八年级下平行四边形难题全面专题复习最全面的平行四边形

【镭霆数学】平行四边形专题复习

一、平行四边形与等腰三角形专题

例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长

线交CD的延长线于点F．

（1）求证：CD=DF；

（2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形．

训练一

1．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G 在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；

（2）求证：△AB′O≌△CDO．

3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．

求证：△ACE为等边三角形．

4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．

二、平行四边形与面积专题 例题2 已知平行四边形ABCD ，AD=a ，AB=b ，∠ABC=α．点F 为线段BC 上一点（端点B ，C 除外），连接AF ，AC ，连接DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连接CE ．

（1）当F 为BC 的中点时，求证：△EFC 与△ABF 的面积相

等；

（2）当F 为BC 上任意一点时，△EFC 与△ABF 的面积还相

等吗说明理由．

训练二

1. 如图，过?ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的?AEMG 的面积S 1与?HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）

A. S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．2S 1=S 2

2．农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m 2，10m 2，36m 2

，则第四块田的面积为

3．如图，AE ∥BD ，BE ∥DF ，AB ∥CD ，下面给出四个结论：（1）AB=CD ；（2）BE=DF ；（3）S ABDC =S BDFE ；

（4）S △ABE =S △DCF ．其中正确的有（ ）

个 个 个 个

4．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ）

A ．231111+

B ．231111-

C ．231111+或231111-

D ．231111+或2

31+ 5.平行四边形ABCD 的周长为20cm ，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，

AE=2cm ，AF=3cm ，求ABCD 的面积．

6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交

AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．

（1）求证：PA=PC．

（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

7．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC 的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）

A．3：4 B．13：5 C．13：6 D．13：5

三、平行四边形与角度专题

例题3 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD

为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长

AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．

（1）求证：△ABE≌△FDA；

（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．

训练三

1.如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，则∠AEF=

度．

2.如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

3.如图，E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．

求证：（1）△ABE≌△CDF；

（2）∠1=∠2．

四、平行四边形与线段专题

例题4 如图，ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．（1）求证：EF=DF；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．

训练四

1. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“＞”“=”“＜”），并说明理由．

2．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是

3．已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

4. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

5．如图，E、F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．

6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．

7. 如图，?ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 点，若△FDE 的周长为8 cm ，△FCB 的周长为20 cm ，则FC 的长为 cm ．

8. 如图，已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到点D ，使AD=

2

1AB ，点G 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点．求证：DF=BE ．

五、三角形中位线专题

例题5 如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，

∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直

于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）

A ．23

B ．2

5 C ．3 D ．4 训练五

1. 如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=30°，则∠PFE 的度数是（ ）

A ．15°

B ．20°

C ．25°

D ．30°

3．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）

A ．7

B ．9

C ．10

D ．11

六、平行四边形综合探究专题

例题6如图所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F 点，连接EF．

（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）

（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系为什么

（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何请画出图形并证明你的结论．

训练六

1.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD

和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列

结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF

≌△EFA．其中正确结论的序号是

2．如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，

PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=

3.如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为

4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；

（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

6. 在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①

（1）求证：AE=CF；

（2）将图①中?ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A1处，点B落在B1处，如图②设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点P、Q，求证：EQ=FG．

7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．

（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；

问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．