高二数学双曲线测试题

高二数学双曲线苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

双曲线

二. 重点、难点：

重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．

难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．

三. 主要知识点

1、双曲线的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：

（1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．

当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射

线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2、标准方程的推导

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.

（3

2a =±

（4）化简方程22

221

x y

a b

-=（其中c2＝a2+b2）3、两种双曲线性质的比较

图形

范围 |x|≥a

|y|≥a

对称性 x 轴，y 轴，原点

顶点

坐标 （±a ，0）

（0，±a ）

实轴 虚轴 x 轴，实轴长2a y 轴，虚轴长2b

y 轴，实轴长2a x 轴，虚轴长2b 焦点 坐标 （±c ，0）c ＝22b a +

（0，±c ）c ＝22b a +

离心率 e ＝a

c ， e >1 渐近线

y ＝±a

b x

y ＝±a b

x

4、方法小结

（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．

（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．

（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝a

c ＝

θ

cos 1

．

（4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．

（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是a

x

±b

y ＝0，则可把双曲线方程表示为2

2

a

x －2

2b

y ＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．

【典型例题】

例1. 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线92x －16

2y ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

（2）与双曲线162

x －4

2y ＝1有公共焦点，且过点（32，2）.

（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，154

）Q （

16

3

，5）． 剖析：设双曲线方程为2

2

a

x －2

2b

y ＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，

为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.

解法一：（1）设双曲线的方程为2

2

a

x －2

2b

y ＝1，

由题意得

22

43

(3) =1 b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝4

9，b 2＝4．

所以双曲线的方程为

4

92

x －

4

2y ＝1．

（2）设双曲线方程为2

2

a x －2

2b

y ＝1.

由题意易求c ＝25．

又双曲线过点（3

2，2）

， ∴2

2)23(a

－

2

4

b ＝1.

又∴a 2+b 2＝（2

5）2，

∴a 2＝12，b 2＝8．

故所求双曲线的方程为

12

2

x －

8

2y ＝1．

解法二：（1）设所求双曲线方程为

92

x －16

2y ＝λ（λ≠0），

将点（－3，23）代入得λ＝41

，

所以双曲线方程为92

x －162y ＝4

1．