(学案)二次函数与一元二次方程、不等式

二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．（2）从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。

【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ<0状元随笔一元二次不等式的解法：（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若（x－p）（x－q）>0，则x>q或x<p；若（x－p）（x－q）<0，则p<x<q．有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．教材解难：教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．基础自测：1．下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．1x2<3C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（）A．[－1，＋∞）B．[－1，0）C．（－∞，－1]D．[－1，0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．答案：D3．函数y ＝17－6x －x2的定义域为（ ） A ．[－7，1]B ．（－7，1）C ．（－∞，－7]∪[1，＋∞）D ．（－∞，－7）∪（1，＋∞）解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即（x ＋7）（x －1）<0，所以－7<x <1，故选B ． 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为（x ＋1）2≤0，解得x ＝－1． 答案：{－1} 二、素养提升题型一：解不含参数的一元二次不等式（教材P 52例1、2、3） 例1：（1）求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． （2）求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． （3）求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．解析：（1）对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3． 画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象（图1），结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．（2）对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13． 画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象（图2），结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13（3）不等式可化为x2－2x＋3<0．因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3）．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅．因此，原不等式的解集为∅．因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1：解下列不等式：（1）x2－7x＋12>0；（2）－x2－2x＋3≥0；（3）x2－2x＋1<0；（4）－2x2＋3x－2<0．解析：（1）因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4．再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．（2）不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1．再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．（3）因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1．再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅．（4）原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R ．状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二：三个“二次”之间的关系例2：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解析：方法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6．由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．方法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a （x －2）（x －3）＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞． 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集 方法归纳：一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2：已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3．即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三：含参数的一元二次不等式的解法 例3：解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0．解析：对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝（a ＋4）（a －4）．①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14（－a －a 2－16），x 2＝14（－a ＋a 2－16）． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14－a －a 2－16或x >14－a ＋a 2－16． ②当a ＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当a ＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠1}．④当－4<a <4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R ．状元随笔二次项系数为2，Δ＝a 2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳：含参数一元二次不等式求解步骤（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； （2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数； （3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 解关于x 的不等式x 2－（a ＋a 2）x ＋a 3>0．解析：原不等式可变形为（x －a ）·（x －a 2）>0，则方程（x －a ）（x －a 2）＝0的两个根为x 1＝a ，x 2＝a 2，（1）当a <0时，有a <a 2，∴x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； （2）当0<a <1时，有a >a 2，即x <a 2或x >a ，此时原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； （3）当a >1时，有a 2>a ，即x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； （4）当a ＝0时，有x ≠0；∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； （5）当a ＝1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}．不等式左边分解因式→讨论a 的范围→比较a 与a 2的大小→写出不等式的解集 题型四：一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x （百台），其总成本为g （x ）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r （x ）满足r （x ）＝⎩⎨⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（1）要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时盈利最大？解析：（1）依题意得g （x ）＝x ＋3，设利润函数为f （x ），则 f （x ）＝r （x ）－g （x ），所以f （x ）＝⎩⎨⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f （x ）>0，因为f （x ）>0⇒⎩⎨⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎨⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎨⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎨⎧ x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎨⎧ 0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎨⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．（2）当3＜x ≤7时，f （x ）＝－0.5（x －6）2＋4.5，故当x ＝6时，f （x ）有最大值4.5，而当x ＞7时，f （x ）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．（1）求利润函数f （x ）⇒解不等式f （x ）>0⇒回答实际问题． （2）根据第（1）题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳：解不等式应用题的四步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． （3）求：解不等式． （4）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x （x ≠0）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．（1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析：（1）降低税率后的税率为（10－x ）%，农产品的收购量为a （1＋2x %）万担，收购总金额为200a （1＋2x %）依题意得，y ＝200a （1＋2x %）（10－x ）%＝150a （100＋2x ）（10－x ）（0<x <10）．（2）原计划税收为200a ·10%＝20a （万元）．依题意得，150a （100＋2x ）（10－x ）≥20a ×83．2%， 化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2．又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2． ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：三、学业达标（一）选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为（ ）A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1C ．∅D ．R解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R ．答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式（m －x ）（n ＋x ）>0的解集是（ ） A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式（m －x ）（n ＋x ）>0可化为（x －m ）（x ＋n ）<0，方程（x －m ）（x ＋n ）＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n ．由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式（x －m ）（x ＋n ）<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B ．答案：B3．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为（ ）A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca ．解得a ＝－6，c ＝－1．答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（2，＋∞） B ．（－∞，2）C ．（－∞，0）∪（2，＋∞）D ．（0，2）解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m 2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D ．答案：D （二）填空题5．不等式（2x －5）（x ＋3）<0的解集为________．解析：方程（2x －5）（x ＋3）＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝（2x －5）（x ＋3）的图象与x 轴的交点坐标为（－3，0）和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式（2x －5）（x ＋3）<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <526．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为（2x －1）（2x ＋1）<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于600m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________m ，宽＝________m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为（50－x ）m ，0<x <50．由题意，得x （50－x ）>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30．所以，当矩形一边的长在（20，30）的范围内取值时，能围成一个面积大于600m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x （50－x ）＝－（x －25）2＋625（0<x <50）．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25；25（三）解答题8．解下列不等式：（1）x 2＋2x －15>0；（2）x 2－3x ＋5>0；（3）4（2x 2－2x ＋1）>x （4－x ）．解析：（1）x 2＋2x －15>0⇔（x ＋5）（x －3）>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R ．（3）由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2．∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23．结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23． 9．若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0（a <0）．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．尖子生题库：10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0．解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a ．（1）若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；（2）若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；（3）若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅．综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅．。