第4章 数值积分与数值微分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
《数值分析》(第5版)第四、五章作业题
第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
第四章 数值积分
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
牛顿-柯特斯求积公式
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
数值分析第四章数值微分
如何选择合适的步长h,需要进行误差分析。
在x=a处做泰勒展开
误差分析
h h f (a h) f (a ) hf (a ) f (a ) f (a ) 2! 3! 4 5 h (4) h (5) f ( a) f (a) 4! 5!
f (a h) f (a h) 代入： G( h) 2h
（2）向后差商数值微分公式 f (a ) f (a h) f (a ) f (a h) f (a ) lim h 0 h h
中点方法与误差分析
（3）中心差商数值微分公式 f (a h) f (a h) f (a ) lim h 0 2h f (a h) f (a h) G ( h) 2h f (a h) f (a h) 中点方法 2h
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
--------(4)
f ( x1 ) L1 ( x1 ) E1 ( x1 )
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式
1 f ( x0 ) f ( x1 ) ( f 1 f 0 ) h
( n 1) jk
--------(2)
k 0,1,, n
--------(3)
(2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差
由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
二、低阶插值型求导公式
1.两点公式
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
f (2) 0.353553
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
计算物理学(刘金远)第4章-数值微分与积分(课后习题及答案)
4.1数值第４章数值微分与积分微分【4.1.1】已知x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y12.182513.463714.879716.444618.1741（1）用前差、后差和中心差求 2.7x =的一阶导数值（2）用中心差求 2.7x =的二阶导数值【4.1.2】用泰勒展开()()()()()()()2312!3!i i i i i f x f x f x f x f x x x x +¢¢¢¢¢¢=+D +D +D +K\*MERGEFORMAT (1.1)()()()()()()()2312!3!i i i i i f x f x f x f x f x x x x -¢¢¢¢¢¢=-D +D -D +K\*MERGEFORMAT (1.2)（1）推导微分公式()()()()1i i i f x f x f x O x x+-¢=+D D ()()()()1i i i f x f x f x O x x--¢=+D D ()()()()2112i i i f x f x f x O x x+--¢=+D D ()()()()()()1122i i i i f x f x f x f x O x x +--+¢¢@+D D 另外：()()()()()()()()()()111112''2i i i i i i i i i i f x f x f x f x f x f x h h f x h h f x f x f x h +-++-----¢¢»=-+=【4.1.3】采用泰勒展开方法确定下列数值微分公式0000(,)()()(2)x h af x bf x h cf x h f =++++提示：取00(,)'()x h f x f =，00(,)''()x h f x f =【解】2300001()()'()''()()2f x h f x hf x h f x O h +=+++230000(2)()2'()2''()()f x h f x hf x h f x O h +=+++00023000()()(2)1()()(2)'()(2)''()max(,,)()2af x bf x h cf x h a b c f x b c hf x b c h f x a b c O h ++++=+++++++如果：（1）取00(,)'()x h f x f =，则有关系：210; (2)1; (2)02a b c b c h b c h ++=+=+=得到：123,,c b a =-==-（2）取00(,)''()x h f x f =，则有关系：210; (2)0; (2)12a b c b c h b c h ++=+=+=得到：222121,,c b a ==-=【4.1.4】（1）二阶微分写为：11/2211/21/22()2()()''()(/2)()2()()''()(/2)j j j j j j j j f x f x f x f x h f x f x f x f x h +++++-+=-+=\*MERGEFORMAT (1.3)有什么区别（2）1/2111/2211/2()()'(()()/)'()/2''(2)()2()()/2j j j j j j j j j j f x f x f x f x h f f x f x x h hf x f x f x h h ++++++---==-=-+\*MERGEFORMAT (1.4)结果对否，为什么？【解】对于（1.3）式23111()()'()''()'''()26j j j j j f x f x hf x h f x h f x +=++++L \*MERGEFORMAT (1.5)231/2111()()'()(/2)''()(/2)'''()226j j j j j f x f x hf x h f x h f x +=++++L \*MERGEFORMAT (1.6)将2(1.6)(1.5)´-,得，（非对称，一阶精度），对称，二阶精度）对于（1.4）式应该是1/2111/221()()()()'()'()/2''()()2()()/4j j j j j j j j j j f x f x f x f x h f f x f x x hhx f hf f x x h +++++--=--==-+\*MERGEFORMAT (1.7)11'()()()j j j f x f x f x h++=-,即差分定义要围绕j x 点，而（1.4）式中1'()j f x +的下一步定义111/2()('())/2j j j f x f x f x h +++-=与j x 点无关，结果是错的。
数值积分与数值微分
数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。
本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。
在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。
1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。
具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
矩形法的计算简单，但精度较低。
1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。
类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。
具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。
1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。
辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。
具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
第四章 数值微积分_Zu2
(4) 0
7 90
, C
(4) 1
, C
(4) 2
,C
(4) 3
32 7 (4) 柯特斯(Cotes)公式 ,C 90
4
90
a
b
f ( x ) dx C
ba 90
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )]
j0 j k
得求积公式
In
k 0
n
Ak f ( x k ) (b a ) C k
k 0
n
(n)
f ( xk )
( Cotes系数 C k n )
上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式. 注：（1）Cotes 系数仅取决于 n 和 k , 与 f (x) 及 区间[a, b]均无关 . (n) （2） C k( n ) C n k ( 对 称 性 ). （3）
积分的精确值 I
1 0 .6
1 1 x
2
d x＝ arctgx
1 0 .6
0 .2 4 4 9 7 8 6 6 .
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例2
分别用梯形公式、辛普生公式计算 I
T b a 2
π 4
sin x d x .
0
解：由梯形公式
I T
π 4
f
( a ) f ( b ) 得
由柯特斯公式
I C
C
ba 90
7
f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 ) 得
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1 (a b).得到的求积公式就是中 矩形公式。再令 2 f ( x) x 2 , 代入(1.4)式的第三式有
b ab 2 ba 2 1 2 A x (b a)( ) (a b ) x 2 dx (b 3 a 3 ), a 2 4 3 说明中矩形公式对 ( x) x 2不精确成立，故它的代 f 数精确度为 . 1
定 理 1 求积公式 f ( x)dx Ak f k 至少具有n次代数精度
a k 0
它是插值型求积公式 .
四、求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精确度为m，则由求积 公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( ), (1.8)
k 0 n
Hale Waihona Puke 第4章 数值积分与数值微分
~ 定 义 3 若 0, 0,只要 f ( xk ) f k (k 0,, n), 就有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
《 数 值 分 析 》
~ Ak [ f ( xk ) f ( xk )] ,
此求积公式的余项。
第4章 数值积分与数值微分
1 A1 B0 2 1 1 《 A1 0 x 2 dx 3 1 2 数 1 1 A1 , A0 , B0 于是有 f ( x)dx 2 f (0) 1 f (1) 1 f ' (0) 值解得 3 3 6 3 3 6 分 0 1 1 析当 3时 x 3 dx . 而上式右端为1/3，故公式对 f ( x) x 》 4 0
k 0
n
则称求积公式 (1.3) 是稳定的 .
定 理 2 若求积公式(1.3)中系数Ak （0,1,, n),则求积公式 0 是稳定的 .
~ 这是因为, 当 f ( xk ) f k (k 0,, n)时, 取 有 ba n n ~ | Rn | Ak f ( xk ) f ( xk ) Ak (b a) .
1 1 3 1 1 1 2 K x dx f (0) f (1) f ' (0) 3! 0 3 6 72 3 1 故得 R[ f ] f ' ' ' ( ), (0,1) 72
第4章 数值积分与数值微分
五、求积公式的收敛性和稳定性
I ( f ) f ( x)dx A0 f (a) A1 f (b).
a
b
第4章 数值积分与数值微分
在线性方程组 1.4)中令m 1 ( ，则得 A 0 A1 b a,
A 0 a A1b
1 2 (b a 2 ), 2
《 数 值 分 析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式， 》 与用通过两点(a,f(a))与(b,f(b))的直线近似曲线y=f(x)得到的结果一致。
代入余项(1.8)式中可以得到更细致的 余项表达式。
第4章 数值积分与数值微分
例.给定形如 f ( x)dx A f (0) A f (1) B f ' (0) 的求
0 1 0 0
1
《 数 值 分 析 》
积公式，试确定系数 A0 , A1 , B0，使公式 具有尽可能高的代数精确度，并求
《 数 值 分 析 》
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
(1.1)
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
公式(或辛普生公式)
b
a
ba ab f ( x)dx [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
(1.2)
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
况: (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
单的函数,例如
sin x 1 x2 , ,e x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关
系由表格或图形表示,无法求出原函数。 (3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 数 值 分 析 》
图 4.2
图4.3
一般地, 求积公式
第4章 数值积分与数值微分
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk ),
k 0
n
(1.3)
式中xk 称为求积节点； k 称为求积系数，亦称伴 A 随节点xk的权。 权Ak 仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖 被积函数f ( x)的具体形式。 . 《 通常称为机 械 求 积 公 式 数 值 二、代数精度的概念 分 析 定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式 》
b a k 0 n
第4章 数值积分与数值微分
其中k为不依赖于f ( x)的待定参数， (a, b).这个结果表明当 ( x) f 是次数小于等于 的多项式时，由于 ( m 1) ( x) 0, 故此时R[ f ] 0, m f 即求积公式(1.3)精确成立。而当 ( x) x m 1时，f ( m 1) ( x) (m 1)!, f
k 0 k 0
第4章 数值积分与数值微分
§4.2 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简
单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于
《 数 值 分 析 》
是有
b
a
f ( x)dx ( x)dx
a
b
现用第2章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
《 数 值 分 析 》
lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
b n h 0 k 0 a
n
其中h max( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的.
1i n
~ 设f ( xk )有误差 k , 即f ( xk ) f k k (k 0,1,, n), 则有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) | ~ Ak [ f ( xk ) f k ] .
都准确成立, 而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度 .
一般地，欲使求积公式 (1.3)具有 m次代数精度，只要令它
对于 f ( x) 1, x, x m都能准确成立，这就要 求
《 数 值 分 析 》
第4章 数值积分与数值微分
A
k 0 n k 0 n
同样可得到右矩形公式
中矩形公式
b
a
f ( x )dx (b a ) f (b )
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ). 2
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《 数 值 分 析 》
当n=0时，
I ( f ) f ( x)dx A0 f ( x0 ),
a
b
其中，A0及x0为待定参数。根据代数精确度定义可令f(x)=1,x, 由方程组(1.4)知
于是x0
《 数 值 分 析 》
2 0 0
第4章 数值积分与数值微分
A0 b a, A0 x0 1 2 (b a 2 ), 2
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
b
a
dx 1 x4
1 的被积函数 1 x 4 的原函数就比较复杂,从数值计算角 度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到
左矩形公式
《 数 值 分 析 》
b
a
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 a
n
(1.5)
称为插值型求积公式 .
第4章 数值积分与数值微分
它的余项为 R[ f ] f ( x) Ln ( x)dx
b a
b n
b
a
f ( n1) ( ) n ( x x j )dx. (1.7) (n 1)! j 0
《 数 值 分 析 》
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1
《 数 值 分 析 》
引
言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x) 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿 ―莱布尼兹公式
b
a
f ( x) F (b) F (a)
第4章 数值积分与数值微分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问 题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的 计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
n
k
b a, 1 2 (b a 2 ), 2 1 (b m 1 a m 1 ). m 1