(完整)高中数学_集合知识讲解
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高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.N N *N +Z Q R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA ⊆（或)AB ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A ⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B ≠⊂（或B A ）≠⊃，且B 中B A ⊆至少有一元素不属于A （1）（A 为非空子集）A ≠∅⊂(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A集合相等A B=A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非A (1)n n ≥2n 21n -21n -22n-空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
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高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数&指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ； ②a A ∉↔a 不属于集合A ． （3）常用的数集：N ↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集； Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >． （5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等； ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集； ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =（7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件⇒α结论β； 第二步：证明必要性：结论⇒β条件α． （4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =， 则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式2(,)x +∞)2x 2[,)x +∞],21x四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+； （2）n n a a a a a a +++≥+++ 2121． 五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ； （2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax ．（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>； （2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>． 八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)； ②+∈≥+R b a ab ba 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)； 211a b+． ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)； ⑤n a a a na a a nn n (2121≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当 n a a a === 21时取“=”号)； （2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法； ③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(； x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域． 求定义域一般需要注意： ①1()y f x =，()0f x ≠；②y ()0f x ≥； ③0(())y f x =，()0f x ≠； ④log ()a y f x =，()0f x >； ⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质：注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ． （注意：②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数， 且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =． （4 （5注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称； ()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22b c+对称； ()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数． （6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T 为这个函数的周期． 注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b =-； （阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =； ③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-； ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-； ⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-； ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=（m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=（m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．(0,)+∞[2,a +∞ 在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m =-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n =-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p =-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-，122n x x x <<<，在1[,]n n x x x +∈时取最小值； 1221n y x x x x x x +=-+-++-，1221n x x x +<<<，在n x x ∈时取最小值．思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像． （4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）：d x c=-、ay c =；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则： ①yx yxaa a +=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④()xx x a a b b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．23、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”） ①将()y f x =看作方程，解出()x f y =； ②将x 、y 互换，得到1()y f x -=； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数． 5（四）对数&对数函数12 ①01log =a ，1log =a a ，N a N a =log ；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =； ③N M MN a a a log log )(log +=，N M NMa a a log log log -=，M n M a n a log log =； ④bN N a a b log log log =，a b b a log 1log =，b n mb a m a n log log =，b b ac a c log log =，log log N N b a a b =．34、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大； 方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）． （2（3）弧度制与角度制互化： ①180rad π=︒； ②1801rad =︒； ③1rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl=α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异 于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r ，则（7（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈） ①角α和角β的终边：②α的终边与2的终边的关系． α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++． ③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）； sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{22}k k ππθππ∈++，⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系： sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩； sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：（轴对称） （互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系： 商数关系： 平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin（3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； 两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=； 降次公式： 万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=； （5）辅助角公式： ①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =； ④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长． （2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<； ②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩； ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩． 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角： 略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩； （2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数； ]．；．）1-=； 1min -=y ；解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得 222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+， 于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+． 同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-． 例2：求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增； 当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值72-；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠： （（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下： ①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位； 当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位； ②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）； 当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； ④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位； 当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位； 注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域： （1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值． （2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan baϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+． （3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解． （4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为by at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x by c x d+=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x by c x d +=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅 助角公式即可．4备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Z k ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==； ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=． （2）先三角函数后反三角函数： ①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=； ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=． （3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-； ②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-； ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-． 6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．。
第1章 高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
高一集合的概念知识点讲解
高一集合的概念知识点讲解集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定的对象组成的整体。
在高中数学中，高一阶段学生开始接触并学习集合的相关概念和性质。
本文将对高一集合的概念知识点进行讲解，包括集合的定义、表示方法、基本运算以及常见的特殊集合等内容。
一、集合的定义在数学中，集合是由一些具有确定性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、图形或者任何其他数学对象。
具体而言，集合由元素组成，写作“A={a1, a2, a3, …}”表示集合A中包含了元素a1、a2、a3等。
二、集合的表示方法在集合中，常用的表示方法有三种：列举法、描述法和集合间关系表示法。
1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A是一个包含了数字1、2、3和4的集合。
2. 描述法：通过描述元素的性质来表示集合。
例如，集合B={x | x是正整数且小于10}表示B是一个由小于10的正整数组成的集合。
3. 集合间关系表示法：利用集合间的关系来表示一个集合。
例如，若A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，则可以用运算符号表示A与B 的关系，如A∩B表示A与B的交集。
三、基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
1. 并集：记作A∪B，表示由属于集合A或集合B的所有元素组成的新集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：记作A-B，表示属于集合A但不属于集合B的元素组成的新集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：对于给定的全集U，集合A相对于U的补集表示为A'或A^c，表示A中不属于U的元素组成的新集合。
(完整版)高中数学中集合的概念与运算的解题归纳,推荐文档
§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若则），则称A a ∉B a ∈集合A 为集合B 的子集，记为A B 或B A ；如果A B ，并且A B ，这时集合A 称为集⊆⊇⊆≠合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A B 、B A ，则A=B.⊆⊇5.补集：设A S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，⊆记为 .A C s 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B.⋂8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B.⋃9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.Φ10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理*数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和⊆⊇⊆“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间⊇∈∉的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =易漏掉的情况.Φ5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1n 2n2三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组 得 或 ∴选B⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}{}{}21或[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又∈∈{}Z a a x x ∈=,2|{}Z a a x x ∈+=,12|C=，则有： （ ）{}Z a a x x ∈+=,14|A ．m +n A B. m +n B C.m +n C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个∈∈∈错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C∈Z ∈∈错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m A, ∴设m =2a 1,a 1Z , 又∵n ,∴n =2a 2+1,a 2 Z ,∈∈B ∈∈∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2 Z , ∴m +n B, 故选B.∈∈[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须 3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－．21点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则A ，且1∉A.a -11∈1≠a ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.a1⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒∈A ⇒ 2∈A 21∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即＝012+-a a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ ∈A ⇒ ∈A ⇒A ，即1－∈A a -11a --1111111---a a ∈a 1⑷由⑶知a∈A 时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.a-11a 1a 1a -11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠a -11a-11②若a=1－，即a 2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1a1 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a 1a -11a 1a -11综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={|=,∈N +}，集合B={|=,∈N +}，试证：a a 12+n n b b 542+-k k k A B ．证明：任设∈A，a 则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N +),a 12+n n n n ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1，而由{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈B={|=,∈N +}={|=，∈N +}知1∈B，于是A≠B b b 542+-k k k b b 1)2(2+-k k ②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x∈ Z}，则A∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－ }C ．{±2，± }D ．{，－}55553. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．P Q5．若集合M ＝｛｝，N ＝{|≤}，则M N ＝（ ）11|<xx x 2x x A ． B ．}11|{<<-x x }10|{<<x x C ． D ．}01|{<<-x x ∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设，函数若的解集为A ，a R ∈2()22.f x ax x a =--()0f x >，求实数的取值范围。
高中数学知识网络(集合与函数)[整理版]【完整版】
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高中数学知识网络(集合与函数)[整理版]【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）一、集合§1.1集合与元素集合与元素的关系： 和 。
集合中元素的特征： 、 、 。
集合的分类：按集合中元素的个数多少分为： 、 、 。
集合的表示方法： 、 、 。
§1.2集合与集合关系子集：假设B x A x ∈⇒∈，那么 ，即A 是B 的子集。
真子集：假设B A ⊆且B A ≠〔即至少存在B x ∈0，但 〕，那么A 是B 的真子集。
①假设集合A 中有n 个元素，那么集合A 的子集个数为 ，真子集个数为 。
②任何一个集合是它本身的子集，即 。
③对于集合A ，B ，C ，如果B A ⊆，且C B ⊆，那么 。
④空集是任何集合的 ，是任何 集合的真子集。
集合相等：B A ⊆且 B A =⇔。
运算交集：定义：A ∩B |{x = 且 }性质：A ∩A = , A ∩Φ= , A ∩B A ，A ∩B B , ⇔⊆B A A ∩B = 。
并集：定义：A ∪B |{x = 或 }性质：A ∪A = , A ∪Φ= , A ∪B A ，A ∪B B , ⇔⊆B A A ∪B = 。
()()()(Card B Card A Card B A Card -+=⋃ )。
补集：定义：|{x A C U = 且 } 性质：)(A C U ∩A = , )(A C U ∪A = , =)(A C C U U ,=⋂)(B A C U ∪ ，=⋃)(B A C U ∩ 。
二、函数§2.1函数及其表示映射：设A ，B 是两个非空的集合，按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素和它对应，那么就称B A f →：为从集合A 到集合B 的一个映射。
函数的三要素： 、 、 。
函数的主要表示方法： 、 、 。
函数的定义域：①分式的分母 。
集合的表示法-高中数学知识点讲解
集合的表示法1．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn 图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x 的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．。
集合的含义-高中数学知识点讲解
集合的含义1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于 5 的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．1/ 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D 四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N 表示数集，故不是同一集合，故A 错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N 表示直线x+y＝1 的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B 错误；C、M＝{（4，5）} 集合M 的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N 的元素是点（5，4），故C 错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N 表示同一集合，故D 正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A 为数集，B 为数集，C 为点集．解答：A 是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B 是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C 为点集，是由抛物线y＝x2+1 上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2/ 32．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8的最小值，有 2x +푥8푥≥ 2 2푥⋅8푥= 8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域解：f′（x）=1푥― 1=1―푥푥∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主3/ 3。
(完整版)高中数学概念汇总
高中数学概念汇总一．集合的概念：1.集合的表示法：（1）列举法：如 {1,2,3,4,5}; (2)描述法：如{x|x ≤2};2.集合间的关系：（1）子集：A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记为A ⊆B;任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。
（2）真子集 ：如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记为B A ≠⊂。
空集是任何一个非空集合的真子集。
（3）两个集合相等：对于两个集合A 与B,如果A ⊆B,同时A B ⊆，那么就说这两个集合相等，记作A=B. 3.集合的运算：（1）交集：=B A I {x|,A x ∈且B x ∈}； （2）并集：B A Y ={x|A x ∈或B x ∈}；（3）补集：若全集为U,则集合A 的补集为A C U ={x|U x ∈但A x ∉}。
5.集合中元素的三大属性;(1)元素的确定性；（2）元素的无序性；（3）元素的互异性。
对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足元素的互异性。
6.常用数集的记号:自然数集N;整数集Z;有理数集Q;实数集R;复数集C.空集φ。
二．命题1.四种命题形式：如果一命题条件为A ，结论为B,那么该命题的原命题形式是：若A 成立，则B 成立（即A ⇒B);它的逆命题形式是：若B 成立，则A 成立（即B ⇒A);它的否命题形式是：若A 不成立，则B 不成立（即B A ⇒）； 它的逆否命题形式是：若B 不成立，则A 不成立（即A B ⇒）。
等价命题：若甲，乙两命题满足：甲⇒乙，乙⇒甲，则称甲乙两命题是等价命题， 记为甲⇔乙；原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题。
2.充分条件与必要条件：设条件A 和结论B,如果A B ⇒,那么A 是B 的充分条件，或说B 是A 的必要条件；如果A B ⇒，那么A 是B 的必要条件，或说B 是A 的充分条件；如果B A ⇔，那么A 是B 的充分必要条件，简称充要条件。
高中数学集合知识点
一．知识归纳：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a∈A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a∈A，b∈A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。
集合数学知识点高一讲解
集合数学知识点高一讲解集合是数学中的一个基本概念，而集合论是现代数学的一个重要分支。
在高中数学的学习中，集合论也是一个重要的内容。
本文将为你带来高一阶段集合数学知识点的详细讲解，希望能够对你的学习有所帮助。
一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由具有某种特定性质的元素组成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示。
一个集合可以用大括号括起来，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3、4组成的集合A。
2. 集合的元素关系若一个元素x是集合A的一个元素，则可以表示为x∈A。
若一个元素y不是集合A的一个元素，则可以表示为y∉A。
3. 空集和全集没有任何元素的集合称为空集，记作∅。
包含所有可能元素的集合称为全集，常常用符号U表示。
二、集合的表示方法1. 列举法通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1,2,3,4}。
2. 描述法通过刻画集合中元素的特点来表示集合。
例如，集合B={x|x是奇数}表示所有奇数的集合。
三、集合的运算在集合论中，常常需要对集合进行一些运算，以求出集合之间的关系。
1. 并集集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含了所有属于A 或属于B的元素的集合。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
2. 交集集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含了既属于A又属于B的元素的集合。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∩B={3}。
3. 差集集合A和集合B的差集，表示为A-B，是包含了属于A但不属于B的元素的集合。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A-B={1,2}。
4. 互斥集互斥集是指两个集合没有相同的元素，即它们的交集为空集。
如果A∩B=∅，则集合A和集合B互斥。
四、集合的性质在集合论中，有一些重要的性质需要掌握。
1. 交换律对于任意的集合A和B，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
知识点整理-[高中数学]第一章 集合
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第一章 集合1.1 集合与集合的表示方法1.集合的概念（1）定义集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。
组成集合的对象叫元素。
集合常用大写字母A B C 、、、…来表示。
元素常用小写字母a b c 、、、…来表示。
集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成一个集合。
对于集合我们一定要从整体的角度来看待它。
例如由“我们的同学”组成的一个集合A ，则它是一个整体，也就是一个班集体，也可以用我们班的序号来替代它。
构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。
其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。
（2）元素与集合的关系元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A a A ∉∈或。
a A ∈与a A ∉取决于a 是不是集合A 中的元素。
根据集合中元素的确定性，可知对任何a 与A ，在a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立。
符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系。
（3）集合中元素的特性①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
例如A ={0，1，3，4}，可知0,6A A ∈∉。
②互异性：“集合中的元素，必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任必修一何两个元素都是不同的”。
如方程2(4)0x -=的解集记为{4}，而不能记为{4，4}。
③无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a ，b ，c}与{c ，b ，a}是同一个集合。
（4）集合的分类集合根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“方程3x+1=0的解组成的集合”，由“2，4，6，8组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
(完整版)高中数学知识点宝典汇总
①定义法 步骤： a.设 x1, x2 A且 x1 x2 ； b.作差 f (x1 ) f ( x2 ) ； c.判断正负号。
②掌握函数 y ax b a b ac(b ac 0);y x a(a 0) 的图象和性质；
xc
xc
x
函
ax b
b ac
y
a
数
xc
xc
a y x (a 0 ）
x
(b –ac≠ 0)
y
图
Y=a
X=-c
象
o X
y
o
x
当 b-ac>0 时 : 单
在 ( , a]和[ a , )
在 ( , c)和 (c, ) 上单调递减；
上单调递增；
调
当 b-ac<0 时 :
在 [ a, 0)和(0, a ] 上单
性
在 ( , c)和 (c, ) 上单调递增。
调递增。
2
③一些有用的结论： .在公共定义域内
五、求函数的值域的常用解题方法： ① 配方法。如函数 y x 4 x 2 1的值域，特点是可化为二次函数的形式；
②换元法：如 y= 1 2 x x ③单调性：如函数 y 2 x log 2 x x ∈ [1,2]
④判别式法（△法）如函数
x 2 2x 3
y=
x2 2x 3
3
⑤利用函数的图像：如函数 ⑦利用基本不等式：如函数
4.等差数列的前 n 项和： ① Sn
n(a1 a n ) 2
② Sn na1 n(n 1) d 2
对于公式②整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数（充要条件 ）。
5.等差中项 ：如果 a ， A ， b 成等差数列，则有
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
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集合一、章节结构图123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩二、复习指导1．新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．集合知识点及其要求如下：1．集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．1 集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．1．集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．(3)集合可分为有限集与无限集．(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“∉”．2．集合与集合的关系对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含集合A ，记作A ⊆B (读作A 包含于B )，这时也说集合A 是集合B 的子集．也可以记作B ⊇A (读作B 包含A )①子集有传递性，若A ⊆B ，B ⊆C ，则有A ⊆C .②空集是任何集合的子集，即⊆A③真子集：若A ⊆B ，且至少有一个元素b ∈B ，而b ∉A ，称A 是B 的真子集．记作A B (或B ∉A )． ④若A ⊆B 且B ⊆A ，那么A =B⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：2的n 次方个．(二)解题方法指导例1．选择题：(1)不能形成集合的是( )(A)大于2的全体实数(B)不等式3x －5＜6的所有解(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点(D)x 轴附近的所有点(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，则下列关系中正确的是( )(A)x A(B)x ∉A (C){x }∈A (D){x }A (3)设集合},214|{},,412|{Z Z ∈+==∈+==k k x x N k k x x M ，则( ) (A)M =N(B)M N (C)M N (D)M ∩N =例2．已知集合}68{N N ∈-∈=xx A ，试求集合A 的所有子集．例3．已知A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ⊆A ，求m 的取值范围．例4*．已知集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．1．2集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果A ⊆S ，那么A 在S 中的补集s A ={x ｜x ∈S ，且x ≠A }．(2)交集：A ∩B ={x ｜x ∈A ，且x ∈B }(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：①x∈A，且x∈B；②x∈A，但x∉B；③x∈B，但x∉A；这三部分元素构成了A∪B(4)交、并、补有如下运算法则全集通常用U表示．(A∩B)=(U A)∪(U B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)U(A∪B)=(U A)∩(U B)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)U(5)集合间元素的个数：card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．(二)解题方法指导例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(U M)∩(U N)是( )(A)(B){d} (C){a，c} (D){b，e}(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( )(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____．例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x∉B}．(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( )(A)M(B)N(C)｛1，4，5 } (D){6}(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( )(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．例题解析1．1 集合的概念及其运算(1)例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“⊆”以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ． 方法一：N M ∉∉21,21故排除(A)、(C)，又N ∉∉43,43M ，故排除(D)． 方法二：集合M 的元素.),12(41412Z ∈+=+=k k k x 集合N 的元素=+=214k x Z ∈+k k ),2(41．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．例2分析：本题是用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N ．解：由题意可知(6－x )是8的正约数，所以(6－x )可以是1，2，4，8；可以的x 为2，4，5，即A ={2，4，5}．∴A 的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．小结：一方面，用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；另一方面，含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：+++210n n n C C C n n n C 2=+Λ个．例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．解：由题设知⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m ，解之得，2≤m ＜3．小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B ≠”，则不要漏掉⊆A 的情况．例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C ⊆B 建立关于a 的不等式．解：∵A ＝[－1，a ]，∴B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，B =[－5，3a －2]⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤-=∈==∴1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222a a a a a C A x x z z C(1)当－1≤a ＜0时，由C ⊆B ，得a 2≤1≤3a －2无解；(2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a =1；(3)当a ≥1时，a 2≤3a －2得1≤a ≤2综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y =3x －2，y =x 2的值域，其中定义域为A )是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．1．2 集合的概念及其运算(2)例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．解：(1)方法一：∵U M ={b ，c }，U N ={a ，c }∴(U M )∩(U N )=，答案选A方法二：(U M )∩(U N )= U (M ∪N )=∴答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．∴答案选A(2)同理可得答案选B小结：交、并、补有如下运算法则U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C ) 例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x ∉S ，∴x ∈U S ．由交集、并集、补集的意义．∴x ∈(M ∩P )∩(U S )答案选D ．小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．例3解：(1)由已知，集合A ={－1，3}， ⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅=0}1{0a aa B ∵A ∪B =A 得B ⊆A∴分B =和}1{aB =两种情况． 当B ＝时，解得a =0；当}1{a B =时，解得a 的取值}31,1{- 综上可知a 的取值集合为⋅-}31,1,0{ (2)由已知，⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅==0}1{0},{a aa N a M ∵M ∩N =M⇔M ⊆N当N =时，解得a =0；M ={0} 即M ∩N ≠M ∴a =0舍去当}1{a N =时，解得11±=⇔=a aa 综上可知a 的取值集合为{1，－1}．小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ；(A ∪B )⊇A ，(A ∪B )⊇B ；A ∩U A =，A ∪U A =U ；A ∩B =A ⇔A ⊆B ，A ∪B =B ⇔A ⊆B 等．(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例4解：(1)方法一：由已知，得N －M ={x ｜x ∈N ，且x ∉M }={6}，∴选D方法二：依已知画出图示∴选D ．(2)方法一：M －P 即为M 中除去M ∩P 的元素组成的集合，故M －(M －P )则为M 中除去不为M ∩P 的元素的集合，所以选B ．方法二：由图示可知M =(M ∩P )∪(M －P )选B ．方法三：计算(1)中N －(N －M )={2，3}，比较选项知选B ．小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，解之得，x=－1．当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．∴存在实数x=－1满足S A={0}．。