平行四边形专题

第18章平行四边形专项训练

专训1：平行四边形的性质

1、(2014宁夏)在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD 相交于点O．求证：OA＝OC．

2、(2015·南通中考)如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.(1)求证：△AED≌△CFB. (2)若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF.

专训1.判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．

1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF 与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．

2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．

3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.

求证：四边形ABCD为平行四边形．

4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH 是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

6、（2015遂宁）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．

7、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由（1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；

（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在

8、如图，在□ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足BE＝DF，CG＝AH，连接EF，GH．求证：EF与GH互相平分

专训2.构造中位线的方法

名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．

连接两点构造三角形的中位线

1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，那么四边形GEHF是平行四边形，为什么？

2、如图，四边形ABCD中，E、F、M、N分别为AB、CD、BD、AC的中点，求证：四边形EMFN 为平行四边形．

3、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论；

（2）当四边形ABCD的对角线满足______条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？______．

4、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形

BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．

5、（2015广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．

利用角平分线＋垂直构造中位线

6．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

7．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

倍长法构造三角形的中位线

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M

为AF的中点，求证：ME＝1

2 CF

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

9.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．

10．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝2MN.

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，

求证：AN＝1

3 AC.

答案

专训1

1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE綊BF.∴四边形BFDE为平行四边形．∴BE∥DF.同理，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．

2．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，

∴BA ＝BD ，BC ＝BE ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°.∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ，

∴∠ABC ＝∠DBE.∴△ABC ≌△DBE.∴AF ＝AC ＝DE.同理，可证△ABC ≌△FEC ，

∴AD ＝AB ＝EF.∴四边形ADEF 是平行四边形．

3．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.∵BE ∥DF ，∴∠BEF ＝∠DFE.

∴∠AEB ＝∠CFD.在△AEB 和△CFD 中，

⎩⎨⎧∠BAE ＝∠DCF ，

AE ＝CF ，

∠AEB ＝∠CFD ，

∴△AEB ≌△CFD ，∴AB ＝CD.又∵AB ∥CD ，∴四边ABCD 是平行四形． 4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C.

∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12

∠ADC.∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF.∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED.∴四边形BFDE 是平行四边形．

5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠EAO ＝∠FCO.

在△OAE 与△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，

OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，

∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF.同理OG ＝OH ，

∴四边形EGFH 是平行四边形．

(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH ，▱ABFE ，▱EFCD ，▱EGFH.

专训2

1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM 綊12CD ，PN 綊12

AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC.∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC.∴PM ＝PN.

(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H.由

(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°，∴∠

FHG ＝120°.易证四边形PFHG 为平行四边形，

∴∠MPN ＝120°.

2．解：如图，延长BD ，CA 交于N. 在△AND 和△ABD 中，

⎩⎨⎧∠NAD ＝∠BAD ，

AD ＝AD ，

∠ADN ＝∠ADB ＝90°，

∴△AND ≌△ABD(ASA )． ∴DN ＝DB ，AN ＝AB.∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12

(AB ＋AC)＝15. 3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，