考研教案2(极限)
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Ch1 极限与连续
一、有关的证明题
例1、设lim (),lim (),f x A g x B ==证明:lim(()())lim ()lim ()f x g x f x g x AB == 证明:lim ()f x A =,(),(lim 0)f x A αα⇔=+= lim ()g x B =(),(lim 0)f x A ββ⇔=+=
()()f x g x AB A B αβαβ=+++由无穷小的性质lim()0A B αβαβ++=
由极限存在的充要条件lim(()())f x g x =AB 。
例2、问极限01
sin(sin )
lim
1
sin
x x x x x
→是否存在? 解答:当
12,1,2,3,,0k k k x x π==→∞→ ,,1
sin 0x
= 故不存在(0,),0U δδ>,使函数1
sin sin ()1sin
x x f x x x
=
()
有定义,故极限不存在。
例3、设,()0,c
x x Q
f x x Q
∈⎧=⎨
∈⎩,证明:(1)、()0f x x =在处连续;
(2)、()0f x x ≠在处不连续。
证明:(1)、|()(0)||()|||f x f f x x -=≤,0,|()(0)|0x f x f →-→ ()0f x x =在处连续;
(2)、若0x r =≠,r Q ∈,选一有理数序列{},()n n r r r r →≠ 取一无理数序列n s r →,lim ()0lim ()n n n n f s f r r →∞
→∞
=≠=,极限不存在;
同理0x r =≠,c r Q ∈,*********一点可导,其它都不可导函数的构造。
Ex***(06数一)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin n n x x +=(1,2,)n =
(1)证明:lim n x x →∞
存在,并求该极限;(2)求1
1lim()n x n n n
x
x +→∞。
证明:(1)、1sin n n x x +=,(1,2,)n = 1||1n x +≤,函数有界 1sin n n x x +=n x ≤,(基本不等式0,sin x x x ><),数列{}n x 单调增加,由准则 lim n x x A →∞
=,1sin n n x x +=两端求极限sin ,0A A A ==;
(2)n t x =21
1lim()n x n n n
x x +→∞=2
2011
sin lim (ln )0sin lim(
)t t
t
t t t t e t →→=,
2320
00sin ln(11)sin cos 11lim
lim lim 63t t t t
t t t t t t t
→→→+---===-,故极限为1
6e -
二、未定式的定值,000"","","","0.","0","","1".0
∞∞∞-∞∞∞∞
题型1、0""0
型的求法
(1)用洛必达法则(条件)
(2)结合实用更有效(等价无穷小及其条件、四则运算、变形变量代换、Talyor 公式)
例1.求224300sin sin sin lim lim .x x x x x x x x
x x x →→--+=
而 3200sin 1cos 1
lim
lim 36x x x x x x x →→--== 上式=011
lim *263
x →=
ex1. 求 2222432220000tan tan sec 1sin 1
lim ,lim lim lim 33cos 3
x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---===
原式=
23
ex2. 0002sin 15
lim 2tan 22
x x x x x →→→==+=
ex5. 22
2
21110050100050!lim lim lim lim 0x x t n n t x t n n e t n x e e e
-=
→→+∞→+∞→+∞====
ex6. 0lim 1x +
→=-
000000lim lim lim 11lim lim ,lim 02x x x x x x +++
+++
→→→→→→======
ex7.(08数一)求解()4
0[sin sin sin ]sin lim x x x x x →-
解法1:
()()sin 43300020[sin sin sin ]sin sin sin sin sin lim lim lim 1cos 1lim 36
x t x x x x x x x x x t t
x x t t t =→→→→---==-==
解法2:
()()()422
000020[sin sin sin ]sin cos cos sin .cos 1cos sin lim lim lim cos .lim 331cos 1lim 36
x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→---==-==题型2、"
"∞∞
型的求法 (洛必达法则、变形变量代换化为0
""0)
例1. 2
2
2
2
2
2222220
20
1
lim
lim
lim lim 122.2x
t x x
x
t
x
x x x x x x t e dt e
x e x t e
dt x
x xe e xe x
-→+∞
→+∞
→+∞→+∞====++⎰⎰
ex1. ln(1)
lim x x e x →+∞+ *等价无穷小区别
lim 11x
x
x e e →+∞==≠+∞+ 当x →+∞时,以下函数趋于+∞的速度:
()()ln ,0,1,x x
x x a a x αα>>−−−−−−−−→
由慢到快
当n →+∞时,则有
()()ln ,0,1,n n
n n a a n αα>>−−−−−−−−→
由慢到快
如求解:0.0001
ln lim 0x x
x →+∞=
题型3、ln 000"0","","1""0."""0
y
y e =∞
∞−−−
→∞⇒ (通分,有理化代换) 例1. 22222
2222200011cos sin cos lim(cot )lim()lim sin sin x x x x x x x x x x x x x →→→--=-=
30200sin cos sin cos lim
.
cos cos sin sin cos 2lim .lim 33x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x →→→-+=-++==
ex1. ()1
2
20ln 11lim ln 1lim x t
x t t t x x x t =
→∞→-+⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
()0
01
1111lim
lim 2212
t t t t t →→-+===+
ex2. lim x →+∞
“抓大头”
1lim
2
x ==
*变型后处理简单
例2. 0
lim ln n
x x x +
→ (0)n > 10
00ln 11lim lim lim 0()n
n n x x x x x x x n x n
+
++
---→→→===-=- 例3. 22lim arctan 22x x x π→∞
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
2
2
23
24arctan 22
lim 412lim
221lim 142
x x x x x x x x x x π
-→∞
-→∞
→∞-=-
+=-==+
题型4. ln 0
0"0","","1""0."""0y
y e =∞
∞−−−→∞⇒或"
"∞
∞
*特别 ()lim 11lim x u v
v
x u e →∞
-∞→∞
⇒=
例1.
()11
01lim x
x x x e →⎛
⎫
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
1∞
解:原式
()1011lim 1x x x e x e
→⎛⎫+ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
=
()()()()()()'
11ln 112
0002001ln 111lim lim lim
(1)ln 11ln 111lim lim 22(1)
x x x x x x x x x x e e x x x e x xe e ex x x x x x x x +→→→→→⎛⎫⎛⎫- ⎪+-+ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭==-++-+-===-+
原式
12
e
-
=
ex2. 例1另解:原式=
()1
011lim ln x
x x x e
e
→+
()()()1
20001
ln 111ln 11lim ln lim lim x
x x x x x x x x x e
x x
→→→+-++-== ()0011
11lim lim 2212
x x x x x x x →→--+===-+,原式=2
1
-e 例
2 .
(
)
()00lim 1
lim .22
lim cos x x x x
x
x
x e
e
e
π
ππ
π
+
+→→+
--
→===
Ex1.
()
tan
2
1
lim 2x
x x π→-
()11
111lim
.sin lim
2
2lim 1tan cos sin .
2
2
22
x x x x
x
x x x
x e
e
e e π
π
ππππ
→→→----====
Ex2.
()
sin 0
lim cot x
x x → (
)0∞ 00
lncot lim
lim sin lncot csc ,x x x
x x
x e e →→==
200csc tan lim
lim
0cot (csc cot )
sin 1x x x
x x x x x
e
e
e →→--===
Ex3:()
1201...lim 120
(i)
x x x n x x x x a a a n x n
nx
x a a a
e
n
→+++-→+++=
()1∞
12,,,0)n a a a > (
()
121122001
12...ln ln ...ln lim lim ln ...x x x x x x
n n n x x n
n a a a n a a a a a a nx n a a a →→+++-+++==
原式=
题型6:数列极限的求法
(1)夹逼准则(2)单调有界准则(3)化为函数极限
例1
计算1)
n
=
1
ln
lim1)lim0
x
x
x x
e x
→+∞
-==
Ex1.
求0
n
x≥
*含未知数参数极限的讨论因为01;
x
≤≤01;
n
x
<<01
2
n
n
x
⎛⎫
≤≤
⎪
⎝⎭
11
n n
→∞
≤≤==
当01
x
≤≤时,原式=1
因为12;
x
<≤01;
x
<<
2
2
x
x
<≤
x≤
当12
x
<≤
时,
n
x
=
因为2;
x>
2
01;
2
x
<<
2
2
x
x
<+
22
22
x x
<≤
当2
x>
时,
2
2
n
x
=
综上所述,
2
1,01
,12
,2
2
n
x
x x
x
x
⎧
⎪≤≤
⎪
=<≤
⎨
⎪
⎪>
⎩
例2.数列{}n a满足:1
1
,0
2
n n
n
a
a a a
a
+
⎛⎫
=+>
⎪
⎝⎭
,试证:{}n a有极限,并求出它.
证:1n a +≥
有下界(用数学归纳法证明) 2
111022n
n n n n n
a a a a a a a a +⎛⎫--=-=≤ ⎪⎝⎭
{}n a 单调下降,lim n n x A →∞
=
所以,12a A A A A ⎛⎫=
+⇒= ⎪⎝⎭
例3.求 ()1
11
lim
sin
n n
n n n n
+→∞
+ 原式=()1
11
lim
sin x x
x x x x
+→+∞
+
()()1
1
1lim 11.11
11lim
lim 1x x x x x x x x x e
e x x →+∞++⎛⎫
+-+ ⎪⎝⎭
+→+∞
→+∞
+⎛⎫
==+== ⎪⎝⎭
题型6.求n 项和的极限
1.夹逼准则 2***.转化为定积分 3.级数求和法 例
1. lim ...n →∞
⎛
⎫+
≤≤
i=1,2,…n
所以11;n n ==
由夹逼准则,原式=1
Ex1. lim ...n →∞
⎛⎫
++
1lim n
n i →∞
==
1
=⎰
(
(10
ln ln 1x ==
*
()()011
lim
lim i n
n
b
i i a
x n i i b a b a f x dx f x f a i n n ξ∆→→∞==--⎛
⎫=∆=+ ⎪⎝⎭∑∑⎰
1
1
0,1lim n
n i i a b f n n →∞
=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ *是一个通式
Ex2. lim
n
n k →∞
=
1
1
10
lim arcsin 26
n
n k x
π
→∞
=====
⎰
Ex3.求2sin sin sin lim ...11122n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪
++⎝
⎭ 1
sin ,1n n i i n x n i
π==+∑ 而 11001112sin sin cos n i i xdx x n n πππππ===-=∑⎰ 1111sin sin 1n n
n
i i n i i x n n n n
n ππ
==≤≤+∑∑ 又11
112
lim sin lim sin 1n n
n n i i n i i n n n n n πππ→∞→∞====+∑∑, 原式=
2
π
Ex4.
1lim n k ∞→∞=⎛ ⎝
012lim 3n k ∞
→∞====⎰
* 1
11
lim (0)1p
K p n k
p n
p
∞
=+→∞
=
>+∑ Ex5. ()2
223332113lim ...n n n n n →∞⎡⎤-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()22
2
2
2
22(21)(41)4(1)(21)(41)
13 (212663)
n n n n n n n n n n n S S ++++-+++-=-=-=
原式23(41)4
lim 33
n n n n →∞-== Ex6.求1
21lim ...n
n n n n e e e n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
1
11111111
lim 1...lim lim 111
n
n n n n n n n n n n e e e e e e e n n n e n -→∞→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫-⎝⎭=+++===- ⎪⎝⎭- *注意:()
()12
1...11n n n x x x x x ---=++++-
题型7.求n 项乘积,当n →∞时的极限 1. 同乘一个因子,使之出现连锁反应; 2. 通项拆开,相乘过程中项相消; 3. 夹逼定理;
4. 利用对数恒等式化为n 项和的形式.
例1、求极限
lim n →∞
lim n e →∞
=()1
10
1lim
ln 1ln 1n
n i i x dx n n e
e
→∞=⎛⎫
+ ⎪
+⎝⎭∑
⎰==
()()11
100
ln 1ln 11ln 21ln 22ln 21
x
x dx x x dx x +=+-+=-+=-⎰
⎰
原式4e
=
Ex2.求lim
n →∞
原式
1
10
1lim
ln ln n
n i i xdx n n e
e
→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
⎰==
1
1
10
00ln ln 11xdx x x dx =-=-⎰⎰原式1
e =
Ex2.设()f x 在[0,1]上连续,因()0f x >
解:lim n →∞
()1
11
lim ln ln n
n i i f f x dx n
n →∞
=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑⎰ 原式
()1
ln f x dx e
⎰=
题型8.极限中常数的确定 *定义域法则的条件
例1.已知(lim 32x x →+∞
=,求a ,b 的值.
解:变形lim 32x x →+∞⎛= ⎝
lim 309x a →+∞⎛⇒=⇒=
⎝
(lim 3lim 2
2126
x x x b
b →+∞
==-
=⇒=-
Ex1.确定常数a ,b ,c 的值,使()()3
sin lim
0ln 1x x b
ax x
c c t dt
t
→-=≠+⎰
解:()3ln 10,sin 0,00x
b
t x ax x c dt t
+→-→≠⇒
→⎰
()
()()23
30
00
20sin cos cos 0;lim
lim
lim ln 1ln 1lim cos 0,1
1cos 1
lim
2
x x x x x x ax x
a x a x
b c x t x dt t
x
a x a x c x →→→→→---====++-==-==
⎰
Ex2.已知当0x →时,(
)
1
23
11x
α+-与cos 1x -时等价无穷小,求常数α.
解:()1223
0021113lim lim 11cos 12
x x x x x x αα→→+-==-- 32α∴=-
Ex3.已知
0x c →=≠,求常数a 和b ,使()0f x →,()f x 与b ax 等价.
解:2
2
0,limarctan lim 0x x c x x →→≠==
()20
010lim 0x x f x x
→→=⇒=
1x →与()2112f x x 等价. 原极限=()()2240011
12lim lim 2x x f x f x x c x x
→→==
()0,x f x →与42cx 等价
a=2c,b=4
题型9.无穷小的判别与比较 例1.
当0x
→时,下列无穷小:6
1
ln(1sin ),sin ,tan ln x x x x x x
+-中, ( )是x 的一阶无穷小,( )是x 的二阶无穷小,( )是2
x 的二阶无穷小.
分析:1.0,ln(1sin )sin x x x x →+~~
302
s i n 1
2.0,l i m 6
3.0,t a n x x x x x x x x x →-→
→=
~
(
)2446
604
11114.0,11cos 12224
lim 0
14
x x x x x x x x
→→⎛⎫→==---- ⎪⎝⎭==~=
05.
0,l i m l n l i m l n 0
x x x x x x x +
→→→=
=,0
lim 1ln x x
x
→是x 的低阶无穷小. 答案:ln(1sin );x +
6
s i n x x -
Ex1.设 0,0αβ>>为任意正数,当x →+∞时将无穷小:11,,ln x
e x x
αβ-按从低阶到高
阶排列.
解;
1
ln lim lim 0;1
ln x x x
x x x
βααβ→+∞→+∞==lim
lim 0.1x x x x e x e x αα-→+∞→+∞== 则有:11ln x
e x x βα
-→→ Ex2. 0x +
→
,将无穷小量2
2
30
cos ,,x
x t dt t dt αβγ=
==⎰
⎰排列起来,
使后面一个是前面一个的高阶无穷小,正确的排序是( ) (A ),,αβγ (B ),,αγβ (C ),,βαγ (D ),,βγα
分析:222
00
00
cos cos lim lim lim 2.tan x
x x x x t dt
x x x αβ+
+
+→→→===+∞⎰
⎰
2
3
00
2
2.tan lim lim lim 0x x x x x x
x β
γ+
+
+
→→→===0lim 0x γ
α
+
→= 或快速估计极限32123,,,0i k x k x k x k αβγ≠ ;答案:(B )
三、连续与间断
题型1.函数的连续性与间断点
*定义及性质 三种定义
例1.设
()sin sin sin lim sin x
t x
t x t f x x -→⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,求函数()f x 的间断性及类型.
*初等函数定义区间外,分段函数分段点处可能间断
解:
()sin 1lim 1sin sin sin sin t x t x x
x t x
x
f x e
e
∞
→⎛⎫
- ⎪-⎝⎭==
()f x 间断点,x k π=,k 为常数.
sin 0
lim ,x x
x e
e →= x=0是()y
f x =的可去间断点;
()lim x k f x π+
→=∞,(1,2,...)x k k π==±±是()f x 的无穷间断点
Ex1.设()()22
cos 2cos3,04,0sin cos ,0x
A x x x x f x x
B x t dt x x ⎧
-⎪<⎪⎪
==⎨⎪+⎪>⎪
⎩
⎰在x=0处连续,试求A,B.
解:(
)()()
20
0cos 2cos32sin 23sin 30
lim lim 2x x A x x A x x f x x
-
-
-
→→--+== 95
(2)22
A A =-+=
()20
sin cos 0lim x
x B x t dt
f x
+
+→+=⎰
2
lim cos 1x B x B +
→=+=+ 所以,5
412
A B =
=+ 8
,35
A B ⇒==
Ex2.讨论函数()221lim
1n
n
n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. ()()()1.1,2.1,3.1,0
x f x x x f x x x f x <=>=-== 1x =±,第一间断点
Ex3.(1)设函数()f x 在[1,1]-,则x=0是()()0
x
f t dt
g x x
=⎰的( )
(A )跳跃间断点 (B )可去间断点
(C )无穷间断点 (D )振荡间断点
(2)()21,2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩
在(),-∞+∞内连续,则c=( )
解:()22
,1,2
,x c x f x x c x c x c x
⎧>⎪⎪⎪
=+-≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩
在x c =±处连续,()22
lim 11x c
f x c c c
→-=
=+⇒= 题型2.有关区间上连续函数的命题
直接求法:先利用最值定理,在利用介值定理;
间接求法:构造辅助函数()F x ,由根的存在定理得出证明 *构造()F x 方法:1.将结论中ξ或0x 换成x 2.移项相减得()F x
例 1.设()f x 在[,]a b 上连续,且a c d b <<<,证明:在(),a b 内至少存在一个ξ,使得()()()()pf c qf d p q f
ξ+=+,其中p ,q 为任意正数.
证:1.直接法:()[,]f x a b ∈由最值TH 和介值TH 成立,
()()m f c M m f d M
≤≤≤≤, ,0p q > ,
()()m p f c p M p m q f d q M q
≤≤≤≤
()()
(),,[,]pf c qf d m M c d a b p q
ξ+≤
≤∃∈⊂+
s.t. ()()()()pf c qf d p q f ξ+=+
2. ()()()()()[,]F x p q f x pf c qf d a b =+--∈
()()()()()()()()
F c q f c f d F d p f d f c =-=-
()()f c f d =取c ξ=(或d ) ,()0F ξ=
()()()()()2
.0F c F d pq f c f d =--<
由根的存在定理, (),a b ξ∃∈, ()0F ξ=
Ex1.设()[0,2],f x a ∈且()()02f f a =,证明:在[0,]a 上至少存在一个ξ使
()()f f a ξξ=+.
证:()()()[0,2]F x f x a f x C a =+-∈
()()()
()()()()()()
0020F f a f F a f a f a f a f =-=-=--
()()0f a f =,取0ξ=(或a )
,得证. 当()()()()0,0.0f a f F F a ≠<,由根的存在定理(零值TH ),可证.
Ex2.试证方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一个正根,并且它不超过b+a. 证:()sin [,]F x a x b x C a b =+-∈
()00F b =>,()()sin()10F a b a a b +=+-≤
1.1sin()0,;a b a b ξ-+==+
2. ()()1sin()0,0.0a b F F a b -+<+<
作业1.若
,,0a b c >
,求lim(3
n
n →∞
01
11131"1"lim
30lim ()lim()33
t t t t x a b c t
t
t x
x
x
t
x t t
x t a b c a b c
e ∞+
→+=++-→+∞→++++==
0ln ln ln lim
3t t t t a a b b c c
e
+
→++=
ln ln ln 3
a b c
e
++==
作用2.求211lim 1n
x n n →∞
⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
解:221111111111n n n n
n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+<+<+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
11lim 1lim 11n
n
x x e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+==+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 或者 211"1"lim 211lim 1x n
n n n x e e n n ∞
→∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
→∞
⎛⎫++== ⎪⎝⎭
作业3.求极限()()(
)2
2lim 11...1,1n
n x x x
x →∞
+++<
解:原式()()()()
224111...11lim
lim ,111n n
n n x x x x x x x
x
→∞
→∞-+++-==<-- 11x
=
- 作用4.求lim cos
cos ...cos 242n n x x x →∞
⎛⎫
⎪⎝⎭2sin
cos cos ...cos 2242lim 2sin 2
n n n n n n
x x x x
x →∞
=
12cos cos ...2sin cos 2422lim 2sin 2
n n n n n n
x x x x -→∞⎛⎫
⎪
⎝⎭
=2112cos cos ...2sin cos 2422lim
2sin 2
n n n n n
n
x x x x ---→∞⎛⎫
⎪
⎝⎭
=sin sin ...lim lim 12sin 2.22n n n n n n x x x x →∞→∞==== 作业5. 222111lim 11...123n n →∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因()()2222
111111
1.k k k k k k k k k k
-+--+-=== 原式132311lim ....2234n n n n
n →∞
-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11
lim
22
n n n →∞+==。