第三单元长方体和正方体的知识点整理

第三单元长方体和正方体的知识整理一、【概念】1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。

在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。

2、两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。

正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。

4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

5、长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。

一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4长=棱长总和÷4－宽－高宽=棱长总和÷4－长－高高=棱长总和÷4－长－宽正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷126、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，棱长总和会扩大相同的倍数。

（如长、宽、高各扩大2倍，棱长总和就会扩大到原来的2倍）。

二、【长方体和正方体的表面积】1、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）长方体正方体无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）正方体的表面积= 棱长×棱长×6 S=a×a×6= 6a22、表面积的常用单位有：平方米、平方分米、平方厘米相邻两个面积单位之间的进率是1001m2 =100dm2 1 dm2 =100 cm2 1m2 =10000 cm23、生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸、粉刷教室等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。

4、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。

5、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

三、【长方体和正方体的体积】1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

（就是看物体含有多少个体积单位）2、常用的体积单位有：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）①棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm3②棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm3③棱长是1 m的正方体，体积是1 m3相邻两个体积单位之间的进率是1000长方体的体积= 长×宽×高V=abh 长= 体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽= 体积÷长÷高b=V÷a÷h 高= 体积÷长÷宽h= V÷a÷b正方体的体积= 棱长×棱长×棱长V=a×a×a =a³体积通用公式：体积=底面积×高 V=sh3、容积： 容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。

4、容积单位有： 升（L ）、 毫升（mL ） 1 L = 1000 mL5、容积单位和体积单位的关系： 1 L = 1 dm 3 1 mL = 1 cm 36、容积的计算： 长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。

（所以物体的体积大于它的容积）。

7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

8、排水法：（计算不规则物体的体积）9、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

10、a 3读作“a 的立方”表示3个a 相乘，（即a ·a ·a ）【体积单位换算】 高级单位（大） 低级单位（小）低级单位（小） 高级单位（大）进率： 1立方米＝1000立方分米 1立方米 ＝1000000立方厘米1立方分米＝1000立方厘米 1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升1立方分米＝1升 ； 1平方米=100平方分米 1平方米 =10000平方厘米 1平方分米=100平方厘米 1平方千米=100公顷=1000000平方米 ；被浸没物体的体积等于上升那部分水的体积 ① 容器的底面积×上升那部分水的高度。

计算方法 ② 放入物体后的体积—原来水的体积×进率 ÷进率1米=10分米1米=100厘米1分米=10厘米1千米=1000米第二章因数与倍数一、因数与倍数的关系【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。

只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

不能说是谁是因数，谁是倍数。

【知识点2】倍数因数只考虑正数。

小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。

【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数：例如：36的因数有（）。

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。

例如：7的倍数（）。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。

【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25以内5的倍数有（5、10、15、20、25 ）。

特别注意前提条件是25以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。

【知识点5】关于倍数因数的一些概念性问题1、一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。

2、一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。

3、1是任一自然数（0除外）的因数。

也是任一自然数（0除外）的最小因数。

4、一个数的因数最少有1个，这个数是1。

除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。

5、一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。

6、一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数二、2，3，5的倍数的特征【知识点1】2、3、5的倍数特征1、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

例如：202、480、304，都能被2整除。

2、个位上是0或5的数，是5的倍数。

例如：5、30、405都能被5整除。

3、一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

例如：12、108、204都能被3整除。

4、个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。

例如：80、20、70、130等。

5、个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。

例如：120、90、180、270等。

6、自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）7、偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数【知识点2】一些特殊数的倍数的特征1、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。

但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。

2、一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。

例如：16、404、1256都是4的倍数。

3、如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数4、如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数三、质数和合数【知识点1】质数和合数的相关定义1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

3、1不是质数也不是合数。

4、100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

共25个。

5、除2以外所有的质数都是奇数。

除2以外任意两个质数的和都是偶数6、最小的质数是2，最小的合数是4质数×质数=合数合数×合数=合数质数×合数=合数【知识点2】分解质因数（相加和相乘）把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

42=（2）+（40）=（3）+（39）=（5）+（37）××√。