2018年4月自考《线性代数(经管类)》真题(完整试卷)

2018年4月自考《线性代数（经管类）》真题（完整试卷）

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式

121

2

1a a b b =-，

则121212

12

a a a a

b b b b +-=+-

A. 2-

B. 1-

C. 1

D.2

2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B

A. 0

B. a

C. 2a

D.3a

3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+-

4. 设矩阵3

00

00000120

022B ⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪

- ⎪

⎝⎭，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

5. 设矩阵120240001A -⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，则二次型T

x Ax 的规范型为

A. 222123z z z ++

B. 222123z z z +-

C. 2212z z -

D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

6. 设3阶行列式11121321222312

2

2

a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则

313233++=A A A .

7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = .

8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1

*

132A A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 9.2016

2017

001123010010456100=100789001⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

.

10.设向量(1,0,0)T β= 可由向量组123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则

a 的取值应满足

.

11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则

t = .

12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3

λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵223E A - 必有一个特征值为 .

14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2A = .

15.设二次型22111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围是 .

三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。

16. 计算4阶行列式2

300123001230

1

2

D --=-- .

17. 设1234

0000000000

0a a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，其中0 (1,2,3,4),i a i ≠= 求1A - . 18. 设3阶矩阵A 与B 满足2,AB E A B +=+ 其中111120211A -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

，求矩阵B. 19. 求向量组

1234(2,1,31)31,2,0)(1,3,42)(4,3,1)T T T T αααα=-=-=-=-，，（，，，，，1的秩和一

个极大线性无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示。 20.设线性方程组

1223

2312323

2234

x x x x x x b x x ax +=⎧⎪-+=-⎪⎨

-=⎪⎪++=⎩ 确定a ，b 为何值时方程组由无穷多解，并求出其通解（要求用其一个

特解和导出组的基础解系表示）。

21.已知=0λ是矩阵11121321

222331

32

33a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

（其中110,0a b ≠，） 的一个特征值，求A 的属于特征值=0λ的全部特征向量。

22.求正交变换x Qy = ，将二次型

222

123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++化为标准形。

四、证明题（本题7分）

23.设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12ξξ，为导出组0Ax =的两个线性无关的解，证明向量组12ηηξηξ++，，线性无关

。