雨中行走问题的数学建模

雨中行走问题的数学建模

要在雨中沿直线从一处跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化为长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2米，设跑步距离d=1000米，跑步最大速度Vm=5米/秒，雨速u=4米/秒，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v,按一下步骤进行讨论。

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x，如图一，建

立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d、u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算x=0，x=30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为y,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、y之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算y=30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）进行作图，并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

问题分析：在我们的日常生活中，下雨天气是不可避免的，当我们遇到此类的天气且身上没有携带避雨的雨具时，是否快跑就会减少身上的淋雨量呢？就此问题我们做一个模型假设查探我们的问题。

模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度Vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h

模型建立：

模型一:（1）题中所述不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，此时的雨速也是均匀下落，由假设人体为长方体可知，该人体的表面积s=2ab+2ac+bc，因为跑步距离d=1000m，所以该人在雨中的淋雨时间t=d/Vm，在该时间内的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s 所以，总淋雨量Q=s*t*w。

模型二：（2）

《1》当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，由图一可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t1=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知淋雨总量Q1=s1*t1*w*cosx。

《2》由图一可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx（方向与v相反），设定参照物后水平方向上的合成速度为u*sinx+v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u。

由此可以得到该人在单位时间和单位面积内的总淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cosx)/(18*v)+[0.075*(4sinx+v)]/(18*v)

模型三：

(3)当雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向一致时，设定参照物后人参考速度|u*siny-v|，当u*siny-v>0时，即雨速在水平上的分量小于人的速度，此时在水平方向上的合成速度是v-u*siny，此时的人的淋雨总量可分为两部分：头顶部分Q3和背面部分Q4,；

《1》头顶部淋雨量为Q3，由图二可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t3=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨总量Q3= s1*t1*w*cosx。

《2》由图二可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx（方向与v相反），设定参照物后人的参考速度为v-u*siny,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,降雨量w=w*（v/u）-wsiny，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4=s2*t2*w*(v-u*siny)/u=abdw(v-u*siny)/uv=0.0010461(1-siny/v)。

所以降雨总量Q=Q3+Q4=（0.01cosy）/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)

当u*siny-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时的人的淋雨总量可分为两部分：头顶部分Q5和背面部分Q6。

《3》头顶部淋雨量为Q5，由图二可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t3=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知淋雨总量Q5= s1*t1*w*cosx

《4》由图二可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*siny-v（方向与v相反），此时在水平方向上的合成速度为u*siny-v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,，降雨量w=wsinx-w*v/u,此时该人的淋雨总量Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u所以降雨总量Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cosy-1.5siny）/v+1.5]

4:根据三中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：

模型求解：由于该模型是在理想情况下假设的，由以上模型（1 (2(3可求出下列数值：

（1）带入数据可求出以下未知量：表面积s=2ab+2ac+bc=2*1.5*0.5+2*1.5*0.2+0.5*0.2=2.2 跑步的时间t=d/vm=1000/5=200s, 总的淋雨量Q=s*t*w=2.44L

结果分析：由这些数值可知：随着人跑步的速度逐渐变快，人的淋雨量越少，跟我们在实际生活中相差不大，只是这是在理想模型下建立的求解，因为在实际的生活中人的跑步速度不肯能是匀速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。

（2）带入数据可求出以下未知量：头顶淋雨量：Q3=s1*t1*w*cosx =(0.01cosx)/(18*v) 迎面淋雨量：Q4= s2*t2*w*(usinx+v)/u =0.0010461(1-siny/v)总的淋雨量Q=Q3+Q4=0.01cosy/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)=0.00069445[(0.2cosy-1.5siny)/v+1.5]

由题可知该人在雨中的最大速度是v=vm，所以当v=vm时，Q最小，此时带入数据可知Q=0.694*[(0.8cosx+6sinx)/v+1.5]，

x=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152L

x=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L

结果分析：在该模型中只考虑到了顶面和人的迎雨面，可以看出在该模型下人跑的越快，淋雨就越少，这个与模型二很相似，可是在实际情况我们也应该考虑到人的背面是否淋雨，在模型三中就解释了这个问题。

(3)带入数据可求出下列：

头顶淋雨量：Q5=s1*t1*w*cosx =(0.01cosy)/(18*v)

迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u=abdw(u*siny-v)/uv

总的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cosy-1.5siny）/v+1.5]

若c*cosy-a*siny<0.即tany>c/a，此时v=usiny时Q最小，当y=30时,v=usiny=4*sin30=2m/s, 此时Q=0.0027778*[（0.2cos30-1.5sin30）/v+1.5]=0.24L，当v=vm时，y=30,Q=0.93L.由此可知，当v=usiny时，淋雨量是最小的。

结果分析：在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二相似，将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不多很相似了。由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。

4:当雨从人体背面吹来时，根据模型三可知道只要满足c*cosy-a*siny<0即tany>c/a，而此时v=usiny的Q最小,即人体淋雨量最少,此时该人只有背面与头顶部淋雨。

5：若是雨线方向与跑步方向不在同一平面内，建立坐标系然后分别对几个淋雨面进行以上同样方法建立求解模型，在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的，只是解算的过程复杂了！