材料力学(II)第二章-材料力学-孙训方

加。
30
1. 当Fs<F<Fu (Fu为整个C 截面上的＝s时的荷载)时。
随F的增加，max＝s(M=Ms)的截面由C截面向左、右两侧 扩展，塑性区向中性轴处扩展，弹性区的高度为2ys(图b)， C截面的弯矩为
h/2 ys y h 2 ys2 M 2 ( s b d y) y sb d y y b( ) s ys ys 4 3 0
gs
(d)
d
T
假设，其g 的变化规律如图d所示。根
据图b所示的~g关系， 的分布规律如 图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状
s
态，其余部分仍处于弹性状态。设弹 性区的直径为ds。取dA=2pd，扭矩 为
d /2 πd s3 T s 2 π 2 s d ds / 2 16 π s 4d 3 d s3 (2) 48
得 2. 求 St、Sc
y 70 mm
1 70 50 37104 mm3 2 Sc 50 250 70 250 70 / 2 81104 mm3 S t 160 5070 50 / 2 50 70 50
3. 求 Mu
M u sWs s St Sc 235 37104 81104 277.3 kN m
的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(1=2=s)，整个结构屈
服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷 载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 =s A，由结点A 的平衡方程得
Fu s A1 2 cos
极限荷载和屈服荷载的比值为
(5)
Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3
式中，St、Sc分别表示受拉区和受压区面积对中性轴z的静矩，
均取正值。 令 则
Ws St Sc (塑性弯曲截面系数)
(4)
(5)
M u sWs
24
对于b×h的矩形截面，
bh h bh2 S t Sc 2 4 8 bh2 bh2 Ws 2 8 4 bh2 Mu s 4
A At Ac
得
22
At Ac
(2)
式中，At和Ac分别代表受拉区和受压区的面积。由(2)式确定
中性轴z的位置。对于水平形心轴为对称轴的截面(例如，矩
形等)，水平形心轴即为中性轴。对于水平轴不是对称轴的 截面，例如T形截面，中性轴和水平形心轴不重合。随弯矩 的增加，中性轴上移。到M=Mu时，中性轴位置如图所示。 80 20 z zc (中性轴) (形心轴) 20 y
9
u l1
cos

EA cos 2
s Al
(7)
b a
外力F和A点位移Δ之间的关系， 如图e所示。F<Fs时，结构的刚
度由三根杆组成， F≥Fs时，3
杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组 成，所以Oa和ab的斜率不同。 (e)
10
由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2－1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成
B


C

s
A

F
(a)
4
s
(b)
例2－1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，－ 关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试
分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情
况。
l
(a)
5
(b)
解： (1) 应力
1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静
定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的
27


4. 残余应力 当矩形截面梁的弯矩达到Mu时，卸去全部荷载，即反向
加Mu=bh2σs/4，并注意到卸载时－成线性关系，则卸载时
max=(bh2s/4)/(bh2/6)=3s /2(图b)，将图b和图a的应力叠加得
残余应力(图c)。可以验证残余应力自相平衡。 b h
s
3 s 2

T
ds d (e)
14


π d s3 式中，右边第一项 16 s 为弹性区的扭矩，第二项 d 2 2 d 2 2 π s d 为塑性区的扭矩。
s
s
Tu
(f)
单位长度的扭转角为
π ds3 s /16 2 s 4 Gπds / 32 Gds
bh2 Ms s 6 (1)
仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯 矩还可以继续增加。
s

s
(c)
20
Ms
(2) 当弯矩增加到 M M 时，梁进入弹塑性工作状态，
根据平面假设， 分布规律如图d所示。按照图b所示的－ 关系， 的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为 塑性变形，其余部分仍为弹性变形。
扭矩T＝0，说明残余应力是自相平衡的。
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§2－4 梁的极限弯矩 ·塑性铰
Ⅰ. 纯弯曲梁的极限弯矩
Me
Me
h/2 h/2

s
s
(b)
b

b
(a)
图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的－关系如图b所示。
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(1) 一般认为max=s为梁的破坏条件，把上、下边缘
屈服时的弯矩称为屈服弯矩，并用Ms表示图c，其值为
为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生
塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。
l
(a)
11
§2－3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
图a所示圆截面杆，其 －g 的关系如图b所示。本节讨 论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。
12
Ⅰ. 极限扭矩 (1) 由塑性材料制成的受扭
s
o
圆截面杆，一般把max=s(图c)作
23
s
s


中 性 轴 上 移

80
s
Ms M Mu
s
s
Mu
横截面上法向微内力组成极限弯矩，即
M u y s d A y s d A
At Ac
s y d A y d A Ac At s S t S c
为破坏条件，并以此建立强度条 件。边缘屈服时的扭矩称为屈服 扭矩，并用Ts表示，其值为
π d3 Ts s 16 (1)
s
d (c)
Ts
仅当max=s时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可 以继续增加。
13
gs
o
(2) 若扭矩增加到某个值 T 时， 圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面
(6)
由(6)和(1)式，得
bh2 s Mu 42 1.5 M s bh s 6
25
例2－4 求图示T形截面梁的极限弯矩，s＝235 MPa。
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解：1. 确定中性轴的位置 设中性轴z到截面底边的距离为y。并设中性轴以下为受
拉区，以上为受压区，根据At=Ac，有
50 160 50 y 50 50 250 y
Fs F Fu
s
A
l/2
ys
C
B
l/2
s +
ys
Ms M Ms
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(b)
式中，第一个积分为半个弹性区的弯矩，第二个积分为半个 塑性区的弯矩。由上式得
Fs s A 1 2 cos3


(3)
由于FN3=σsA，使超静定结构成为静定结构，荷载还可以继 续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为
FN1 FN 2
应力为
7
Fs s A 2 cos
(4)
Fs / A s 1 2 2 cos
3. 继续增加荷载，3杆的应力保持3＝s不变，1、2杆
应力分别为
1 2
A 1 2 cos

F cos2
3

(1)
F 3 A 1 2 cos3


(2)
F
可见
(c)
6
3 1 2
2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作 状态。 Fs 称为屈服载荷。令3＝s，F =Fs。由(2)式得poc
在应力超过比例极限后，应
力和应变为非线性关系，使 分析极为复杂。为了简化计
p e
(a)
2
算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关 系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈 服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别 相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─ 理
C截面处，当C截面处的max=s时，相应的荷载Fs为屈服荷
载， C截面上的弯矩Ms为屈服弯矩， Ms的值为
FS
h/2
b
S
+
MS

S
A
l/2
C
B
l/2
h/2
z y
MS
29
（a）
1 bh2 M s Fsl s 4 6
可得
2 bh2 Fs s 3 l
(1)
(2)
在Fs 作用下，C 截面未产生明显的塑性变形，F 还可继续增
想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材
料的－g曲线简化为图c所示的曲线。

s
s
(b)
3
b

s

gs
(c)
g
§2－2 拉压杆系的极限荷载
图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系 如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈 服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静 定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。 超静定杆系结构见下例。