组合课件(第一课时)
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《1.2.2 组合》PPT课件(山东省省级优课)
问题二：组合与排列定义有什么共同之处？ 有什么不同之处？
概念加深
[点睛] 排列与组合的联系与区别
共同之处： n个不同元素取出m个元素
不同之处：排列：“既取又排”——有序性
问题3：
组合：“只取不排”—无序性
类比两个排列完全相同的条件，你认为两个组合完全
相同的条件是什么？
相同排列：元素相同，顺序相同。 相同组合：元素相同，不管顺序。
1.C42 6 2.C120 3.C43
4.C130
公式推导
方案一 方案二
a,b b,a
a,b
a,c c,a
a,c
a,d d,a
a,d
b,c c,d
b,c
b,d d,b
b,d
c,d d,c
c,d
A42 C42
观察，组合数与排列数之间的关系。 4个不同元素中，任取2个元素的排列 分两步走，
第一步，选取元素，从4个不同的元素中任取2个元素
目标检测一
辨析：请判断下列哪些是组合问题？
1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选 法？ 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动，有多少种 不同的选法？ 3：高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？
4、 m、n N, m n.
问题探究1
小组讨论： 1、引例中的组合数如何表示？值是多少？ 2、如果将引例中的4类商品改成10类商品，那么组合数如何 表示？ 3、如果将加征关税的商品改为3种，那么组合数如何表示？ 值是多少？ 4、如果将引例变为，从10类商品，抽出3种都加征25%的关 税，组合数如何表示？
概念加深
[点睛] 排列与组合的联系与区别
共同之处： n个不同元素取出m个元素
不同之处：排列：“既取又排”——有序性
问题3：
组合：“只取不排”—无序性
类比两个排列完全相同的条件，你认为两个组合完全
相同的条件是什么？
相同排列：元素相同，顺序相同。 相同组合：元素相同，不管顺序。
1.C42 6 2.C120 3.C43
4.C130
公式推导
方案一 方案二
a,b b,a
a,b
a,c c,a
a,c
a,d d,a
a,d
b,c c,d
b,c
b,d d,b
b,d
c,d d,c
c,d
A42 C42
观察，组合数与排列数之间的关系。 4个不同元素中，任取2个元素的排列 分两步走，
第一步，选取元素，从4个不同的元素中任取2个元素
目标检测一
辨析：请判断下列哪些是组合问题？
1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选 法？ 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动，有多少种 不同的选法？ 3：高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？
4、 m、n N, m n.
问题探究1
小组讨论： 1、引例中的组合数如何表示？值是多少？ 2、如果将引例中的4类商品改成10类商品，那么组合数如何 表示？ 3、如果将加征关税的商品改为3种，那么组合数如何表示？ 值是多少？ 4、如果将引例变为，从10类商品，抽出3种都加征25%的关 税，组合数如何表示？
组合课件(第一课时)
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成,先取后排;而 构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子
集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多
C84C85C96
(C84C85)C96
C95 C96
C
6 10
C
4 10
10987210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
C
m n
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的,但它们又有联系．
一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
组合 (1)
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活
动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同
的选法？
1.2.2组合(优质课)ppt课件
猜想 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
10
组合数的两个性质
性质1 Cmn ＝Cnn－m
规定： C0n ＝1
性质2 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
注: 1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之 和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．
11
性质应用
1、计算
C
＋C 98
97
100
100
2、解方程
C
22x5＝C
x＋4 25
3、计算 C04＋C15＋C62＋ ＋C193
12
1．方程
C
x 28
C 3x8 28
的解集为（ ）
A、４ B、9 C、 D、4，9
2．式子
C m2 10
C 17m 10
A ．1
B ．2
(m N * )的值的个数为 （ ）
bcd
什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
7
组合数Cnm和排列数 Anm的区别和联系。
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素 的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Anm ．
根据分步计数原理，得到： Anm Cnm Amm
求C C 3：已知C
x x
2
C
5 x1
C
6 x1
,
x5
x4
2x
2 x 16
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中 以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛 时一个足球队的上场队员是11人.问:
高中数学 1.2.2第1课时 组合(一)课件 新人教A版选修2-3
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
计数原理 第一章
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第1课时 组 合案 3 课时作业
自主预习学案
1．正确理解组合的意义，掌握写出所有组合的方法，加 深对分类讨论方法的理解，发展学生的抽象能力和逻辑思维能 力．
A．57
C．27 [答案] C
B．59 D．49
[解析] ∵5 个数的中位数是 5， ∴5 之前 4 个数中取 2 个，5 之后 4 个数中取 2 个，故所求 概率为 P＝CC24C59 24＝27.
典例探究学案
组合的概念
判断下列问题是组合问题还是 排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个 元素的有多少个？
6．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数 Cnm＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元 素中选 m 个的组合数为 Cmn ；另一类含有元素 a，只要从其余的 n 个元素中选 m－1 个，其组合数为 Cmn －1，由分类计数原理可 以得出 Cnm＋1与 Cmn 和 Cmn －1的关系式，此式也可以用阶乘证明， 你会吗？
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( )
A．504
B．729
C．84
D．27
[答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝ 93× ×82× ×71＝84 种选法．
3．(2015·贵州二模)从 1,2,3，…，9 这 9 个数中任取 5 个不 同的数，则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于( )
2．能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式，并熟 练掌握．
人教A版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
计数原理 第一章
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第1课时 组 合案 3 课时作业
自主预习学案
1．正确理解组合的意义，掌握写出所有组合的方法，加 深对分类讨论方法的理解，发展学生的抽象能力和逻辑思维能 力．
A．57
C．27 [答案] C
B．59 D．49
[解析] ∵5 个数的中位数是 5， ∴5 之前 4 个数中取 2 个，5 之后 4 个数中取 2 个，故所求 概率为 P＝CC24C59 24＝27.
典例探究学案
组合的概念
判断下列问题是组合问题还是 排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个 元素的有多少个？
6．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数 Cnm＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元 素中选 m 个的组合数为 Cmn ；另一类含有元素 a，只要从其余的 n 个元素中选 m－1 个，其组合数为 Cmn －1，由分类计数原理可 以得出 Cnm＋1与 Cmn 和 Cmn －1的关系式，此式也可以用阶乘证明， 你会吗？
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( )
A．504
B．729
C．84
D．27
[答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝ 93× ×82× ×71＝84 种选法．
3．(2015·贵州二模)从 1,2,3，…，9 这 9 个数中任取 5 个不 同的数，则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于( )
2．能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式，并熟 练掌握．
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
组合(第1课时)
三、知识新授：
1．组合定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合．
排列与元素的顺序有关，而组合与元 素的顺序无关，这是它的根本区别．
思考:排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
3 7
4
解：
7 69 8 5 10 87 7 6 2 5 4 3 35 . 1C ) C2 210 ； ( 2) ( 3 7 0C 1 34 23 12 3 2 1 1 2 1 148 .
想一想
什么是两个相同的排列？
什么是两个相同的组合？
如果两个组合中的元素完全相同，那么不管 它们顺序如何，都是相同的组合． 当两个组合中的元素不完全相同时（即使 只有一个元素不同），就是不同的组合．
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 组合问题 3个元素的子集有多少个?
2．组合数
从 n 个不同元素中取出m（m n ） 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的组合数．
C 记作：
m n．
注意：
C
m 是一个数，应该把它与“组合”区别开 n
来．
问题1：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名 去参加某天的上、下午活动，有多少种不 2 2 同的选法？ A3 6 C3 ② 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去 参加一项活动，有多少种不同的选法？
组 合
甲、乙 甲、丙
排 列
课件6：1.2.2 第1课时 组合及组合数公式
剩下的n－m个元素的组合相对应 ↓ 作用 —→ 当m>n2时，计算Cmn 通常转化为计
算Cnn －m
2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组 合数的性质，求解时，要注意由 Cmn 中的 m∈N＋，n∈N＋，且 n≥m 确定 m，n 的 范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
（1）【解析】 (1)C43＋C53＋C63＋…＋C23 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1. 【答案】 C
(2)解：由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x(－x－7)3！)！4！＝5·((xx－ －46))！ ！， 则3(4x－！3)＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得 x＝11 或 x＝－2. 经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根. ∴方程的根为 x＝11.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
教材整理 2 组合数公式及性质
阅读教材，完成下列问题.
组合数公式及其性质
Amn
n！
(1)公式：Cmn ＝_A__mm__＝_m__！___n_－__m_.！
(2)性质：Cmn ＝_C__nn－_m_，Cmn ＋Cmn －1＝_C_mn_＋_1_.
(3)解：由 Cn4＞Cn6，得
4！（nn！ －4）！＞6！（nn！ －6）！， n≥6
⇒nn2≥－6，9n－10＜0，
⇒－1＜n＜10， n≥6.
又 n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
1.性质“Cmn ＝Cnn－m”的意义及作用
算Cnn －m
2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组 合数的性质，求解时，要注意由 Cmn 中的 m∈N＋，n∈N＋，且 n≥m 确定 m，n 的 范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
（1）【解析】 (1)C43＋C53＋C63＋…＋C23 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1. 【答案】 C
(2)解：由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x(－x－7)3！)！4！＝5·((xx－ －46))！ ！， 则3(4x－！3)＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得 x＝11 或 x＝－2. 经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根. ∴方程的根为 x＝11.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
教材整理 2 组合数公式及性质
阅读教材，完成下列问题.
组合数公式及其性质
Amn
n！
(1)公式：Cmn ＝_A__mm__＝_m__！___n_－__m_.！
(2)性质：Cmn ＝_C__nn－_m_，Cmn ＋Cmn －1＝_C_mn_＋_1_.
(3)解：由 Cn4＞Cn6，得
4！（nn！ －4）！＞6！（nn！ －6）！， n≥6
⇒nn2≥－6，9n－10＜0，
⇒－1＜n＜10， n≥6.
又 n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
1.性质“Cmn ＝Cnn－m”的意义及作用
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
n－m 用C m 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、 n ＝C n m m－1 下标的特征，灵活运用Cm . n＋1＝Cn ＋Cn
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(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有 多少种不同的选法？ 问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？ 提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题； 返回
(2)中选法没有顺序，不是排列问题． 问题2：请写出(2)中所有可能的结果． 提示：甲乙，甲丙，乙丙． 问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序
2 2 提示：C6 ＝C1 ＋ C 5 5.
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组合数的性质
m 1．Cn ＝
n－m Cn ；
m 2．Cn ＋1＝
m 1 C Cm n ＋ n .
－
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1．组合的特点： 只取不排． 组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是 不相同的，且m≤n. 2．组合的特性： 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素 没有位置的要求． 3．相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管 顺序如何，就是相同的组合．
返回
[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是
不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成 一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
返回
5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2
名男工去支援另一施工队，不同的选法有
A．C3 10种
1 C．A2 7A3种 3 B．A10 种 1 D．C2 7C3种
理解教材 新知 第 1 部 分 第 一 章
知识点一 知识点二
知识点三
§3 把握热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
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(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有 多少种不同的选法？ 问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？ 提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题； 返回
(2)中选法没有顺序，不是排列问题． 问题2：请写出(2)中所有可能的结果． 提示：甲乙，甲丙，乙丙． 问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序
2 2 提示：C6 ＝C1 ＋ C 5 5.
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组合数的性质
m 1．Cn ＝
n－m Cn ；
m 2．Cn ＋1＝
m 1 C Cm n ＋ n .
－
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1．组合的特点： 只取不排． 组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是 不相同的，且m≤n. 2．组合的特性： 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素 没有位置的要求． 3．相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管 顺序如何，就是相同的组合．
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[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是
不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成 一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
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5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2
名男工去支援另一施工队，不同的选法有
A．C3 10种
1 C．A2 7A3种 3 B．A10 种 1 D．C2 7C3种
理解教材 新知 第 1 部 分 第 一 章
知识点一 知识点二
知识点三
§3 把握热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
1.3.1组合与组合数公式课件
法？
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2.2组合第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
若 C2n＝10，则 n 的值为( 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选法
有( )
A．504 种
B．729 种
C．84 种
D．27 种
答案：C
计算 C37＋C47＋C58＋C69＝________. 答案：210
甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等， 则车票票价有________种. 解析：车票的票价有 C23＝3(种). 答案：3
合应用题
核心素养 数学抽象
数学运算
逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P21～P24 的内容，并思考下列问题： 1.组合的概念是什么？ 2.什么是组合数？组合数公式是什么？ 3.组合数有哪些性质？
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
第五类：若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌， 共有 2C23C11C25C35＝600(种). 第六类：若 3 人中只有一人唱歌，又有一人跳舞有 C13C12C35C35＝ 600(种). 由分类加法计数原理得不同选法共有 25＋50＋300＋300＋600＋ 600＝1 875(种).
阶乘式
n！ Cnm＝_m_！__（__n_－__m__）__！__
Cnm＝_C_nn_－_m_，Cmn＋1＝_C_mn__＋__C_nm_－_1_
①n，m∈N*且 m≤n；②规定 C0n＝1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所 有组合的个数为 C23.( √ ) (2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C24个积．( √ ) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22 001167＝C12 017＝2 017.( √ )
组合与组合数公式PPT课件
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[导入新知] 1．组合 一般地，从 n 个不同 的元素中取出 m(m≤n)个元素合成 一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素 的一个组合． 2．组合数 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同 组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用符号 Cmn 表示．
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[活学活用] 从 5 个不同的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，写出所有不 同的组合． 解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好， 然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
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与组合数有关的计算 [例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×7158＋C91800·C77； (2)求等式C5n－C1＋3n－C3 3n－3＝159中的 n 值；
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解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
1.2
1.2.2
第 第一 一 课时 章
组合 与组 合数 公式
[导入新知] 1．组合 一般地，从 n 个不同 的元素中取出 m(m≤n)个元素合成 一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素 的一个组合． 2．组合数 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同 组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用符号 Cmn 表示．
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[活学活用] 从 5 个不同的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，写出所有不 同的组合． 解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好， 然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
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与组合数有关的计算 [例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×7158＋C91800·C77； (2)求等式C5n－C1＋3n－C3 3n－3＝159中的 n 值；
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解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
1.2
1.2.2
第 第一 一 课时 章
组合 与组 合数 公式
高中数学同步教学课件 组合及组合数的定义
当堂检测 1．已知 C2n＝10，则 n 的值为____5____． 2．如果 A3m＝6C4m，则 m＝____7____.
3．给出下列问题： ①从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查， 有多少种不同的选法？ ②有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选 法？ ③某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同 的结果有多少种？ 其中是组合问题的个数是____2____．
【变式 3】 在一次考试的选做题部分，要求在第 1 题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小题，第 3 题的 2 个小题中 选做 1 个小题，有________种不同的选法． 【解析】分三步完成这件事，即共有 C43·C32·C21＝24(种)． 【答案】24
课堂小结 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)用列举法写组合. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，如图:
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二(树形图法)： (1)画出树形图，如图所示:
由此可以写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)画出树形图，如图所示．
6.2.3 第1课时 组合及组合数的定义
【学习要求】
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
自学导引
1．组合的定义 一般地，从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组 ，叫做从 n
人教A版高中数学选择性必修第三册6.2排列与组合_教学课件
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出 来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙 两个盒子里，有多少种不同的放法？ 【思维导引】与“顺序”有关是排列问题，与“顺序”无关不是排列问题．
【解析】(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个 元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐 标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要 考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．
3．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插 法共有________种(请用数字作答). 【解析】我们可以一本一本插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空隙中 插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共有7种插入方法，插入第三本共有 8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法． 答案：336
课堂素养达标
1．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( ) A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 【解析】选C.从2，3，5，7四个数中任选两个数分别相除，被除数有4种不同选 法，除数有3种不同选法，所以共有4×3＝12个．
2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是 ________． 【解析】先排3，4有2种排法，再插空排5有3种排法，再插空排1有2种排法，插 空排2有3种排法，所以共有2×3×2×3＝36个． 答案：36
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无 关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关．
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b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
（二）、组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
7 6 21 2!
Cm n1
Cnm (不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
例1 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
例2．计算：
C73
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
m
1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m )(n m 1)!
n! m !(n
m)!
C
m n
.
例题讲解
例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1） 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种 取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有多少 种取法？
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
Cm n 1
Cm n1
Cnm
Cnm1
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同 的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算；
③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
有
顺
Hale Waihona Puke 序排列问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
（一）、组合的定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
我
们
规
定
：
C n0
1.
组合数的两个性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Q
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
1098 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
Cm n
m
（!
n！ nm
）!
,
m 1 nm
C
m n
1
m 1 nm
(m
n! 1)!(n