B样条总结

1.利用算法DecomposeCurve中的方法提取曲线的
第i个Bezier段 2.升阶第i个曲线段；


3.消去可以消去的连接第i-1段和第i段的节点
降价

DegreeElevateCurve
从B样条曲线提取出第i个Bezier段；

对第i个Bezier段降价；

消去连接第i-1段和第i段不必要的节点。
B样条曲线的导矢

公式
两个算法 CurveDerivsAlg1和 CurveDerivsAlg2
CurveDerivsAlg1：类似计算B样条一点的算法 用到算法DersBasisFuns2 CurveDerivsAlg2：先通过算法CurveDerivCpts计 算导曲线的控制点，再和AllBasisFun结合计算

、 、
计算所有p次基函数的值及它们各阶 导数的算法DersBasisFuns2

计算并存储k=0的如下矩阵

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算基函数Ni,p的各阶导数时，加载 对应 的直角三角形边上和内部对应的p-k次那一列，然 后按照前述过程计算
B样条曲线

定义
上的B样条基函数

计算B样条曲线上的对应点（算法CurvePoint） 1.找到u所在的节点区间（算法FindSpan） 2.计算此区间上所有非零基函数的值（算法 BasisFuns） 3.将非零基函数的值与相应的控制点相乘再求和。


局部修改性强
曲线的阶次由控制参量p 决定

特征多边形顶点个数决定 曲线的阶次

基本几何算法


插入
将 插入U，则形成新的节点矢量 节点插入实质上只是向量空间基底的改变，而曲 线在几何和参数化方面均不改变。通过节点插入，能 够计算曲线上的点及导矢，进行曲线细分，增加控制 点数使形状控制更灵活。

NURBS曲线
——描述高次曲线的一种参数数学方法 姓名：*** 研究方向：工业机器人 导师：***教授
描述曲线的各种方法



一、幂基曲线 二、Bezier曲线 三、B样条曲线 四、非均匀有理B样条曲线（NURBS曲线） NURBS曲线的基本几何算法（插入、 细化、去除、升阶、降阶）
幂基曲线
总结


Bezier曲线不具有局部控制性 插入、细化、升阶算法都是在NURBS曲线 不变的前提下，通过改变控制点，使得形 状控制更加灵活；去除和降价算法有误差， 曲线有偏差。 不足：不知如何应用B样条曲线。
谢谢
计算B样条基函数

计算p次所有非零基函 数的算法 BasisFuns

计算单个基函数的算 法OneBasisFun
B样条基函数导数

B样条的基函数的求导公式

反复对上式两端求导，得到一般的求导公式
计算单个基函数k阶导数的过程
DersOneBasisFun

计算并存储对应于k=0的三角形表 加载三角形表中包含p-k次基函数那一列，然后按 照上述过程递推计算
法二：deCasteljau(德· 卡斯戴尧)算法，即线 性插值的方法

三次Bezier曲线线性插值

为了描述或拟合一些复杂的形状，需要采 用高次曲线；Bezier曲线不具有局部性，所 以我们需要采用分段多项式表示的曲线来 解决
fi(u)为基函数

B样条曲线

B样条基函数：（递推定义） U = [u0,u1,u2,……um]是一个单调不减的实数 序列，ui为节点，U称为节点矢量，Ni,p(u) 表示第i个p次（p+1）阶B样条基函数


计算导曲线控制点

由 到 递推
和 其中
得


过程：
NURBS曲线

定义
给定一组控制点Pi和权因子Wi，构造带权控制点 ，四维空间定义的B样条曲线用透 视变换可得三维空间的NURBS曲线 算法CurvePointPw 算法RatCurveDerivs
比较
Bezier曲线 局部修改性差 NURBS曲线
n次曲线的幂基表示形式是： C(u)= 系数ai传递很少的关于曲线形状的直观几 何印象 Horner（霍纳）算法：递推，多项式求 和的算法，计算幂基曲线上的点(0<=u<=1)
Bezier曲线

求Bezier曲线上的点：


法一：所有基函数(AllBernstein)和对应点相乘并求和，算 法PointOnBezierCurve 。 Bernstein的递推定义：


算法CurveKnotIns 通过节点插入计算NURBS上一个点：
矢的算法：deBoorBspline
CurvePntByCornerCut，计算导曲线某一点及其各阶导
节点细化
将NURBS曲线分解为Bezier曲线段
节点去除（节点消去，knot removal）
对三重曲线的节点消去三次
升阶