函数周期性习题及答案

1.给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数）
，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：
①()y f x =的定义域是R ，值域是11
(,]22
-；
②点(,0)k 是()y f x =的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数()y f x =的周期为1；
④函数()y f x =在13(,]22
-上是增函数 上述命题中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③
D. ②④
2.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时有()2f x x =，则
(2015)f =（ ）
A. 1-
B. 2-
C. １
D. 2
3.函数21
()(1cos 2)sin ,2
f x x x x R =
+∈是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为
2π
的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2
π
的偶函数
4.已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<，若()13
f π
=，则()f x 的最小正周期
为（ ） A. π B.
32
π
C. 2π
D. 4π 5.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当[3,1)x ∈--时，2
()(2)f x x =-+，当
[1,3)x ∈-时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=（ ）
A. 336
B. 355
C. 1676
D. 2015
6.在数列{}n a 中，已知122,7a a ==，记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +，则2015a =
_________．
7.函数2
2
()sin cos f x x x =-的最小正周期是_______．
8.函数3
()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_______．
9.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0,1]x ∈时，()2f x x =，若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．
10.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且(2)f x +为偶函数，若(1)1f =，则(8)(9)f f +=____．
11.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有
()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的
“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2x
f x =是“似周期函数”；
④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k Z ωπ=∈”． 其中是真命题的序号是_____.（写出所有满足条件的命题序号）
12.已知函数21
()sin 22
f x x x =
+，则()f x 的最小正周期是_______；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6
f π
'=_______．
答案和解析
1.2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题 答案：C 分析：
2.2015年广西省玉林市4月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题 答案：B
分析：∵(2)()f x f x +=-，得(4)()f x f x +=，∴周期为4T =， 又∵函数为奇函数，(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-， 故选B ．
3.2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案：A 分析：
4.2015年天津市和平区高三二模文科数学试题第4题 答案：A
分析：因为函数()4cos sin()1,()2sin(
)113
3
f x x x f ππ
ϕϕ=+-=+-=，所以
sin()13
π
ϕ+=，
由0ϕπ<<可得
3
3
3
π
π
π
ϕπ<
+<+
，∴
,3
2
6
π
π
π
ϕϕ+=
∴=
，故:
2()4cos sin()12sin cos 1
3f x x x x x x π
=+-=+-
sin 2212sin(2)13
x x x π
=+=+，
则()f x 的最小正周期为22
π
π=，故选A ． 5.2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题 答案：A 分析：由题意得
(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-==
则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-，所以
(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A ．
6.2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题 答案：2
分析：122714a a =⨯=，所以34,4728a =⨯=，所以428,4832a =⨯=，所以
52,2816a =⨯=，所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起， n
a 的值成周期排列，周期数为6，201533565=⨯+ ，所以201552a a ==． 7.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题 答案：π
分析：利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期．因为()cos 2f x x =-，所以最小正周期22
T π
π=
=． 8.2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题 答案：
2
π 9.2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题 答案：
2253
a << 分析：因为函数()f x 为偶函数，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，所以当[1,0]x ∈-时，
()2f x x =-，又因为函数()f x 为周期为2的周期函数，所以画出函数()f x 在[2,3]-上的
图象如图所示，则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数
()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点，则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----，即2253
a <<．
10.2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题
答案：1
分析：因为()f x 是R 上的奇函数，且(2)f x +为偶函数，所以()f x 是以4为周长的奇函数，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．
11.2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题 答案：①③④
分析：利用新定义逐一判断.若函数()y f x =的“似周期”为1-，则
(1)()(1)f x f x f x -=-=+，即它是周期为2的周期函数，所以①正确；若()f x x =是“似
周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==，显然不可能，所以②错误；若()2x
f x -=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满
足()
()2
()2x T x f x T Tf x T -+-+===，即12()2T
T T -==，而已知函数1(),2
x y y x ==的图
象有一个交点，即非零常数T 存在，所以③正确；若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==，则
1T =±，此时cos()cos x w x ωω±=±，所以,k k Z ωπ=∈，所以④正确，综上所述，真
命题的序号是①③④.
12.2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题 答案：π，1-
分析：21
()sin 22
f x x x =
+
1cos 2111
sin 2)sin 22sin(2)22232
x x x x x π+=+=+=++ 所以()f x 的最小正周期为
22ππ=，()f x 的导函数()2cos(2)3
f x x π
'=+，则()2cos(2)1663
f πππ
'=⨯+=-.。