集合讲解

第一章 集合第一节 集合与元素目标1）理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法；2）了解“属于”关系的意义；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3）了解有限集、无限集、空集的意义；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的3个特征。

新课 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合. （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合.记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q , Q {}=整数与分数（5）实数集：全体实数的集合.记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R 注：实数内数的框架结构（可用图示讲解）⎧⎧⎧⎧→⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数非负整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数 3、元素与集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可. （2）互异性：集合中的元素没有重复.（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、（1）集合 通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B、C 、P 、Q…元素 通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q… （2）注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 练习1、说出下面集合中的元素 （1）｛大于3小于11的偶数｝（2）｛平方等于1的数｝（3）｛15的约数｝2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数.（2）好心的人. （3）1，2，2，3，4，5． 3、用“∈”与“∉”填空： 1 N 0 N －3 N 0.5 N 2 N 1 Z 0 Z －3 Z 0.5 Z 2 Z 1 Q 0 Q －3 Q 0.5 Q 2 Q 1 R 0 R －3 R 0.5 R 2 R4、设a ,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合的元素是___5、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素6、已知集合P 的元素为21,,33m m m --, 若3∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法； 2）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 3）会运用集合的两种常用表示方法.新课1、集合的表示方法 （一）．集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；4．集合中的元素可以数，点，代数式等；5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号“{}”内。

一般格式：{}()x Ap x ∈具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x ︳直角三角形}，…； 说明：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合， 辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

3)文氏图法：（维恩图） 思考：1、每种方法的优缺点；2、数集与点集的区别.2、集合的分类：有限集 无限集 空集练习1． 用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n ∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正约数2、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13}②{－2，－4，－6，－8，－10}3、关于x 的方程a x ＋b=0，当a ,b 满足条件______________时，解集是有限集；当a ,b 满足条件_____________时，解集是无限集.4、用描述法表示下列集合：(1){1,5,25,125,625}= ; (2){0，±21，±52，±103，±174, …}= .1）了解集合的包含、相等关系的意义； 2）理解子集、真子集(,)⊂⊃≠≠的概念；3）理解补集的概念；了解全集的意义.新课问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系.（1）A ={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A =N ，B=Q （3）A ={－2，4}，}082|{2=--=x x x B 1、子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A. 记作:A B B A ⊇⊆或 ，读作：A 包含于B 或B 包含A 若任意x ∈A ⇒x ∈B,则A ⊆B当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/AB A ⊆有两种可能：A 是B 的一部分； A 与B 是同一集合.2、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任．何．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B. 3、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B ⊂≠或B A ⊃≠读作A 真包含于B 或B 真包含A.4、子集与真子集符号的方向.不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆5、空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。

说明：注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

注：空集是任何集合的子集.∅⊆A空集是任何非空集合的真子集.A ∅⊂≠， 若A≠∅，则A ∅⊂≠任何一个集合是它本身的子集.A A ⊆对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

用适当的符号填空：∅ {}0； 0 ∅； ∅ {}∅； {}0 {}∅ 6、易混符号①“∈”与“⊆”：（元素与集合之间是属于．．关系；集合与集合之间是包含．．关系.） 如,,1,1R N N N ⊆∉-∈ ∅⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与∅：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合. 如 ∅⊆{0}.不能写成∅={0}，∅∈{0}7、含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集(非空子集)的个数是n 2－1，非空真子集数为22-n. 例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示.（2） 判断下列写法是否正确①A ∅⊆ ②A ∅⊂≠ A ③A A ⊆ ④A A ⊂≠例2（1）若A={x ∈R|x 2－3x －4=0},B={x ∈Z||x|＜10},则A ⊆B 正确吗？ （2）集合{a ,b}的子集有那些？ 例4 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？（3）若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.BA目标1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；理解补集的概念；了解全集的意义 2）熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 3）掌握集合的交、并的性质；4）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合..新课观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？AB图1AB图21、交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A B （读作“A 交B”），即A B=｛x |x ∈A ，且x ∈B ｝． 交集的运算律2、并集的定义一般地，由所有属于A 或属于B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集． 记作：A B （读作“A 并B”），即A B ={x |x ∈A ，或x ∈B}．并集的运算律 3、全集的定义： 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ）,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

4、补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中的补集”，即{},U C A x x U x A =∈∉且 用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）补集的运算律：,,()U U U U A C A A C A U C C A A ⋂=∅⋃== ,U U C U C U =∅∅=练习1、若S={1，2，3，4，5，6}，A ={1，3，5}，求ðS A2、已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求ðU A3、已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与ðS B 的关系4、若全集U={x|0≤x ＜6，x ∈Z}，A ={1，3，5}，B={1，4}，那么U A =ð U B =ð5、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A≠∅，则a 的取值范围是（ ）（A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤96、已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .7、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝如果ðU A ＝｛－1｝，那么a 的值为 8、已知全集U ，A 是U 的子集，∅是空集，B ＝ðU A ，求ðU B ，ðU ∅，ðU U 9、已知U=R ，A =｛x|3x+2＜0｝， 求ðU A. 10、集合U=｛(x ，y)|x ∈{1,2},y ∈{1,2}｝,A=｛(x ，y)|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求ðU A. 11、设全集U （U ≠∅），已知集合M ，N ，P ，且M=ðU N ，N=ðU P ，则M 与P 的关系是（ ）（A ）M=ðU P （B ）M=P （C ）M ⊇P （D ）M ⊆P 12、设全集U={2,3,322-+a a },A ={b,2},U A ð={b,2},求实数a 和b 的值.13、（选讲）设集合A={－4，2m －1,m 2}，B={9，m －5，1－m}，又A B={9},求实数m 的值. 14、设A={x|x 2+ax+b =0},B={x|x 2+cx +15=0},又A B={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c 的值. 15、已知集合A={y|y=x 2－4x+5},B={x|y=x -5}求A∩B,A ∪B ． 16、已知A={x|x+2≤4},B={x|x ＞a },若A∩B=∅,求实数a 的取值范围 17、集合M=｛(x,y)||xy|=1,x ＞0｝,N=｛(x,y)|xy=－1｝,求M ∪N 18、集合P=(){},0x y x y +=，Q=(){},2x y x y -=，则P∩Q=19、已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()U A B ⋂ð{},8,1=()U A B ⋂ð{}6,2=()(){}4,7,U UA B ⋂=痧则集合A=第五节集合复习目标巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系复习1、基本概念集合的分类：有限集、无限集；2、元素与集合的关系：属于，不属于；集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图；子集、空集、真子集、相等的定义、数学符号表示以及相关性质.全集的意义及符号运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作”A交B”），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作”A并B”），即A B={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作SAð，即ðS A=},|{AxSxx∉∈且文氏图A B图1A B图2图3性质A A=AA ∅=∅A B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA ∅=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(ðu A) (ðu B)=ðu (A B)(ðu A) (ðu B)= ðu(A B)A (ðu A)=AA (ðu A)=∅容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)－card(A∩B)．C u AA。