第四章 数值积分与数值微分.
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
上页 下页
n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
上页 下页
4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
上页 下页
例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
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4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分
b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
第四章 数值积分
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
数值分析4数值积分与数值微分
第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。
•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。
–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。
–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。
(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。
–(5) 会用龙贝格积分法。
–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。
积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。
3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。
441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。
因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
第4章数值积分与数值微分
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
代入余项(1.8)式中可以得到更细致的 余项表达式。
第4章 数值积分与数值微分
1
例.给定形如 f ( x)dx A f (0) A f (1) B f ' (0) 的求
0 1 0 0
《 数 值 分 析 》
积公式，试确定系数 A0 , A1 , B0，使公式 具有尽可能高的代数精确度，并求
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《 数 值 分 析 》
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
(1.1)
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
《 数 值 分 析 》
当n=0时，
I ( f ) f ( x)dx A0 f ( x0 ),
a
b
其中，A0及x0为待定参数。根据代数精确度定义可令f(x)=1,x, 由方程组(1.4)知
于是x0
《 数 值 分 析 》
2 0 0
第4章 数值积分与数值微分
A0 b a, A0 x0 1 2 (b a 2 ), 2
A k xk A k xkm
数值分析第四章数值微分
如何选择合适的步长h,需要进行误差分析。
在x=a处做泰勒展开
误差分析
h h f (a h) f (a ) hf (a ) f (a ) f (a ) 2! 3! 4 5 h (4) h (5) f ( a) f (a) 4! 5!
f (a h) f (a h) 代入： G( h) 2h
（2）向后差商数值微分公式 f (a ) f (a h) f (a ) f (a h) f (a ) lim h 0 h h
中点方法与误差分析
（3）中心差商数值微分公式 f (a h) f (a h) f (a ) lim h 0 2h f (a h) f (a h) G ( h) 2h f (a h) f (a h) 中点方法 2h
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
--------(4)
f ( x1 ) L1 ( x1 ) E1 ( x1 )
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式
1 f ( x0 ) f ( x1 ) ( f 1 f 0 ) h
( n 1) jk
--------(2)
k 0,1,, n
--------(3)
(2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差
由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
二、低阶插值型求导公式
1.两点公式
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
f (2) 0.353553
第四章 数值积分与数值微分
寻找一个足够精度的简单函数p(x)代替f(x) ，于是
有 a
b
f ( x)dx p( x)dx,把p(x)取成插值多项式，
a
b
则可得到插值型求积公式。
设给定节点 a x0 x1 x2 xn b
并已知这些节点上的函数值 f ( xk ) (k 0,1,, n)
当求积系数由 Ak
l ( x)dx
a k
b
所唯一确定时，所得的求积公式称为插值型求 积公式。 Remark：由截断误差可知，插值型求积公式 至少具有n次代数精度。
2018/11/17 17
二. Newton-cotes公式
h (b a) n 将[a，b]分为n等份， 取节点 xk a kh（k＝0,1,…,n）
a a a
m a0 Ak a1 Ak xk am Ak xk k 0 k 0 k 0
2018/11/17 5
n
n
n
求积公式的代数精确度（续）
b
a
dx Ak
n
b
a
xdx Ak xk
k 0 n
b
a
x dx Ak x
m k 0
k 0
3
2018/11/17 12
三.收敛性与稳定性
Ak f ( xk ) f ( x)dx (lim R[ f ] 0), 如果 lim a n h 0
b n
( xi xi 1 )，则称该求积公式是收敛的。 其中 h max 1 i n
k 0
n
如果求积公式对舍入误差不敏感（误差能够控 制），则称该求积公式是稳定的。
数值分析第4章答案
第四章数值积分与数值微分1•确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)」f(x)dx ： A」f(-h) A o f(O) Af(h)；2h⑵ N h f(x)dx ： A」f(-h) A o f(O) A i f(h);1(3) J(x)dx : [f(-1) 2f(xJ 3f(X2)]/ 3;h2⑷ 0 f(x)dx : h[f(O) f (h)]/ 2 ah [ f (0) - f (h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
h(1)若⑴」f(x)dx ： A」f (-h) A o f(O) A1f (h)令f (x) =1，则2h = A」A o A令f (x) = x，贝U0 = _A」h Ah2令f (x)二X，则2 3 2 2h =h A」h A3从而解得A。
=4h31M^-h3令f (x) = x4，则令 f (x) =X 4，则h h4 2 5f (x)dx x dx h '- '- 525A 」f (_h) A o f (0) A i f(h) h3故此时，h山 f(x)dx = A 」f(-h) A o f(O) Af(h)h故」f(x)dx ： A 」f (_h) A 0f(0) AJ (h) 具有3次代数精度。
2h(2 )若 N h f(x)dx ： A 」(-h) AJ (0) A ,f (h) 令 f (x) =1，则0 二-A 」h Ah令 f (x) = x 2，则从而解得8A 4h 3A/(-h) A/(0) Af(h)=02h故.物 f(x)dx 二 A/(-h) Af(0) AJ(h) 成立。
dh 3=h 2A-jh 2A2h Qh f(x)dx =2h Lhx 3dx = 02h2h 4 64 5f(x)dx x dx h-2h 2h 516 5A」f (_h) Af (0) A i f(h) h53故此时，2h,h f(x)dx= A/(-h) A o f(0) AJ(h)因此，2hN h f(x)dx： A」f(-h) A o f(0) Af(h)具有3次代数精度。
数值分析复习之数值积分与数值微分
辛甫森求积公式的余项估计为：
Cotes求积公式的余项估计为：
5、 当用Newton-Cotes求积公式的时，当很大时一样存在数值不稳定性。为 了使用低阶求积公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间做若干 等分，在每个子区间上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方 法。次代数精度 证明：梯型求积公式为，取时，有 取时 取时，积分真值为 梯型求积公式的值为 故，即梯型求积公式只具有1次代数精度。
３、分别应用梯型求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式计算积分，并 估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位） 解：运用梯形求积公式 其误差 应用Simpson求积公式， 其误差为 应用Cotes求积公式，有 其误差为：
４、推导下列三种矩形求积公式
解：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得
５、已知， （１）推导以这三个点作为求积节点在上的插值型求积公式， （２）指明求积公式所具有的代数精度 （３）用所求公式的计算 解：由构造Lagrange插值多项式 并用近似表示，可得插值型求积公式： ，其中
为数值微分。
三、例题 １、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式 所具有的代数精度。
解：这是的Newton－Cotes求积公式，至少具有三次代数精度。由此可以确定它 的系数，取可得以下方程组： 如果取，它的积分真值为，如果用积分公式来计算则得到它的近似值为，所 以，求积公式只具有3次代数精度。
构造出来的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写 为：
其中称为Cotes系数。特别地当时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公 式，写为：
数值分析第四章数值积分与数值微分
称 f 为区间 a , b 的平均高度.
3、求积公式的构造
若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： Iffaba
中矩形公式： Iff a2bba
右矩形公式： Iffbba
左矩形公式： Iffaba
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’st’tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcteiocnan?!not
get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R (P m ) I(P m ) In(P m ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1(x),使得
R (P m 1 ) I(P m 1 ) In (P m 1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
( i )R ( x k ) I ( x k ) I n ( x k ) 0 ,( 0 k m )
f x xn1 的余项为零。
由于 f x xn1,所以 fn1xn1!
即得
R(f)hn2 n n (tj)dt 0
j0
引进变换 t u n ,因为 n 为偶数,故 n 为整数,
2
2
于是有
n
R(f)hn2
2 n
2
n (unj)du
且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数 f xsinx
第四章 数值微积分_Zu2
(4) 0
7 90
, C
(4) 1
, C
(4) 2
,C
(4) 3
32 7 (4) 柯特斯(Cotes)公式 ,C 90
4
90
a
b
f ( x ) dx C
ba 90
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )]
j0 j k
得求积公式
In
k 0
n
Ak f ( x k ) (b a ) C k
k 0
n
(n)
f ( xk )
( Cotes系数 C k n )
上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式. 注：（1）Cotes 系数仅取决于 n 和 k , 与 f (x) 及 区间[a, b]均无关 . (n) （2） C k( n ) C n k ( 对 称 性 ). （3）
积分的精确值 I
1 0 .6
1 1 x
2
d x＝ arctgx
1 0 .6
0 .2 4 4 9 7 8 6 6 .
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例2
分别用梯形公式、辛普生公式计算 I
T b a 2
π 4
sin x d x .
0
解：由梯形公式
I T
π 4
f
( a ) f ( b ) 得
由柯特斯公式
I C
C
ba 90
7
f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 ) 得
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由于 f ( x) x 3 2x 2 7 x 5
f ( 4) ( x) 0
由cotes公式余项
(b a) 5 R( f ) f 2880
( 4)
( ),
a, b
知其误差为 R( f ) 0
cotes公式
知其误差为 R( f ) 0
3 1 7 f (1) 32 f (1.5) 12 f (2) 32 f (2.5) 7 f (3) C 90 1 35 125 2 7 32 12 9 32 7 9 20 45 8 8 3
1 0.5 0.5 xdx 90 [7 0.5 32 0.625 12 0.75 32 0.875 7 1]
1
1 [4.94975 25.29822 10.39223 29.93326 7] 0.43096407 180
积分的准确值为
1
0.5
(2)
用simpson公式
.
. x dx [ . (. ) / ] 1 [0.707 11 4 0.866 03 1] 0.43093403 12
(3)
用cotes公式计算，系数为
, , , ,
n
k
ba
可用此检验计算求积系数的正确性
如何构造插值求积公式?
(1) 在积分区间[a,b]上选取节点xk
(2)
计算f(xk)及 Ak l k ( x)dx a
b
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
(3) 利用f(x)=xn,…验算代数精度
例
对
3
0
f ( x)dx构造一个至少有3次代数精度
Ck
n
(1) nk n n ( (t i))dt 0 nk!(n k )! i 0
ik
( k=0,1…,n )
容易验证
n C k 1
k 0
n
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数 f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬 如当n=1时
第四章 数值积分与数值微分
插值求积公式有如下特点：
(1)复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分
(2) 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被
积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak 的值 (3) n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 (4) 求积系数之和
A
k 0
的求积公式
解:
公式
3次代数精度需4个节点, 在[0,3]上取0,1,2,3四个节点构造求积
3
0
f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式
A0
A1
3
( x 1)(x 2)(x 3) 1 3 3 dx ( x 3 6 x 2 11x 6)dx 0 (0 1)(0 2)(0 3) 6 0 8
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
例
分别用梯形公式、simpson公式和cotes
公式计算定积分
1
0.5
xdx
的近似值 (计算结果取5位有效数字)
(1) 用梯形公式计算
1 0.5 xdx [ f (0.5) f (1)] 0.25 [0.70711 1] 0.4267767 2
1
0.5
2 xdx x 3
3 2
1 0.5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。
例 用simpson公式和cotes公式,计算定积分
(x
1
3
3
2 x 7 x 5)dx
2
的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)
解: simpson公式
3 1 ba 62 2 a b 1 4 9 25 20 S f (a) 4 f f (b) 6 6 3 3 2
2 (1)0 1 t (t 1)dt 0 2 2! 0! 6
n
下表给出了n从1～8的柯特斯系数。
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Ck( n ) 1 1 2 2 1 4 1 6 6 6 1 3 3 1 8 8 8 8 7 16 2 16 7 90 45 15 45 90 19 25 25 25 25 19 288 96 144 144 96 288 41 9 9 34 9 9 41 840 35 280 105 280 35 840 751 3577 1323 2989 1323 3577 751 17280 17280 17280 17280 17280 17280 17280 989 588 -928 10496 -4540 10496 -928 588 989 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
3
3
0
( x 0)( x 2)( x 3) 9 9 3 dx , A , A 2 3 0 (1 0)(1 2)(1 3) 8 8 8 3 f ( x)dx f (0) 3 f (1) 3 f (2) f (3) 8
进一步，可以验证当 f ( x) x4 左边与右边不相等，于是该公式只有3次代数精度
C0
n
1 1 1 (t 1)dt 1 0! 1! 0 2
C1
n
1 tdt 0 2
1
当n=2时
n C0
2 ( 1) 2 1 (t 1)(t 2) dt 0 2 0! 2! 6
C1
C2
n
(1)1 2 2 t (t 2)dt 2 1! 1! 0 3