《刚体定轴转动》答案

第2章刚体定轴转动 一、选择题

1(B) , 2(B) , 3(A) , 4(D) , 5(C) , 6(C), 7(C), 8(C), 9(D) , 10(C)

、填空题

(1). v 疋 15.2 m /s , n 2= 500 rev /min (2). 62.5

1.67 s

⑶.g / l g / (2l)

(4) . 5.0 N m (5) . 4.0 rad/s (6) . 0.25 kg • m 2

1 (7) . Ma

2

J mr ■?' 1

2

J mR

(10).

- = 3 g sin v / l

二、计算题

1.

有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为

卩，若平板

绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 3 0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知

1 2

J mR ，其中m 为圆形平板的质量）

2

dr 的环带面积上摩擦力矩为

2

=3R .0 /16 n -9

2.

如图所示，一个质量为 m 的物体

与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可 以忽略，它与定滑轮之间无滑动•假设定滑轮质量为 M 、半径为 R ,其转动 1 2

惯量为一MR ，滑轮轴光滑•试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速

2

度与时间的关系.

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

(8).

1

mgl 参考解: 2 l

d M = 」gm /1 r d r

1

二—J mgl 2

(9). 圆形平板的转动惯量 解：在r 处的宽度为

总摩擦力矩 故平板角加速度 设停止前转数为

..mg

dM

2 2.：r rdr nR R

2 M

dM mgR 10

3

=M /J

可得

n ,则转角 v= 2二n

.,2 =

2 一 V - 4 二 Mn / J

m

1

a = mg / (m ——M)

2

V o = 0,

1

v = at = mgt / (m + _ M)

2

3.

为求一半径 R = 50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量， 在飞

轮上绕以细绳，绳末端悬一质量 m i = 8 kg 的重锤.让重锤从高 2 m 处由静止落下，测得下 落时间t i = 16 s .再用另一质量 m ?=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间 t 2= 25 s.假定摩

擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量.

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得

TR — M f = Ja / R ① mg — T = ma

② 1 2

h = at

③

2

则将m1、b 代入上述方程组，得

2 2

a 1 = 2h /匕=0.0156 m / s

T 1 = m 1 (g — a 1)= 78.3 N J = (T 1R — M f )R / a 1 ④

将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得

2

-3

7

a 2 = 2h /t 2 = 6.4 x 10 m / s" T 2= m 2(g — a 2)= 39.2 N J = (T 2R — M f )R / a 2

⑤

由④、⑤两式，得

2

3 2

J = R (T 1 — T 2) / (a 1 — a 2)= 1.06x 10 kg • m

4. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为 --0.设它所受阻力矩与转动角速

1

度成正比，即M = — k ■ （k 为正的常数），求圆盘的角速度从-，0变为

°

时所需的时间.

2

t = (J In2) / k

对物体： mg — T = ma ① 对滑轮：

TR = J 1

② 运动学关系 : a = R ' ③

将①、②、 ③式联立得

解：根据转动定律:

两边积分： 得

Jd - / dt = - k- ■

■ 0/2

1

d

，

ln2 = kt / J

T 0

mg M

dt

5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为

1

m 的砝码，砝码彼此相距 l i （每一砝码离转轴 一l i ）,当此人将砝码拉近到距离为

12时（每一砝

2

1 码离转轴为一|2），整个系统转速变为 n 2.求在此过程中人所作的功.

（假定人在收臂过程中

2 自身对轴的转动惯量的变化可以忽略

）

解：（1）将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功 W 等于系统动能之增量:

1 1 2

T- 2

W = ：_E k = (J 0 ml 2 )4j =n 2

2 2

这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量.

⑵过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒:

⑶将J o 代入W 式，得

2 2

m h 门1 一 L 门2

6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为R ,放在一粗糙

水平面上（圆盘与水平面之间的摩擦系数为

J

），圆盘可绕通过其

中心0的竖直固定光滑轴转动•开始时，圆盘静止，一质量为 m 的子弹以水平速度 v o 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘 边上，求

（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度. （2）经过多少时间后，圆盘停止转动. 1 2

（圆盘绕通过0的竖直轴的转动惯量为

MR ，忽略子弹重力造成

的摩擦阻力矩

）

2

1 mv o R =(

2

mv o

<1 2 丿

可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小

° r 七匚 2 二r d r = （2 / 3）」；「gR 3 = （2 / 3）」MgR 设经

过.t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有

—M f J = 0— J ；：：■=— （— MR 2+ mR 2）;：:■ = - mv o R

2

mv o R mv o R

3mv o …

.■: t

M f

（2 /3 片MgR

2^Mg

2 r>2 - r>1

2

t 2

2 L

W =二 mn 小2 h -12

1 2 二(J o + — ml ! )n 1 = 2 二(J o + 2 —ml 2 ) n 2

2

解：⑴

以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴

0的角动量守恒.

MR 2+ mR 2) ■ 设;:表示圆盘单位面积的质量, R