2013高三数学总复习同步练习：2-6 幂函数与函数的图象变换

2-6 幂函数与函数的图象变换

基础巩固强化

1.已知点(3

3，3)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．是非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A

[解析] 设f (x )＝x α

，则(33

)α

＝3，即3

－1

2

α

＝312

，故α＝－1，

因此f (x )＝x －1，所以f (x )是奇函数．故选A.

2．(文)函数y ＝x 35

在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数

[答案] A

[解析] ∵3

5的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35

＝－x 35

＝

－f (x )，∴f (x )为奇函数，

又3

5>0，∴f (x )在第一象限内是增函数， 又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．

(理)设a ∈{－1,1，1

2，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且该函

数为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

[答案] A

[解析] 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 1

2 ，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1或3.

3．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．a

C ．b

D ．a

[答案] C

[分析] a 、b 的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c 与1的大小关系，然后综合作出判断．

[解析] 根据幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b log 0.30.3＝1，即c >1.所以b

4．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x 、y ＝1、x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 3

2 的图象经过的“区域”是( )

A ．⑧，③

B ．⑦，③

C ．⑥，②

D ．⑤，①

[答案] C

[解析] y ＝x 3

2 是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.

5．给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 1

2 ，f 4(x )＝1

x .若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )

有两个零点的幂函数有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] B

[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.

6．(2011·青岛一中模拟)函数f (x )＝(m 2

－m －1)

xm 2－2m －3

是幂函数，

且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[答案] A

[解析] 由题意知m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.故选A.

7．(文)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，12，那么f ′(8)的值为________．

[答案] －2

64

[解析] 设f (x )＝x α，由条件知12＝4α，∴α＝－1

2，

∴f (x )＝x

－1

2

，∴f ′(x )＝－1

2x

－3

2

，∴f ′(8)＝－2

64.

(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14，12，设它在A 点处的切线为

l ，则过点A 与l 垂直的直线方程为________．

[答案] 4x ＋4y －3＝0

[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12

.∴f (x )＝x 1

2

，

∴f ′(x )＝1

2x

，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫

14＝1，

故切线的斜率为1，从而与l 垂直的直线斜率为－1， 故过A 与l 垂直的直线方程为y －12＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －14，

即4x ＋4y －3＝0.