第4章 数值积分与数值微分

1 (a b).得到的求积公式就是中 矩形公式。再令 2 f ( x) x 2 , 代入(1.4)式的第三式有
b ab 2 ba 2 1 2 A x (b a)( ) (a b ) x 2 dx (b 3 a 3 ), a 2 4 3 说明中矩形公式对 ( x) x 2不精确成立，故它的代 f 数精确度为 . 1
定 理 1 求积公式 f ( x)dx Ak f k 至少具有n次代数精度
a k 0
它是插值型求积公式 .
四、求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精确度为m，则由求积 公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( ), (1.8)
k 0 n
Hale Waihona Puke 第4章 数值积分与数值微分
~ 定 义 3 若 0, 0,只要 f ( xk ) f k (k 0,, n), 就有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
《 数 值 分 析 》
~ Ak [ f ( xk ) f ( xk )] ,
此求积公式的余项。
第4章 数值积分与数值微分
1 A1 B0 2 1 1 《 A1 0 x 2 dx 3 1 2 数 1 1 A1 , A0 , B0 于是有 f ( x)dx 2 f (0) 1 f (1) 1 f ' (0) 值解得 3 3 6 3 3 6 分 0 1 1 析当 3时 x 3 dx . 而上式右端为1/3，故公式对 f ( x) x 》 4 0
k 0
n
则称求积公式 (1.3) 是稳定的 .
定 理 2 若求积公式(1.3)中系数Ak （0,1,, n),则求积公式 0 是稳定的 .
~ 这是因为, 当 f ( xk ) f k (k 0,, n)时, 取 有 ba n n ~ | Rn | Ak f ( xk ) f ( xk ) Ak (b a) .
1 1 3 1 1 1 2 K x dx f (0) f (1) f ' (0) 3! 0 3 6 72 3 1 故得 R[ f ] f ' ' ' ( ), (0,1) 72
第4章 数值积分与数值微分
五、求积公式的收敛性和稳定性
I ( f ) f ( x)dx A0 f (a) A1 f (b).
a
b
第4章 数值积分与数值微分
在线性方程组 1.4)中令m 1 ( ，则得 A 0 A1 b a,

A 0 a A1b
1 2 (b a 2 ), 2
《 数 值 分 析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式， 》 与用通过两点(a,f(a))与(b,f(b))的直线近似曲线y=f(x)得到的结果一致。
代入余项(1.8)式中可以得到更细致的 余项表达式。
第4章 数值积分与数值微分
例.给定形如 f ( x)dx A f (0) A f (1) B f ' (0) 的求
0 1 0 0
1
《 数 值 分 析 》
积公式，试确定系数 A0 , A1 , B0，使公式 具有尽可能高的代数精确度，并求
《 数 值 分 析 》

b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
(1.1)
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
公式(或辛普生公式)

b
a
ba ab f ( x)dx [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
(1.2)
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
况: (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
单的函数,例如
sin x 1 x2 , ,e x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关
系由表格或图形表示,无法求出原函数。 (3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 数 值 分 析 》
图 4.2
图4.3
一般地, 求积公式
第4章 数值积分与数值微分

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk ),
k 0
n
(1.3)
式中xk 称为求积节点； k 称为求积系数，亦称伴 A 随节点xk的权。 权Ak 仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖 被积函数f ( x)的具体形式。 . 《 通常称为机 械 求 积 公 式 数 值 二、代数精度的概念 分 析 定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式 》
b a k 0 n
第4章 数值积分与数值微分
其中k为不依赖于f ( x)的待定参数， (a, b).这个结果表明当 ( x) f 是次数小于等于 的多项式时，由于 ( m 1) ( x) 0, 故此时R[ f ] 0, m f 即求积公式(1.3)精确成立。而当 ( x) x m 1时，f ( m 1) ( x) (m 1)!, f
k 0 k 0
第4章 数值积分与数值微分
§4.2 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简
单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于
《 数 值 分 析 》
是有

b
a
f ( x)dx ( x)dx
a
b
现用第2章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
《 数 值 分 析 》
lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
b n h 0 k 0 a
n
其中h max( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的.
1i n
~ 设f ( xk )有误差 k , 即f ( xk ) f k k (k 0,1,, n), 则有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) | ~ Ak [ f ( xk ) f k ] .
都准确成立, 而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度 .
一般地，欲使求积公式 (1.3)具有 m次代数精度，只要令它
对于 f ( x) 1, x, x m都能准确成立，这就要 求

《 数 值 分 析 》
第4章 数值积分与数值微分
A
k 0 n k 0 n
同样可得到右矩形公式

中矩形公式
b
a
f ( x )dx (b a ) f (b )

b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ). 2
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《 数 值 分 析 》
当n=0时，
I ( f ) f ( x)dx A0 f ( x0 ),
a
b
其中，A0及x0为待定参数。根据代数精确度定义可令f(x)=1,x, 由方程组(1.4)知

于是x0
《 数 值 分 析 》
2 0 0
第4章 数值积分与数值微分
A0 b a, A0 x0 1 2 (b a 2 ), 2
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分

b
a
dx 1 x4
1 的被积函数 1 x 4 的原函数就比较复杂,从数值计算角 度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到
左矩形公式

《 数 值 分 析 》
b
a
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 a
n
(1.5)
称为插值型求积公式 .
第4章 数值积分与数值微分
它的余项为 R[ f ] f ( x) Ln ( x)dx
b a
b n
b
a
f ( n1) ( ) n ( x x j )dx. (1.7) (n 1)! j 0
《 数 值 分 析 》
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1
《 数 值 分 析 》
引
言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x) 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿 ―莱布尼兹公式

b
a
f ( x) F (b) F (a)
第4章 数值积分与数值微分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问 题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的 计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
n
k
b a, 1 2 (b a 2 ), 2 1 (b m 1 a m 1 ). m 1
A k xk A k xkm
k 0
(1.4)
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b] 的等距分点作为节点，这时取m=n求解线性方程组(1.4) 即可确定求积系数Ak，而使求积公式(1.3)至少具有n次 代数精度。 为了构造出形如(1.3)式的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题。 例如n=1时，取x0=a,x1=b,求积公式为
《 (1.8)式的左端R ( x) 0, 故可求得 n 数 n 值 1 b m 1 m 1 分 K a x dx Ak xk (m 1)! 析 k 0 》 n


1 1 m2 m2 m 1 m 2 (b a ) Ak xk . （1.9） (m 1)! k 0
练 习 设有求积公式

1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0 , A1 , A2 , 使上述求积公式的代数 精度尽量高 .
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f 0 , f1,, f n，就有拉格朗日插值多项式
解：根据题意可令f ( x) 1, x, x 2分别代入求积公式使它精 A0 A1 1 确成立得
f ( x) x 不精确成立，其代数精确度为2. 故余项表达式为
3
R[ f ] Kf ' ' ' ( )令 f ( x) x 3 得 f ' ' ' ( ) 3!，于是有
f(x),即有
b a
f ( x)dx Pn ( x)dx
a
b
取基点为等距,即 a=x0＜x1＜…＜xn=b
第4章 数值积分与数值微分
ba h xk 1 xk , k 0,1, 2,, n 1 n xi x0 ih i 0,1, 2,, n
1 解得A 0 A1 （b a） .于是得 2 b ba I ( f ) f ( x ) dx [ f ( a ) f (b)] a 2
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b ba 2 1 3 2 2 (a b ) x dx (b a 3 ). a 2 3
《 数 值 分 析 》
Ln ( x) lk ( x) f k
k 0
n
得到
即得求积公式
f ( x)dx
b a
b L ( x)dx a n

k 0
b
n

b l ( x)dx a k
f ,
k

b
a
f ( x)dx Ak f k , 其中Ak l k ( x)dx.