第二章习题参考答案1

(h)体系处于ψ1和ψ2的几率分别是|C1|2和|C2|2；
(i)态迭加指两个几率波的迭加，是由粒子——波动两重性决定的。
4.Schrödinger方程在量子力学中的地位与Newton方程在经典力 学中的地位相当，它具有下列性质：a,b,c,d (a)Schrödinger方程是量子力学中的一个基本假定，它的正确性 只能靠实践来检验； (b)态迭加原理要求Schrödinger方程必须是一个线性方程； (c)Schrödinger方程是一个偏微分方程； (d)Schrödinger方程给出了量子态随时间演化的因果关系； (e)满足Schrödinger方程的解都可以描述微观体系的状态，是物 理上可以接受的解。
1．设粒子所处的状态可以用波函数
ψ
(x,
t)
=
⎧⎪ c o s ⎨
3π x 2a
e −iEt
/=
| x |≤ a
⎪⎩
0
| x |> a 来表示，求(1)粒子的动量的平均
值 (2)动能的平均值 (3)坐标的平均值(4)粒子在a>x>0范围
内出现的几率(5)粒子在空间出现几率最大和几率最小的位置。
解：归一化波函数：
(−
rr
1 r2
− ik 1r )]Gr0
=
−
=k mr 2
G r0
=
−
=k mr3
G r
可见， JG2与rG 球面波。
反向。表示向内(即向原点) 传播的
2.4
2.设 与 是薛定谔方程式两个解，证明 （1） （2）
∫d
dt
Ψ
* 1
G (r , t)Ψ2
GG (r ,t)dr
=
0
（3）
3.曾谨言 《量子力学导论》2.2
二、填空题
1.设粒子波函数为ψ(x,y,z,t)，则在(x,x+dx)范围内找到粒子的
几率是（ dx∫ ψ (x, y, z) 2 dydz ）；
∫ ∫ 在(x~x+dx,y~y∫+ψdy(x),范y, z围) 2内dxd找yd到z 粒子的几率是
dxdy ψ (x, y, z) 2 dz ψ (x, y, z) 2 dxdydz
5.波函数的自然条件是（ 单值性、连续性、有限性 ）
G
∫ 6.设（波 密质质函 度量量数 是密为是 （m度JmG（∞∫的的=|ψ|ψψpG分自((rGr(G,t,r布由G)t),|2t|是电2)dτ）=（子），A,e速，电=im(度几p荷G∞∫⋅rG|−远ψ|率密ψ2pGm(2小(rG流度trG),t,于)t密）的)|2|2光度，分dτ速是则布），电是JG动质子（≡量量在2i=µe为流空(Ψ|密ψ∇间|ψpΨ(度出(rG*rG,−t,的,现Ψ)t则)|*2分|∇的2d其Ψτ布几)状=是率m态pG ）
定是个实函数。
(c)在一维的规则势场中运动的单个粒子，如果存在束缚定态，则必定是非简
并的。
(d)如果体系的哈密顿量在空间反射变换下保持不变，则定态Schrödinger方
程的解必定具有确切的宇称。 (e)处于定态的粒子在空间的几率密度和几率流密度不随时间而改变。 (f)不显含时间的力学量在定态中的可能测量值出现的几率分布不随时间而 改变 (g)不显含时间的力学量在定态中平均值不随时间而改变 (h)定态波函数的线性叠加还是定态。
2012-11-5
第二章 习题(1)
1.关于微观粒子具有波粒二象性说法正确的有（acg） (a)粒子性指的是微观粒子具有一定的能量、动量、质量、电 荷等属性；
(b)粒子性指的是粒子在空间运动时具有确切的轨道； (c)波动性指的是物质波的相干叠加性； (d)波动性指的是能量等物理量随振动在空间传播； (e)粒子对应的是物质波包，波包的中心位置对应的是粒子 的位置，波包的大小就是粒子的大小，波包的群速度就是粒子 运动的速度； (f)波是由它所描写的大量粒子组成的，波的干涉、衍射等现 象是由粒子之间的相互作用形成的。 （g）描写粒子状态的波函数是概率波，波函数在空间某点的 强度和在该点找到粒子的几率成比例。
⇒ ∫ uv 'dx =uv − ∫ u 'vdx ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu
∫ p = +∞ Ψ*(x, t)(−i= d )Ψ(x, t)dx
−∞
dx
∫ = 1
+a
cos
3π
x
e−iEt /=
⋅ (−i=)(−
3π
sin
3π
x )eiEt/=dx
a −a
2a
2a 2a
∫ = i= ⋅ 3π +a cos 3π x s in 3π x dx
1
2012-11-5
5.关于定态叙述正确的有（c,e,f,g） (a)定态波函数是不含时间的Schrödinger方程的能量本征态，和时间没有
关系。 (b)如果ψ是定态Schrödinger方程的一个解，对应的能量本征值为E，那么
ψ*也是定态。Schrödinger方程的解，对应的能量本征值也为E，因此ψ必
G (r
)]
2m
G 可见 J与t
无关。
2.2.由下列波函数计算几率流密度，并从所得结果说明ψ1是
向外传播的球面波，ψ2是向内(向原点)传播的球面波。其
中ψ1=e+ikr/r和ψ2=e−ikr/r
解：JG1和JG2只有r分量
在球坐标中 (1)
∇
G J1
= =
G r0
∂ ∂r
+
G eθ
1 r
∂ ∂θ
i= 2m
(ψ
1∇ψ
* 1
+
G eϕ
1 r sinθ
∂ ∂ϕ
−ψ 1*∇ψ 1 )
=
i= 1 [
2m r
eikr
∂ ∂r
1 ( r
e −ikr
)
−
1 r
e −ikr
∂ ∂r
1 ( r
e ikr
G )]r0
=
i= [1 (− 2m r
1 r2
− ik
1) − r
1 (− r
1 r2
+ ik
1 r
G )]r0
GJ1与Gr
个量子态。
(e) C1ψ1(x,t)+C2ψ2(x,t) 和C1ψ1(x,t)+2C2ψ2(x,t)都是体系的可能的状态，
并且它们表示同一个量子态，其中C1和C2是任意复数。 （f）Φ(x,t)=C1ψ1(x,t)+C2ψ22(x,t)也是体系的可能的状态； (g)Φ(x,t)=C1ψ1(x,t)+C2ψ2*(x,t)也是体系的可能的状态；
中a是x的函数) ； d) 波函数ψ(x,y,z,t) 中，(x,y,z)表示粒子在空间的位置，由
波函数可以知道t时刻粒子的位置； e) 波函数ψ(x,y,z,t) 中, (x,y,z)表示粒子所在空间中点的分
布，由波函数可以知道t时刻粒子在空间中(x,y,z)位置时的可 能性。
3.根据态迭加原理可知：如果ψ1和ψ2是微观体系的两个可能的状态，那么它 们的线性叠加Φ＝C1ψ1＋C1ψ2也是体系的可能的状态，下列理解正确的是 （a,i）
(a)Φ(x,t)=C1ψ1(x,t)+C2ψ2(x,t)，其中C1和C2是任意复数；
(b)Φ(x,t)=C1(t)ψ1(x,t)+C2(t)ψ2(x,t)，其中C1(t)和C2(t)是时间的函数； (c)Φ(x,t)=C1(x,t)ψ1(x,t)+C2(x,t)ψ2(x,t)；
(d)Φ(x,t)=C1ψ1(x,t)+C2ψ2(x,t)和Φ(x,t)=C1℮iαψ1(x,t)+C2℮iβψ2(x,t)表示同一
Ψ *V2Ψd 3 x
x
（3）
如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远
处 ，Ψ→0, ∇Ψ ⋅Ψ * → 0 ，因而（3）式的面积分等于0。
∫∫∫ ∫∫∫ 这 有证 限明 体总 积几 Ω率 之内总P几=率Ω的∴Ψ变∂∂*化ΨPt d率=3，x=2令不Ω：守Ψ恒JK*≡V，2因(=x为)Ψ(ψ∂∂dP*t∇3≠xψ
Ψ
(rG，t
)
=
ψ
G (r
)
f
(t
)
=
ψ
G− (r )e
i =
Et
G J=
i=
(Ψ∇Ψ* − Ψ*∇Ψ)
2m
=
i=
[ψ
G (r
)e
−
i =
Et
∇（ψ
G (r
)e
−
i =
Et）* −ψ
*
G (r
−
)e
i =
Et
∇（ψ
G (r
−
)e
i =
Et）]
2m
=
i=
[ψ
(rG)∇ψ
*
G (r
)
−ψ
*
(
G r
)∇ψ
总总几几率率的，时按间B变∂∂oPtr化=n∂∂假t率∫Ω∫∫设Ψ *Ψ，d 3x总= ∫几Ω∫∫(Ψ率* ∂是∂Ψt +
∂Ψ ∂t
*
Ψ
)d
3
x
（1） ∂Ψ
∂t
=
−
= 2mi
∇2Ψ
+
1 =i
[V1
+
iV2
]Ψ;
∂Ψ* ∂t
=
= 2mi
∇2Ψ*
−
1 =i
[V1
− iV2 ]Ψ*
再根据薛定谔方程式和其共轭方程式，有
∫∫∫ ∂P =
∂t
Ω
{− = (Ψ *∇2Ψ 2mi