信号与系统作业作业1(第二章)答案

第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。

（1）)()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
2)0(=-y ，1)0(-='-y
解：
根据微分方程，可知特征方程为：
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ
所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e
C e C t y t
t
zi 又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--='=+=--3
1
12)0(2
)0(212121C C C C y C C y
所以，03)(2≥-=--t e e t y t
t zi
（2）)(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+''
1)0()0(=='--y y 。

解：
根据微分方程，可知特征方程为：
0)3)(2(0652=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为： 3,221-=-=λλ
所以，零输入响应可设为：0)(3221≥+=--t e C e C t y t
t zi
又因为 ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=--='=+=--3
4132)0(1)0(21
2121C C C C y C C y 所以，034)(32≥-=--t e
e t y t t zi
2–2 某LTI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ，2)0(='-y ，试求：
（1） 系统的零输入响应)(t y zi ；
（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。

解：
（1）根据微分方程，可知特征方程为：
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ
所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧
=-=⇒⎩⎨⎧=--='=+=--4
322)0(1)0(212121C C C C y C C y
所以，034)(2≥-=--t e e t y t t
zi
（2） 可设零状态响应为：0)(221>++=--t p e C e C t y t x t
x zs
其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。

因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数，根据系统方程可知，23=p 。

于是，零状态响应可设为为：023)(221>++=--t e C e C t y t x t
x zs
将上式代入原方程中，比较方程两边的系数，可得到
⎪⎩⎪⎨⎧-==2
2121C C 所以，023221)(2>+-=--t e e t y t t zs
全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=
0)2322
1()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs
0)23252()(2>+-=--t e e t y t t zs
2–3 试求下列各LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。

（1）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
解：
根据 在激励信号为)(t δ的条件下，求解系统的零状态响应可得
()
)(21)(3t e e t h t t ε⋅+=-- 因为，单位阶跃响应⎰-⋅=t
d h t g 0)()(ττ 所以，()
⎰-⋅+=--t d e e t g 0321)(τττ 0),1(61)1(21612
16030>-+-=--=------t e e e e t t t t ττ 0,6
121326>--=--t e e t t
（2）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+
解：
可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，
则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0
t h t h t h t h ++=。

因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为：1,221-=-=λλ 所以，可设冲激响应为：)()()(2210t e C e C t h t t ε⋅+=--
将)(0t h 代入系统方程，并确定待定系数后，可得：
)()()(20t e e t h t t ε⋅-=--
因为，)(2)(2)()(0'0"0
t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0t e e t h t t ε⋅-=--，)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ⋅--=-- 所以，
[]
)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ⋅-⋅+⋅-⋅+⋅--=------ )()2()(2t e e t t t εδ⋅--=-- 因为，单位阶跃响应⎰-⋅=t
d h t g 0)()(ττ 所以，[]
⎰-⋅--=--t t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ ()
)(212t e e t t ε⋅-+=--
2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积，并画出其波形。

（1）)()(21t f t f *
（2）)()(31t f t f * （3）)()(24t f t f * （4）)()(34t f t f *
题2–4 图
解：
根据 )()()(00t t f t t t f -=-*δ，可方便地得到此题的卷积结果。

（1）
（2）
（3）
（4）
2–5 已知某LTI 连续系统的冲激响应)(t h 和各激励信号)(t e 的波形如题2–5图所示，试求此系统对激励信号的零状态响应。

题2–5图
解：
因为，)()()(t h t e t y zs *=
所以，[][])2()()2()()(--*--=t t t t t y zs εεεε
)2()2()2()()()2()()(-*-+-*-*--*=t t t t t t t t εεεεεεεε
)4()4()2()2(2)(--+---=t t t t t t εεε
2–6 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的，各子系统的冲激响应分别为
)()(1t t h ε=，)1()(2-=t t h δ，)1()(3-=t t h ε
试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–6图
解： 根据系统框图，可得：
[])()()()()(1321t h t h t h t h t h **+=
[])()1()1()(t t t t εεδε*-*--=
[])()2()(t t t εεε*--=
)2()2()(-⋅--=t t t t εε
此系统的单位冲激响应的波形为：
2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为
)1()(1-=t t h δ，)3()1()(2---=t t t h εε
试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–7图
解：根据系统框图，可得：
[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ
[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ
[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε )5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε
此系统的单位冲激响应的波形为：。