第7章强度理论及其应用
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第7章应力状态和强度理论(答案)
17.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。
解：100x MPa σ=200y MPa σ=100x MPa τ=030α=-（1）cos 2sin 2211.622x yx yxασσσσσατα+-=+-=sin 2cos 293.32x yx MPa ασστατα-=+=（2）max 261.82x yMPa σσσ+==min 38.22x yMPa σσσ+==MPa 8.2611=σMPa 2.382=σ03=σ（3）13max 130.92MPa σστ-==7.2扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο30=α方向上的正应变。
设E=200GPa,0.3υ=。
解：表面上任一点处切应力为：max 59PTMPa W τ== 表面上任一点处单元体应力状态如图30sin 251MPa στα=-=-120sin 251MPa στα=-=()004303012013.310Eεσυσ-=-=⨯2σττ7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应变4100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递的功率。
解：表面任一点处应力为max 9550PPP T n W W τ==max 9550P W nP τ∴=纯剪切应力状态下，045斜截面上三个主应力为：1στ=20σ=3στ=-由广义胡克定律 ()11311E E υεσυστ+=-=又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550P W nP τ=，得109.4P KW =7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο60方向上的正应变460101.4-⨯=οε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学第20讲 Chapter7-4第七章 强度理论
33
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2
第七章 应力应变分析 强度理论
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e
x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）
3.重要结论（Important conclusions）
7应力分析 强度理论
由此得到计算剪应力最大最小值所在平面的公式
y x y x cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
(a) (b)
x y tan 21 2 xy 2 x y max 2 xy 此式确定两个平面： 1 和 1 。 2 2 min 3.这两个平面相互垂直，其中一个是 max 所在平面；另一个 是 min所在平面。
2 xy
此式确定两个平面： 0 和 0
x y
。
2 1.这两个平面相互垂直，其中一个是 max所在平面；另一个 是 min所在平面。
比较 (b) 和 (a)发现：在 0和 0
2.这两个平面是主平面，那么 max和 min就是主应力；也可 以说主应力就是最大最小正应力。
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
x y 2 2 ( ) xy 2
R C
对于铸铁材料，抗压强度远大 于抗剪强度。故沿45°面破坏， 是一种剪切破坏。
例7-5：用解析法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。
解： y
x
80 MPa,
y
40 MPa
xy
60 MPa, = 30 °
0
y
yx
xy
x
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2
y x y x cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
(a) (b)
x y tan 21 2 xy 2 x y max 2 xy 此式确定两个平面： 1 和 1 。 2 2 min 3.这两个平面相互垂直，其中一个是 max 所在平面；另一个 是 min所在平面。
2 xy
此式确定两个平面： 0 和 0
x y
。
2 1.这两个平面相互垂直，其中一个是 max所在平面；另一个 是 min所在平面。
比较 (b) 和 (a)发现：在 0和 0
2.这两个平面是主平面，那么 max和 min就是主应力；也可 以说主应力就是最大最小正应力。
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
x y 2 2 ( ) xy 2
R C
对于铸铁材料，抗压强度远大 于抗剪强度。故沿45°面破坏， 是一种剪切破坏。
例7-5：用解析法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。
解： y
x
80 MPa,
y
40 MPa
xy
60 MPa, = 30 °
0
y
yx
xy
x
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
第7章岩体本构关系与强度理论
T Ntg j C j P sin tg j C j
整理得：
P cos P sin tg j C j
（7-99） （7-100）
当C j 0 时，上式变为：P cos 整理得： 即：
P sin tg j
900 j
板状 结构体
横向弯曲 悬臂弯曲
结 构 面
坚硬 结构面
闭合变形 错动变形 挤出变形 滑动变形
软弱 结构面
二、 岩体变形机制与本构关系
岩体变形=F（岩石、岩体结构、压力、温度、时间）：
其中前两项为岩体的实体，后二者为岩体赋存环境，最
后一项表征变形过程。
其数学表达式称为本构方程：
u f ( E, , usb , , T , t )
第7章 岩体本构关系 与强度理论
岩、工系
刘佑荣
7.3 岩石强度理论与破坏判据
一、 库仑强度准则 二、 莫尔强度准则 三、 格里菲斯强度准则
四、 德鲁克一普拉格准则
四、德鲁克一普拉格准则
在 C-M 准则和在八面体强度理论中的Mises 准则基础上的扩展和推广而得的，表达式为：
f I1 J 2 K 0
1,0
（7-90）
( 1 3 ) 2 8 t 1 3 t 3
1 3 3 0 1 3 3 0
或
2 4 t ( t )
对岩体拉张破坏进行判别。
三、 剪破坏判据
岩体剪破坏可以用库伦-莫尔判据进行研究，其判据式在岩 石破坏判据中已有讨论。但应注意，对于岩体，在用库伦-莫尔 判据时，必须用岩体的应力与强度参数，才能进行正确的判据。
或
（7-84）
整理得：
P cos P sin tg j C j
（7-99） （7-100）
当C j 0 时，上式变为：P cos 整理得： 即：
P sin tg j
900 j
板状 结构体
横向弯曲 悬臂弯曲
结 构 面
坚硬 结构面
闭合变形 错动变形 挤出变形 滑动变形
软弱 结构面
二、 岩体变形机制与本构关系
岩体变形=F（岩石、岩体结构、压力、温度、时间）：
其中前两项为岩体的实体，后二者为岩体赋存环境，最
后一项表征变形过程。
其数学表达式称为本构方程：
u f ( E, , usb , , T , t )
第7章 岩体本构关系 与强度理论
岩、工系
刘佑荣
7.3 岩石强度理论与破坏判据
一、 库仑强度准则 二、 莫尔强度准则 三、 格里菲斯强度准则
四、 德鲁克一普拉格准则
四、德鲁克一普拉格准则
在 C-M 准则和在八面体强度理论中的Mises 准则基础上的扩展和推广而得的，表达式为：
f I1 J 2 K 0
1,0
（7-90）
( 1 3 ) 2 8 t 1 3 t 3
1 3 3 0 1 3 3 0
或
2 4 t ( t )
对岩体拉张破坏进行判别。
三、 剪破坏判据
岩体剪破坏可以用库伦-莫尔判据进行研究，其判据式在岩 石破坏判据中已有讨论。但应注意，对于岩体，在用库伦-莫尔 判据时，必须用岩体的应力与强度参数，才能进行正确的判据。
或
（7-84）
材料力学刘鸿文第七章-强度理论
]
]
3
3、莫尔强度理论的相当应力：
M
1 [[
L ]
y]
3
三、实用范围：
试用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限 强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的 破坏（岩石、混凝土等）。
案例分析1: 把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
案例分析2: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体 积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可 知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰 不破裂，而水管发生爆裂。
6、机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，
宜采用
强度理论进行强度校核？
A：第一、第二； B：第二、第三； C：第三、第四； D：第一、第四；
7、某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应 力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？
A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；
8、在三向压应力相等的情况下，脆性材料与塑性 材料的破坏形式为： 。
可选择莫尔强度理论。
莫尔强度理论
莫尔认为：最大剪应力是 使物体破坏的主要因素，但 滑移面上的摩擦力也不可忽 略（莫尔摩擦定律）。综合 最大剪应力及最大正应力的 因素，莫尔得出了他自己的 强度理论。
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
一、两个概念： 1、极限应力圆：
极限应力圆
s
O
s3
s2
脆性材料 第一强度理论 拉伸型和拉应力占主导的混 合型应力状态
第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少 数材料。 压应力占主导的脆断
二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况 不能只看材料必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响
第07章 强度理论
强度理论的统一形式： s r [s ]
sr称为相当应力，分别为：
• 最大拉应力(第一强度)理论：
s r1 s1
• 最大伸长线应变(第二强度)理论：
s r2 s1 s 2 s 3
• 最大切应力(第三强度)理论： s r3 s1 s 3
• 形状改变能密度(第四强度)理论：
安全，可用。
3）最大切应力理论(第三强度理论)
假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因
素，则：
max u
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是
由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力u
可由单拉时的屈服应力求得，即：
u
ss
2
常数
因为：
max
s1
s3
2
由此可得，强度条件为：
假设最大伸长线应变1是引起脆性破坏的主要
因素，则：
1 u
u用单向拉伸测定，即：
u
su
E
因为：
1
1 E
s1
s 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s3
因此有： s1 s 2 s 3 s u
强度条件为：
s1 s 2
s
3
su
n
[s ]
实验验证：
a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于
来建立，因为s与之间会相互影响。
研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一 定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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14
§ 7-2
四种常用的强度理论
解： 1. 按正应力强度条件校核 作梁的弯矩图：
Iz = 88×106 mm4
最大弯矩为Mmax＝80 kN· m。
M图
M max ymax Iz
6
max
8010 150
136.4 MPa 170MPa
15
88106
§ 7-2
u
s
2
强度条件：
1 3
实践证明该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形 式简明。在对用塑性材料制成的构件进行强度计算时，经常采用这 个理论。但是该理论忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。 且该理论只适用拉、压许用应力相同的材料。
§ 7-2
四种常用的强度理论
四种常用的强度理论
三、第三强度理论（最大切应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。 破坏条件：
max 13
1 3
2
塑性材料和脆性材料
｝
塑性 材料
t rM 1 3 c
8
rM：称为莫尔相当应力。
§ 7-2
四种常用的强度理论
五、强度理论的应用
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性
断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生
塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。
3
§7-2 四种常用的强度理论
一、第一强度理论（最大拉应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应力(max=1)达到了材 料在轴向拉伸破坏时的极限应力u，就会引起材料断裂。 破坏条件： 强度条件： 1＝u 1 ［］
由于p与 ( pD/2 ) 和 ( pD/4 ) 相比很小，故可认为
25
3＝0。
§ 7-2
四种常用的强度理论
例题7-2-3 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,
y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，
试用第三强度理论校核其强度。 解： 由广义胡克定律得:
实验证明： １、脆性材料在承受拉应力而破坏时，理论与实验结果相一致， 而对塑性材料并不符合； ２、没有考虑其它两个主应力的影响； ３、对只有压应力而无拉应力的应力状态无法应用。
§ 7-2
四种常用的强度理论
二、第二强度理论（最大拉应变理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应变。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应变( max= 1)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限拉应变u，就会引起材料断裂。 破坏条件： max 强度条件：
139MPa, 2 0, 3 32MPa
20
1 故，安全。
§ 7-2
四种常用的强度理论
两危险点的应力状态如图，且
，由第
四强度理论比较其危险程度，下列说法正确的是（ C ）。
（A）（a）应力状态较危险 ； （B）（b）应力状态较危险； （C）两者的危险程度相同 ； （D） 不能判断 。
2
max
t max t 即 c max c
2
腹板与翼缘交界处
代入相当应力表达式： 2.切应力强度条件
max
max
13
r3 1 3， r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
第7章 强度理论及其应用
§7-1 强度理论概述
§7-2 四种常用的强度理论 §7-3 弯扭组合变形
1
§7-1 强度理论概述
一、强度理论的概念
1.简单应力情况 强度条件 等截面杆
max
FN max A
轴向拉压
圆轴扭转 梁的弯曲
max
max
max
'沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应
力为
πD 2 p F pD 4 A πD 4
23
§ 7-2
四种常用的强度理论
2. 圆筒径向截面（纵截面）上的正应力'' 由单位长度圆筒中以纵截面取的分离体如图所示。根 据该分离体及与之对应的下半部的对称性可以判定圆筒纵
σ
τ
σ
τ
(b)
(a)
21
§ 7-2
四种常用的强度理论
八、薄壁圆筒的强度计算
薄壁圆筒：壁厚δ远小于圆筒的平均直径D，
D 20
22
§ 7-2
四种常用的强度理论
1. 圆筒横截面上的正应力 ' 根据圆筒本身及其受力的对称性，以及圆筒为薄壁的
特点( << D )，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
通过对几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，形状改 变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理论更符合试 验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论复杂。
§ 7-2 四种常用的强度理论
20010 12015 135 7.5 8810 9
3 6
64.77 MPa
18
§ 7-2
四种常用的强度理论
根据第三或第四强度理论
r3 2 4 2
122 .73 2 4 64.77 2 178 .4MPa [ ] 170MPa
四种常用的强度理论
2. 按切应力强度条件校核
S*zmax = 338×103 mm3
作梁的剪力图如图e， 最大剪力为FSmax=200 kN。 (e)
max
FS max S * z max I zd
20010 33810 8810 9
3 3 6
85.4 MPa 100MPa
1、分析计算结构危险点处的应力； 2、确定主应力1 、 2 、 3 ； 3、选择适当的强度理论，计算相当应力r ； 4、进行强度校核r ≤[]或其它计算。
12
§ 7-2
四种常用的强度理论
七、梁的强度条件
1.正应力强度条件
3.梁的相当应力强度条件
1 2 2 2 2 0 3＝ － ＋ 2 2 2
r4 2 3 2
122 .73 2 3 64.77 2 166 .3MPa [ ] 170MPa
由于按第三强度理论所得的误差不超过不到5%，因此满足 强度要求，此梁安全。
19
§ 7-2
四种常用的强度理论
例题7-2-2 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,m=7kNm,F=50kN, 为 铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 m F A m A A F 解： 危险点A的应力状态如图：
Tmax Wp
max
max
max
M max Wz
max
2
FS max S * z max bIz
§ 7-1
强度理论概述
2.复杂应力情况
1 2
P
p
P
难以确定极限应力u
强度理论（强度学说）：
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料 破坏的现象中总结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同 因素，那么复杂应力状态和简单应力状态都可以通过简单拉、压 实验的测试结果来建立强度条件。 关于引起材料破坏的决定性共同因素的假说，称为强度理论。 材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
10
§ 7-2 四种常用的强度理论
2. 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是 冰处于 三向压 应力状态，而水管处于 二向拉 应力状 态。 3. 将沸水倒入厚壁玻璃杯中，杯会因此破裂，根据
热膨胀与热传导引起的内、外壁受力情况判断，断裂是
从 外 壁开始发生的。
11
§ 7-2
四种常用的强度理论
六、利用强度理论解题的步骤
16
§ 7-2
四种常用的强度理论
3. 按强度理论校核Mmax和FSmax同时所在横截面上腹板
与翼缘交界处的强度（相当应力强度条件校核）
17
§ 7-2
四种常用的强度理论
M max ya 80106 135 122.73 MPa 6 Iz 8810
FS max S * za Izd
截面上无切应力。
FN＝ ××1。
Fp＝pD。
于是由平衡方程 D
Fp 2FN 0
pD " 2
得出圆筒纵截面上的正应力：
24
§ 7-2
四种常用的强度理论
3. 圆筒内壁上沿半径方向的正应力为
p
4. 圆筒内壁上各点的应力状态如图所示，它们都是主应
力，且
pD 1 2 pD 2 4 3 p
四、第四强度理论（形状改变能密度理论）
此理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。即材料 无论在什么应力状态下，只要危险点处的形状改变能密度vd达到了 材料在轴向拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。 破坏条件： 强度条件：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 2 2 2 2 2 s vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6E 6E
无论是塑性材料或脆性材料：