(完整)高中数学圆锥曲线典型例题.doc

解圆锥曲线问题常用以下方法

：

1、定义法

（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2 =2a 。第二定义中， r 1=ed 1 r 2=ed 2 。

（ 2）双曲线有两种定义。 第一定义中， r 1

r 2 2a ，当 r 1>r 2 时，注意 r 2 的最小值为 c-a ：第二定义中， r 1=ed 1，

r =ed ，尤其应注意第二定义的应用，常常将

半径与“点到准线距离”互相转化。

2

2

（ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法

因直线的方程是一次的， 圆锥曲线的方程是二次的， 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最

终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，

弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为

“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”

，即设弦的两个端点

A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦 AB 中点为 M(x 0,y 0)，将点 A 、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（ 1）

x 2

y 2

1(a b 0) 与直线相交于

x 0

y 0

k

。

a 2

b 2

A 、

B ，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0)，则有

2

b 2

a

（ 2）

x 2

y 2 1(a 0,b

0) 与直线 l 相交于 A 、 B ，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0)则有

x 0 y 0 k

a 2

b 2

a 2

b 2

（ 3） y 2=2px （ p>0）与直线 l 相交于 A 、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0),则有 2y 0k=2p, 即 y 0k=p.

【典型例题 】

例 1、 (1) 抛物线 C:y 2 =4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小

,则点 P 的坐标为 ______________

(2)抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为

。

分析：（1） A 在抛物线外，如图，连

PF ，则 PH

PF ，因而易发现，

A 当 A 、

H

Q P 、 F 三点共线时，距离和最小。

P B

（ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR ⊥ l 交于 R ，则当 B 、Q 、R 三点共线时， F

距离和

最小。

解：（ 1）（ 2， 2 ）

连 PF ，当 A 、P 、F 三点共线时， AP PHAP

PF 最小，此时 AF 的方程为 y

4 2

( x 1) 即

3 1

y=2 2 (x-1), 代入 y 2

=4x 得 P(2,2

2 )，（注：另一交点为 ( 1

, 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）

（ 2）（ 1

,1）

4

过 Q 作 QR ⊥ l 交于 R ，当 B 、 Q 、 R 三点共线时，

BQ

QF

BQ

QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代

入 y 2

=4x 得 x= 1 ，∴ Q( 1

,1)

4

4

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例 2、 F 是椭圆 x

2

y 2 1 的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。

4 3

（ 1） PA

PF 的最小值为

y

A P H

（ 2） PA

2 PF 的最小值为

F 0 F

x

分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径

′

PF 或准线作出来考

虑 问

题。

解：（ 1） 4- 5 设另一焦点为

F ，则 F (-1,0) 连 A F ,P F

PA PF PA 2a

PF 2a

( PF

PA ) 2a AF 4 5

当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA

PF 取得最小值为 4-

5 。

（ 2） 3

作出右准线 l ，作 PH ⊥ l 交于 H ，因 a 2=4 ， b 2=3，c 2=1， a=2， c=1， e= 1 ，

2

∴ PF

1

PH ,即2 PF

PH

2

∴ PA 2 PF PA PH

当 A 、 P 、 H 三点共线时，其和最小，最小值为

a 2

4 1

3

x A

c

例 3、动圆 M 与圆 C 1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C 2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。

分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点

y 共

线

（如图中的 A 、 M 、C 共线， B 、 D 、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的

C

“半径

MC

MD ）。

等于半径”（如图中的

M

D

解：如图， MC MD ，

A 0 B

5x

∴ AC MA MB

DB 即6 MA

MB 2

∴ MA

MB 8

（ *）