第7章 自由曲线与曲面 1
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8
参数曲线基础（1/6）
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
y f (x)
z
g
(
x)
隐式表示
f (x, y, z) 0
g
(
x,
y,
z
)
0
9
参数曲线基础（2/6）
参数表示
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
参数的含义
t [a,b]
时间，距离，角度，比例等等
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t [a,b]
6
概述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
β为任意常数。当α=1，β=0时，G2连续就 成为C2连续。
14
至此可以看到，C1连续能保证G1连续，C2 连续能保证G2连续，但反过来不行。也就 是说，Cn连续的条件比Gn连续的条件苛刻 。
15
参数曲线基础（4/6）
参数连续性
传统的、严格的连续性
称曲线P = P(t)在t t0处n阶参数连续，如果 它在 t0处n阶左右导数存在，并且满足
第四章 自由曲线与曲面 （一）
1
曲线的分类
规则曲线 自由曲线 随机曲线
概述
哈工大计算机学院 苏小红
2
概述
研究分支
计算几何
1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义
CAGD (Computer Aided Geometrical Design)
7
自由曲线曲面的发展过程 目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
12
例：
(t)
V0
V0
V1
V0 t 3
0 t
V1
V0 3
(t
1)
2(V1
3
V0
)
1
1 t
2
(t)在[0，2]上表示一条连接V0、V1的直线段
，但却有 即 ≠ (1)
1 3
(V1
V0),(1 )
2 3
(V1
V0),
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条 曲线在结合处满足G0连续的条件下，并有 公共的切失Q’(0)=αP’(1) (α>0)
当α=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条 曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并 有公共的曲率失，即：Q (0) 2P (1) P (1)
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合， 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
哈工大计算机学院 苏小红
5
概述
（3）易于定界
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x)
z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
（1） GC1
（2）副法矢量方向连续
B (t0 )
B
(t
0
)
（3）曲率连续
k (t0
)
k
(t
0
)
18
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、Baidu Nhomakorabea面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数 如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
(1 ) (1 )
(t) 明明是一条直线，却非C1连续，说明用
参数连续描述光滑性是不恰当的，因此有
必要引进一种新的连续性度量，这就是几
何连续。
P(t)
Q(1)
如图所示，对于参数 P(0) T∈[0,1]的两条曲线
P(1) Q(t) Q(0)
13
P(t)和Q(t)，若要求在结合处达到G0连续或 C0连续，即两曲线在结合处位置连续，则 需要：P(1)=Q(0)
规范参数区间[0，1]
10
参数曲线基础（3/6）
参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t ) P0 t ( P1 P0) (1 t ) P0 tP1 t [0,1]
11
参数的连续性
设计一条曲线时，出于设计和制造上的考 虑，通常通过多段曲线组合而成，这需要 解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 。曲线间连接光滑度的度量有两种：一种 是函数的可微性，使得组合参数曲线在连 接处具有n阶连续导失，即n阶连续可微， 这类光滑度称为Cn或n阶参数连续性；另一 种称为几何连续性，组合曲线在连接处满 足不同于Cn的某一组约束条件，称为n阶几 何连续性，简记为Gn. Cn连续包含在Gn连续 之中。
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
记为 GC1
P(t0 ) P(t0 ) 0为任一常数
17
参数曲线基础（6/6）
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t0处
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k t t0
0,1, n
记号 C n
16
参数曲线基础（5/6）
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC 0
1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国 际会议上提出
哈工大计算机学院 苏小红
3
概述
研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
哈工大计算机学院 苏小红
4
概述
对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性
19
曲线曲面拟合方法
参数曲线基础（1/6）
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
y f (x)
z
g
(
x)
隐式表示
f (x, y, z) 0
g
(
x,
y,
z
)
0
9
参数曲线基础（2/6）
参数表示
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
参数的含义
t [a,b]
时间，距离，角度，比例等等
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t [a,b]
6
概述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
β为任意常数。当α=1，β=0时，G2连续就 成为C2连续。
14
至此可以看到，C1连续能保证G1连续，C2 连续能保证G2连续，但反过来不行。也就 是说，Cn连续的条件比Gn连续的条件苛刻 。
15
参数曲线基础（4/6）
参数连续性
传统的、严格的连续性
称曲线P = P(t)在t t0处n阶参数连续，如果 它在 t0处n阶左右导数存在，并且满足
第四章 自由曲线与曲面 （一）
1
曲线的分类
规则曲线 自由曲线 随机曲线
概述
哈工大计算机学院 苏小红
2
概述
研究分支
计算几何
1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义
CAGD (Computer Aided Geometrical Design)
7
自由曲线曲面的发展过程 目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
12
例：
(t)
V0
V0
V1
V0 t 3
0 t
V1
V0 3
(t
1)
2(V1
3
V0
)
1
1 t
2
(t)在[0，2]上表示一条连接V0、V1的直线段
，但却有 即 ≠ (1)
1 3
(V1
V0),(1 )
2 3
(V1
V0),
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条 曲线在结合处满足G0连续的条件下，并有 公共的切失Q’(0)=αP’(1) (α>0)
当α=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条 曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并 有公共的曲率失，即：Q (0) 2P (1) P (1)
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合， 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
哈工大计算机学院 苏小红
5
概述
（3）易于定界
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x)
z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
（1） GC1
（2）副法矢量方向连续
B (t0 )
B
(t
0
)
（3）曲率连续
k (t0
)
k
(t
0
)
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参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、Baidu Nhomakorabea面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数 如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
(1 ) (1 )
(t) 明明是一条直线，却非C1连续，说明用
参数连续描述光滑性是不恰当的，因此有
必要引进一种新的连续性度量，这就是几
何连续。
P(t)
Q(1)
如图所示，对于参数 P(0) T∈[0,1]的两条曲线
P(1) Q(t) Q(0)
13
P(t)和Q(t)，若要求在结合处达到G0连续或 C0连续，即两曲线在结合处位置连续，则 需要：P(1)=Q(0)
规范参数区间[0，1]
10
参数曲线基础（3/6）
参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t ) P0 t ( P1 P0) (1 t ) P0 tP1 t [0,1]
11
参数的连续性
设计一条曲线时，出于设计和制造上的考 虑，通常通过多段曲线组合而成，这需要 解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 。曲线间连接光滑度的度量有两种：一种 是函数的可微性，使得组合参数曲线在连 接处具有n阶连续导失，即n阶连续可微， 这类光滑度称为Cn或n阶参数连续性；另一 种称为几何连续性，组合曲线在连接处满 足不同于Cn的某一组约束条件，称为n阶几 何连续性，简记为Gn. Cn连续包含在Gn连续 之中。
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
记为 GC1
P(t0 ) P(t0 ) 0为任一常数
17
参数曲线基础（6/6）
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t0处
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k t t0
0,1, n
记号 C n
16
参数曲线基础（5/6）
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC 0
1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国 际会议上提出
哈工大计算机学院 苏小红
3
概述
研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
哈工大计算机学院 苏小红
4
概述
对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性
19
曲线曲面拟合方法