、三维、阶谱单元及插值函数;等参变化的概念和单元矩阵的变换;等参变换的条件和等参单元的收敛性;数值积分方法等。

四、有限元法实际应用的若干问题:有限元模型的建立;应力计算结果的性质和处理;子结构法;结构对称性和周期性的利用;非协调元的概念。

五、线性代数方程组的解法和有限元分析程序:高斯消去法及其变化形式;带状系数矩阵的直接解法;有限元分析程序的前后处理的理解;有限元分析程序主体程序的了解。

六、杆系结构力学:结构单元;等截面直杆(梁单元);平面杆件系统和空间杆件系统。

七、平面弯曲问题的有限元法:基于薄板理论的非协调板单元;基于薄板理论的协调板单元;基于离散Kirchhoff理论的薄板单元。

八、壳体问题的有限元法:基于薄壳理论的轴对称壳单元;位移和转动各自独立插值的轴对称壳元;用于一般壳体的平面壳元和超参数壳元;壳体和实体元的联结;壳体和梁杆元的联结。

九、动力学问题:质量矩阵和阻尼矩阵;直接积分法;振型叠加法;大型特征值问题的解法;减缩系统自由度的方法。

十、材料非线性问题:非线性方程组的解法;材料弹塑性本构关系;弹塑性增量有限元分析;弹塑性全量有限元分析。

十一、几何非线性问题:大变形条件下的应变和应力的度量;几何非线性问题的表达方式;大变形条件下的本构关系;结构稳定性和屈曲问题。

数值积分方法课件

数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法,可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势,为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中,数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中,数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法,其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形,然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现,但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高,计算量较大,适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分,如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分,如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分,如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中,如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础,如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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4
������ 4
������������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������
单元特性矩阵计算:数值积分方法
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于一般形状的 4 节点四边 形单元,按逆时针方向标记 节点编号1、2、3、4,单元 形状用下式表示 ( 双一次拉 格朗日多项式):
������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������1 ������2 ������3 ������4 ������1 ������2 ������3 ������4
������1 ������2 ⋮ ������������
计算插值函数对整体坐标的微分。考虑插值函数由局部 坐标表示: ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
= ������−1
������称为雅可比矩阵,可记作������(������, ������, ������)/������(ξ, η, ζ),������ −1 是������的逆矩阵
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
2、导数之间的变换
������可以显示地表示为自然坐标的函数
′ ������N1 ������������ ′ ������ ������, ������, ������ ������N1 ������ ≡ = ������ ξ, η, ζ ������������ ′ ������N1 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N2 ������������ ′ ������N������ ⋯ ������������ ������1 ′ ������2 ������N������ ⋯ ⋮ ������������ ������������ ′ ������N������ ⋯ ������������
= ������−1
J 为雅克比矩阵 ������������ ������������ ������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
������
������
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
2、导数之间的变换
函数������������ 对������的偏导数为 ������������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = + + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 对于其他两个坐标(������, ������ ),可写出类似的表达式。将它们 集合成矩阵形式,则有
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
表示成矩阵形式
������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = ������ ������������ ������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������
������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ = ������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������
1、4节点及8节点等参单元
4 4
������ =
������������ ������������ , ������ =
������ 1 4������������, ������
������������ ������������
J 可以写成显式形式,表 ������1 = 示为局部坐标 ������, ������ 的函数。
4
������ = 1 − ������, ������ = 1 − ������, ������ = 1 + ������, ������ = 1 + ������
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
1 1 1 ������1 = 1 ������������, ������ = ������������, ������ = ������ ������, ������ = 2 3 4 4 4 4 4������ ������
������ = ������1
4
������2
������3
������4
8 8
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
其中������������ 参见8节点Serendipity四边形单元的插值函数。
������ 及������ 为局部坐标,各节点的局部坐标为 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1), 5(0,1), 6(-1,0), 7(0,-1), 8(1,0)
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
单元内位移由节点位移������������ 以及������������ 以及插值函数表示:
8 8
������ =
������
������������ ������������ , ������ =
������
������������ ������������
������ 及������ 为局部坐标,各节点的局部 坐标为 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1)
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于一般形状的 8 节点四边 形单元,按逆时针方向标记 节点编号 1 、 2 、 … 、 8 ,单 元形状用下式表示:
表示单元内位移的插值函数与表示单元形状的插值函数选 用同一函数,这种单元称为等参单元。
4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换
1、4节点及8节点等参单元
对于平面问题 ������������ ������ ������ ������������ 0 ������ ������ = ������������ = ������������������ ������ ������ ������������ ������ 其中 ������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������ ������ = ������1 ������2 ������3 ������4 ������ ������ = ������1 ������2 ������3 ������4
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