离散变量和随机变量的最优化方法汇总.

则 x * 为离散变量优化设计的 局部最优点。
D 为凸集，f x 为定义在凸集上的凸函数时，
则 x * 为离散变量优化设计的 全局最优点。
三、收敛准则： 设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k)
的单位邻域中查 3n – 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更
§7.3
离散变量优化设计的数学模型
T T
混合离散变量优化设计问题的数学模型：
X x1 , x2 , xn XC min . s.t.
X D x1 , x2 , x p R p
n p , x , x R p 1 p2 n T
x


f x X R n R p R n p g u ( x) 0 u 1,2, , m
第七章
§7.1
离散变量和随机变量的最优化方法
引言
§7.2
§7.3
离散变量优化设计的基本概念
离散变量优化设计的数学模型
§7.4
§7.5
离散变量优化设计的最优解及收敛条件
随机变量优化设计的基本概念
§7.6
§7.7
随机变量优化设计的数学模型
随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解
§7.1 引言
一. 变量类型：
n D x gu x 0，u 1,2,, m R
可行域：
注：设计空间有离散空间部分。
但约束面不离散，也不一定分布有离散点。
K-T 条件不再适用。
§7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件
一、离散单位邻域 UN(x) 和坐标邻域 UC(x) ：
i 1,2,, p xi i，xi，xi i UN x x i p 1, p 2,, n xi i，xi，xi i 其中： 间隔， i， i 是离散变量之间的离散
x2
● ●
X(2)
X(3)
● ●
x*
X(1)
0
x1
§7.2 离散变量优化设计的基本概念
一. 设计空间： qij-1
●
qij
●
qij+1
●
1、一维离散设计空间：
Xi
在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的 离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。
离散点： ，qij1 , qij , qij1 ,
UN(x) = {x,A,B,C,D,E,F,G,H}； 离散坐标邻域共 2n+1 个点：
●
C E
●
i
●
εi x
εi
i
● ●
UC(x) = {x,B,D,E,G}。
0
F
●
●
G
H
x1
§7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件
二、离散最优解：
若 x* D 对于所有 当
x UN x * D 恒有f x * f x ,
工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类 型变量的混合。有： 连续变量 确定型 整型变量 离散变量 随机变量 不确定型 混合变量
所以需要相应的优化方法。
§7.1 引言百度文库
二. 工程实际设计的需要：
1、齿轮传动装置的优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计 变量。齿数为整型变量，模数为离散变量，齿宽和变位系数为连 续变量。 2、桥式起重机主梁的优化设计：板厚t1,t2,t3、主梁高度、宽度为 设计变量。板厚为离散变量，H和B为连续变量。
§7.1 引言
三. 传统方法的局限： 例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。
x* 是连续变量最优点；
x(1) 是圆整后最近的离散 点，但不可行； x(2) 是最近的可行离散点， 但不是离散最优点； x(3) 是离散最优点。
q11 q 21 Q q p1 q12 q22 q p2 q1l q2 l q pl pl
注：① 因为离散变量是有限个，所以离
散空间是有界的。 ② 某个离散变量的取值不足 l 个， 其余值可用预先规定的自然数补齐。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念

UCx UN x ei
i 是拟离散变量（连续变 量）之间的拟离散间隔 。
i 1,2,, n ei 为各坐标轴，
UCx 是过xi的各坐标轴的平行线与 离散单位邻域UN x 的交点的交集。
例，二维离散空间中，
x2
A D
B
● ●
离散单位邻域共 3n 个点，
3、N-P 维连续设计空间： N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。 N-P 维连续设计空间: XC x p 1 , x p 2 ,, xn

R
T
n p
4、N 维设计空间：
R n R p R p n
其中：离散设计空间为：
X D x1 , x2 ,, x p XC
离散间隔： i ， i
i
i
i 1,2,, n
j 1,2,, l代表离散点个数；
只有在均匀离散空间中 ： i i
2、P 维离散设计空间： X D x1 , x2 ,, x p


T
Rp
P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有 限个（l）数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。
整型变量可看作是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量 的特例。
2、连续变量的离散化：
有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。
方法：
xiu xil i li 1 i p 1 ，p 2， ，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界， li 为欲取离散值的个数。 xi坐标轴上的第j个拟离散点为：xij， 其相邻两个拟离散点为 ：xij i，xij，xij i
p 1 , x p 2
连续设计空间为：
x
R ,, x R
T T n
p
n p
若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题；
若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念
二. 整型变量和连续变量的离散化：—— 是均匀离散 1、整型变量的离散：