第八届奥林匹克全国数学大赛初二试题

第八届 全国数学大赛

初二试题

（时间：120分钟 满分：140分）

题号 一 二

三

总分 17

18 19 20 得分

一、选择 题（每小题5分，共40

分）

1、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

2、已知方程组⎩⎨

⎧=+=+4535y ax y x 与⎩⎨⎧=-=+523

5y x by x 有相同的解，则b a ,的值为( )

A ．⎩⎨⎧==21b a

B ．⎩⎨⎧-=-=64b a

C ．⎩⎨⎧=-=26b a

D ．⎩⎨⎧==1

14

b a

3、甲是乙现在的年龄时，乙l0岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )． A ．甲比乙大5岁 B ．甲比乙大10岁 C ．乙比甲大10岁 D ．乙比甲大5岁

4、化简)

2(2)

2(223

4++-n n n 得（ ）． A ．8121-+n B ．1

2+-n C ．87 D ．4

7

5、如果式子a

a ---11

)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）

A ．a -1

B ．1-a

C ．1--a

D ．a --1 6、如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直角EPF 的 顶点P 是BC 中点，两边P

E 、P

F 分别交AB 、AC 于点C 、F ， 给出以下四个结论：①AE =CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形； ③S 四边形AEPF =

2

1

S △ABC ；④EF =AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个.

7、在实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8、若p 为质数，3

5p +仍为质数，则5

7p +为（ ）.

A.质数

B.可为质数也可为合数

C.合数

D.既不是质数也不是合数

二、填空题（每小题5分，共40分）

9、若关于x 的方程)2(2015)1(--=-x n x m 有无数个解，则m 2015+n 2015＝ ． 10、已知3=xy ，那么y

x y x

y x +的值为 ．

11、某数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 12、设43239-

的整数部分为a ，小数部分为b ，则

b

a b a -++

+41111= ． 13、直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．

14、如图，已知直线l ：y =

3

3

x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为 .

15．如上图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠B =∠D ＝90°，BC =2， CD =3，则AB =

16、小明、小强、小华三人参加奥林匹克杯数学大赛，他们是来自北京、上海、成都的

选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道：(1)小明不是北京的选手；(2)小强不是上海的选手；(3)北京的选手不是一等奖；(4)上海的选手得二等奖；(5)小强不是三等奖。根据上述情况，小强是 的

得分 评卷人

得分 评卷人

选手，他得的是 等奖。

三、解答题（每小题15分，共60分）

17、①化简求值：a a a a a a a -+---+-22212121 ，其中3

21

+=a .

②求()()()()

25625642112121212+++++ 的值。

18、一圆柱的底面半径为5cm,高AB 为5cm ，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线及路线的长。

19、甲、乙、丙三位同学乘同一趟高铁去上学，每个人的行李都超过了免费的重量，需要另加行李费。已知甲为超重部分支付了0.5元，乙为超重部分支付了1.5元，丙为超重部分支付了2.5元。三人的行李共重120千克。如果这些行李是一个人携带的，则应付9.5元。求三个人的行李各重多少千克？

20、如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x =t ，使它与直线y =x 和直线22

1

+-

=x y 分别交于点D 、E （E 在D 的上方）且△PDE 为等腰直角三角形。若存在，求t 的值及P 的坐标；若不存在，说明理由。

得分 评卷人

得分 评卷人

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参考解答

一、选择题：D 、D 、A 、C 、C 、C 、C 、C

二、填空题：(9)、0；(10)、32±；(11)、169；(12)、4；(13)、132；(14)、()

20154,

0；(15)、33

8； (16)、

成都、一. 三、解答题：

17、解：（1）4；（2）4．

18、解：路线一：沿圆柱侧面爬行2

212525π+=s

路线二：从A 到B 到C 爬行()2251052

22

=+=s

经过比较，路线二最短，最短路线为15cm.

19、解：设甲、乙、丙三人携带行李重量分别为x,y,z 千克，免费重量为a 千克，得：

x+y+z=120，

(x-a):(y-a):(z-a):(120-a)=0.5:1.5:2.5:9.5，

整理得：19（x-a ）=120-a ，19（y-a ）=3（120-a ），19（z-a ）=5（120-a ），19（x+y+z ）=1080+48a ，而x+y+z=120，所以a=（19*120-1080）/48=25，再把a=25代入19（x-a ）=120-a ，19（y-a ）=3（120-a ），19（z-a ）=5（120-a ），x+y+z=120，就得出x=30，y=40，z=50

20、解：存在。

易知：E 点的坐标为（t ，），D 点坐标为（t ，t ）。

∵E 在D 的上方，∴，且t ＜。

∵△PDE 为等腰直角三角形，∴PE ＝DE 或PD=DE 或PE=PD 。

①若t ＞0，PE=DE 时，。∴。∴P 点坐标为（0，）。

②若t ＞0，PD=DE 时，，∴。∴P 点坐标为（0，）。

③若t ＞0，PE=PD 时，即DE 为斜边，∴

。∴

，∴DE 的中点的坐标为（t ，

），

∴P 点坐标为（0，

7

8

）。 ④若t ＜0，PE=DE 或PD=DE 时，由已知得DE=－t ，，t ＝4＞0（不符合题意，舍去），此

时直线x ＝t 不存在。

⑤若t ＜0，PE=PD 时，即DE 为斜边时，由已知得DE=－2t ，， ∴。∴P

点坐标为（0，0）

综上所述：当t ＝时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，）或

（0，）；当时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，）；当t ＝－4时，△PDE

为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，0）。