圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的推导

1.若点00(,)P x y 是椭圆22

221x y a b

+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

+=。 证明：由22221y x b a

=-⇒222

2(1)x y b a =-……①

1°当x

a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0

'|x x

k y ==

∴对①式求导：2

0222'b yy x a

=-，

∴02020'|x x b x k y a y =-==∴切线方程为200020

()b x

y y x x a y --=--…………②

∵点00(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=上，

故 22

00

221x y a b += 代入②得00221x x y y a b

+=…………③

而当x a =±时，

00y = 切线方程为x a =±，也满足③式

故00221x x y y

a b

+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.

2. 若点00(,)P x y 是双曲线22

221x y a b

-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

-=。 证明：由22221y x b a

=-⇒2

222(1)x y b a =-……①

1°当

x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0

'|x x

k y ==

∴对①式求导：2

0222'b yy x a

=∴0

2

020'|x x b x k y a y === ∴切线方程为20

0020

()b x y y x x a y -=--…………②

∵点00(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=上，故22

00221x y a b -= 代入②得00221x x y y a b -=…③

而当x a =±时，00y =,切线方程为x a =±，也满足③式.

故

00221x x y y

a b

-=是双曲线过点00(,)P x y 的切线方程.

3.若点

00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是

00()y y p x x =+

证明：由2

2y px =，对x 求导得：00

2'2'|x x p

yy p k y y ==⇒==。 当00y ≠时，切线方程为00

()p

y y x x y -=

- 即2000y y y px px -=-，而2

00002()y px y y p x x =⇒=+………………①

而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是

00()y y p x x =+.

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