向量共线定理--

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向量三点共线定理推论

向量三点共线定理推论向量三点共线定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了三个向量共线的条件。

在本文中，我们将通过推论的方式来详细阐述这一定理的应用。

让我们回顾一下向量三点共线定理的表述：给定三个不共线的点A、B和C，如果向量AC可以表示为向量AB与向量BC的线性组合，那么点A、B和C就共线。

这一定理可以简单地用公式表示为AC = k1 * AB + k2 * BC，其中k1和k2是实数。

基于向量三点共线定理，我们可以得出以下推论：推论一：如果两个向量的比例相等，那么它们共线。

假设有两个向量AB和CD，如果它们的比例相等，即AB/CD = k，则可以通过向量的等式转化为向量的加法运算，得到AC = AD + DC = AD + (AB/k)。

由于向量AD和向量AB/k成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。

推论二：如果两个向量的夹角为零或180度，那么它们共线。

假设有两个向量AB和CD，如果它们的夹角为零或180度，即cosθ = AB·CD / (|AB|·|CD|) = 1或-1。

我们可以将向量CD表示为向量AB的倍数，即CD = k * AB。

根据向量三点共线定理的等式形式，我们可以得到AC = AD + DC = AD + k * AB。

由于向量AD和向量AB成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC 与向量AB和向量CD共线。

推论三：如果三个向量两两共线，那么它们共线。

假设有三个向量AB、BC和CD，如果向量AB与向量BC共线，并且向量BC与向量CD共线，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。

推论四：如果一个向量与两个共线向量的和共线，那么它们三者共线。

假设有三个向量AB、CD和DE，如果向量AB与向量CD共线，并且向量DE = AB + CD，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量DE与向量AB和向量CD共线。

两个向量共线的公式

两个向量共线的公式
三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。

三点共线指的是三点在同一条直线上。

可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

三点共线证明方法：
方法一：挑两点奠定一条直线，排序该直线的.解析式.代入第三点座标看看与否满足用户该解析式（直线与方程）。

方法二：设三点为a、b、c，利用向量证明：λab=ac（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出来ab斜率和ac斜率，成正比即为三点共线。

方法四:用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面存有一个公共点，那么它们存有且只有一条过该点的公共直线”.所述：如果三点同属两个平行的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。

空间向量基本定理

（ 1 ）、 e1 , e2 , e3不共面
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底，通常用 i, j , k 表示.
1、如果 a, b 与任何向量都不能构空成间的一个基底，则a与b 有什么关系？共线
2、判断： O, A, B, C为空间四点，且向量 OA, OB, OC不构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有什么关系共面？
通过平面向量基本定理来类似地推广到空间向量中吗？空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不共面，那么对空间 பைடு நூலகம் 一向量p，存在惟一的有序实数组 ( x, y, z )，使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、已知向量 a, b, c 是空间的一个基底， a 从 , b, c 中选哪个向量，一定以可与向量p a b, q a b 构成空间的另一个基？底

答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。

18.向量共线定理和向量基本定理

向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=.变形形式:已知直线l 上三点,,A B P ,O 为直线l 外任一点,有且只有一个实数λ,使得()1OP OA OB λλ=-+.2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+. 考点1 向量共线定理题型 1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知3AD AB =,3DE BC =,试判断AC 与AE 是否共线?例2已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C DAD.D ,,A C D例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD 的形状 ⑴AD BC = ⑵13AD BC =⑶AD BC =,且AB AD=题型2 向量共线定理的应用例 4 ⑴已知点C在线段AB上,且52AC CB =,则AC =AB ,BC = AB⑵设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值.⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 .A 100 .B 101 .C 200 .D 201考点3 平面向量基本定理题型在几何图形中,用基底表示其他向量例5 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a =,AD b =,用,a b 为基底表示,,,MA MB MC MDBC例6 D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =.A 12BC BA -+ .B 12BC BA -- .C 12BC BA - .D 12BC BA+例7如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为1200，OA与OC的夹角为300，且1OA OB ==，23OC =．若OC OA OBλμ=+(),R λμ∈，则λμ+的值为练习:1. 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件AB CD AOBCABC DC 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3. 已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线4. 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +5. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c6. 在ABC△中，已知D是AB边上一点，若2AD DB=，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23 .B 13 .C 13- .D 23-7. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE ADA 、1B 、2C 、3D 、48. 设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=9. 在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = （用,a b 表示）10. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求ABDEA BCH•MCD → ，CE → ．已知a +b=213e e +，a -b=212e e -，用1e 、2e 表示a =。

平面向量三点共线定理

平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。

（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。

（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。

例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。

此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。

（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。

同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。

相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。

这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。

空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用

共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。

2.2.3向量共线定理

向量的加、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算 ur ur 对于任意向量 a 、，以及任意实数 λ 、 μ 1 、 μ 2， rb r r r 恒有 λ µ a ± µ b λµ a ± λµ b. （）=
1 1 1 1
计算：例1.计算：计算
A,B,C三点共线 A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上 AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD
练习1 是两个不共线向量。练习设a，b是两个不共线向量。，是两个不共线向量 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则共线则k=_____(k∈R) 、、共线则 ∈
= 13a
3 （2）x + 3a + 2 x − 4a − 4 x + 4a − 4b = 0 x + 3a − 4b = 0
∴ x = −3a + 4b
练习
1.已知λ ,µ ∈ R,则在以下各命题中,正确的命题共有(Ｄ ) r r r r (1)λ <0,a ≠ 0, λ a与a方向一定相反; r r r r (2)λ > 0, a ≠ 0, λ a与a方向一定相同; r r r r (3)λ ≠ 0,a ≠ 0, λ a与a是共线向量; r r r r (4)λ ⋅ µ >0,a ≠ 0, λ a与µ a方向一定相同; r r r r (5)λ ⋅ µ <0,a ≠ 0, λ a与µ a方向一定相反; A.2 B.3 C.4 D.5
解： ) − 12a (1 12a v ( 2 ) 5b r r v ( 3) − a + 5b − 2c

共线定理以及三点共线

共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】解：与共线，，，，或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。

空间向量基本定理

2
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线，则向量与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分新疆王新敞奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量证明：
（1） EG // AC

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

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已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
同年十月行俭许伏念以不死亲属成员编辑自分死矣六换（阙）钺自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军在北周任骠骑大将军汾州刺史宁王必定回救独召祐及李忠义屏人语御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使甲子功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

2.2.3.向量共线定理

(1)(3) 4a; (2)3(a b) 2(a b) a; (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.
巩固练习：计算：（） 1（ 2 2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c); (2)已知3( x a) 2( x 2a) 4( x a b) 0 求 x. 解：（ 1 ）原式 4a 12b 6c 9a 12b 6c
B
F·
·D
E·
C
思考:
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,
问题1：如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa ？
a a b
a
3.向量共线定理
对于向量a （ a ≠ 0 ）、 b ，如果有一个实数，使 b = a ，那么由实数与向量的积的定义知， a与b共线. 反过来，已知向量a与b共线， a ≠ 0 ，且向量b的长度是向量a的λ倍，即| b |︰| a |= λ，那么当向量a与b同向时，有b =λ a ，当向量a与b反向时，有b = - λ a . 也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数，使b = a .
BC = b
D
N
C
A
M
B
所以M.N.C三点共线
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行:
A,B,C三点共线

向量的三点共线定理

向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。

它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。

二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。

在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。

定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。

三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。

特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。

性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。

四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。

特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。

特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。

五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。

规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。

特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。

6.2平面向量共线定理的坐标表示

授课主题平面向量共线的坐标表示教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩固已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )，所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩固已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________．分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩固若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩固已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。

平面向量的共线定理和共点定理

平面向量的共线定理和共点定理平面向量是数学中重要的概念之一，其具有广泛的应用。

在平面向量的运算中，共线定理和共点定理是两个重要的定理，对于理解和应用平面向量具有重要意义。

共线定理是指如果两个非零向量的起点相同或终点相同，且它们的方向相同或相反，则这两个向量共线。

换句话说，如果两个非零向量可以通过缩放或反向缩放得到，那么它们是共线的。

举个例子来说，假设有两个非零向量A和B，它们的起点都为点P，且它们的方向相同或相反，那么根据共线定理，可以得出结论：向量A和向量B是共线的。

共线定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共线的，则有 A = k * B 或 A = -k * B，其中k 为非零实数。

共点定理是指如果两个非零向量的起点和终点相同，则这两个向量共点。

具体而言，如果两个非零向量的起点都是点P，终点都是点Q，那么根据共点定理，可以得出结论：向量A和向量B是共点的。

共点定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共点的，则有 A = B。

根据以上的共线定理和共点定理，我们可以进行一些相关的应用和推论。

首先，利用共线定理和共点定理，我们可以判断两个向量是否共线或共点。

只需判断它们的起点和终点是否相同，以及它们的方向是否相同或相反即可。

其次，共线定理和共点定理还可以用于求解向量的系数。

例如，已知点P、Q和R的位置关系，以及向量PA和向量QA共线，我们可以利用共线定理求解出向量PA和向量QA之间的系数。

同样地，如果已知向量A和向量B共点于点P，并且向量A、向量B和向量C共线，我们可以利用共点定理求解出向量A和向量B之间的系数。

此外，共线定理和共点定理还可以用于证明一些几何性质。

例如，我们可以利用共线定理证明平面中两个角的余弦值相等，或者利用共点定理证明平面中的四边形为平行四边形。

总结起来，平面向量的共线定理和共点定理在求解向量的位置关系、系数和证明几何性质方面起着关键作用。

通过充分理解和应用这两个定理，我们可以更好地理解和运用平面向量的相关概念和运算。

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

向量共线定理

与��共线，并将��用��线性表示.
��
��
��
��
��
变式1：例1中，若�� = ��， �� = ��，则��与��是否共线？
那么��与��是共线向量；反之，如果��与�� ≠ �� 是共线向量，那么有且只有一个实数��，使
�� = ��. 思考：为什么要求向量�� ≠ ��，��可以为��吗？
例1 如图，若��，��分别为∆��的边��和��中点，求证：��
证：�� = ��+��.
��+��
探究：已知平面内有O，A，B，C四点，若��＝��＋��， (��，�� ∈ ��)．(1)若x＋y＝1，则A、B、C三点是否共线？ (2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
练习：如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线
分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ，若 ��＝�� ， ��

共线向量定理

12
是两个不共线的向量，
一、①λa 的定义及运算律
已二、定理的应用：
（1）（1）
A ，，B 2 ；；e 1 ke2 C Be13 e2C D 2e1e2
则MN= … = a + b 则MN= … = a + b
知，，（2），，且，
A B D k 提示：设AB = a BC = b
MC= … = a+ b
向量共线定理
复习回顾
运算律：
向量共线定理
应用1 如图，已知 AD3AB，DE3BC．
试判断A C 与 A E 是否共线．
应用2判断下列各题中的向量是否共线：
（1a） 4e1
2 5
e2
， b e1 1 e2
10
；
e e （2a）e1e2 b ，2e12e2 ，1
，
共线．
且
2
应用3 设e , e 证明两直线平行:
若，，三点共线，求的值。
（2），，且，共线．
②向量共线定理 (a≠0)
一、①λa 的定义及运算律
MC= … = a+ b
试判断与是否共线．
MC= … = a+ b
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
应用1 如图，已知，．
课堂练习
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
若，，三点共线，求二、定理的应用：
共线．
，的值
则MN= … = a + b
。二、定理的应用：
二、定理的应用：
b=λa 向量a与b共线
b=λa 向量a与b共线
AB=λCD AB∥CD

共线向量和共面向量

共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
rB br
M aA
ur p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
u u u u r u u u u r u u u u r M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O u u P u r O u u M u u r x u M u u A u r y u M u u B u r
四点E、F、G、H共面；
D A
C B
D' A'
B'
1.下列命题中正确的有：
u r r ru rrr ( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共面 ;
u rrr u r r r ( 2 )p 与 a 、 b 共面 p x a y b ；
u u u u ru u u u ru u u u r ( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共面；
，O为空间任意一点，求证：
O uuPur O uuAur O uuBur 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
rr 2.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量a , b 不共线,则向量 p与向量 a u共r, b面的充r要 r 条件是存在实数对x, y使 Pxayb